第一章 量子力学基础知识

《结构化学基础》

讲 稿

第一章

孟 祥 军

第一章 量子力学基础知识 （第一讲）

1.1 微观粒子的运动特征

☆ 经典物理学遇到了难题：

19世纪末，物理学理论（经典物理学）已相当完善： ◆ Newton力学 ◆ Maxwell电磁场理论 ◆ Gibbs热力学 ◆ Boltzmann统计物理学

上述理论可解释当时常见物理现象，但也发现了解释不了的新现象。

1.1.1 黑体辐射与能量量子化

黑体：能全部吸收外来电磁波的物体。黑色物体或开一小孔的空心金属球近似于黑体。 黑体辐射：加热时，黑体能辐射出各种波长电磁波的现象。 ★经典理论与实验事实间的矛盾：

Wien（维恩）曲线经典电磁理论假定：黑体辐射是由黑体中

能

带电粒子的振动发出的。

量 按经典热力学和统计力学理论，计算所得

Rayleigh-J的黑体辐射能量随波长变化的分布曲线，与实验所得曲线明显不符。

eans（瑞利按经典理论只能得出能量随波长单调变化的曲线：

－金斯）曲 Rayleigh-Jeans把分子物理学中能量按自由度均分原则用到电磁辐射上，按其公式计算所得结果在长波处比较接近实验曲线。

Wien假定辐射波长的分布与Maxwell分子速度分布类似，计算结果在短波处与实验较实验曲线接近。

经典理论无论如何也得不出这种有极大值的曲线。

• • •

黑体辐射能量分布曲线 波长

1900年，Planck（普朗克）假定：

黑体中原子或分子辐射能量时作简谐振动，只能发射或吸收频率为, 能量为 h 的整数倍的电磁能，即振动频率为  的振子，发射的能量只能是 0h，1h，2h，……，nh（n为整数）。

h 称为Planck常数，h＝6.626×10

－34

J•S

按 Planck 假定，算出的辐射能 E 与实验观测到的黑体辐射能非常吻合：

1h/kt8h3

c3

●能量量子化：黑体只能辐射频率为  ，数值为 h 的整数倍的不连续的能量。

Ee1

1.1.2 光电效应和光子学说

光电效应：光照射在金属表面，使金属发射出电子的现象。

光 金属 电子

1900年前后，许多实验已证实：

●照射光频率须超过某个最小频率0，金属才能发

射出光电子；

●增加照射光强度，不能增加光电子的动能，只能使光电子的数目增加； ●光电子动能随照射光频率的增加而增加。

经典理论不能解释光电效应：

经典理论认为：光波的能量与其强度成正比，而与频率无关；只要光强足够，任何频率的光都应产生光电效应；光电子的动能随光强增加而增加，与光的频率无关。这些推论与实验事实正好相反。

1905年，Einstein在Planck能量量子化的启发下，提出光子学说：

★光是一束光子流，每一种频率的光其能量都有一个最小单位，称为光子，光子的能量与

其频率成正比：h

★光子不但有能量，还有质量（m），但光子的静止质量为零。根据相对论的质能联系定

22

律＝mc，光子的质量为：m＝h/c，不同频率的光子具有不同的质量。 ★光子具有一定的动量：p＝mc＝h/c＝h/ (c＝）

★光的强度取决于单位体积内光子的数目（光子密度）。

产生光电效应时的能量守恒：

2

h＝w＋Ek＝h0+mv/2 （脱出功：电子逸出金属所需的最低能量，w＝hυ0） 用Einstein光子说，可圆满解释光电效应：

○当hυ< w 时，υ<υ0 ， 光子没有足够能量使电子逸出金属，不发生光电效应； ○当hυ＝w时，υ＝υ0 ，这时的频率就是产生光电效应的临阈频率（υ0）；

○当hυ>w时，υ>υ0，逸出金属的电子具有一定动能，Ek＝hυ-hυ0，动能与频率呈直线关系，与光强无关。

光的波粒二象性

只有把光看成是由光子组成的光束，才能理解光电效应；而只有把光看成波，才能解释衍射和干涉现象。即，光表现出波粒二象性。

波动模型是连续的，光子模型是量子化的，波和粒表面上看是互不相容的，却通过Planck常数，将代表波性的概念和 与代表粒性的概念  和p联系在了一起，将光的波粒二象性统一起来：

=h，p＝h/

1.1.3 实物微粒的波粒二象性

de Broglie(德布罗意)假设：

1924年，de Broglie受光的波粒二象性启发，提出实物微粒（静止质量不为零的粒子，如电子、质子、原子、分子等）也有波粒二象性。认为=h，p＝h/ 也适用于实物微粒，即，以 p＝mv的动量运动的实物微粒，伴随有波长为 ＝h/p＝h/mv 的波。此即de Broglie关系式。

de Broglie波与光波不同：光波的传播速度和光子的运动速度相等；de Broglie波的传播速

度（u）只有实物粒子运动速度的一半： v＝2u。 对于实物微粒：u＝，E＝p2/(2m)

2

＝(1/2)mv2 , 对于光：c＝，E＝pc＝mc 。

微观粒子运动速度快，自身尺度小，其波性不能忽略；宏观粒子运动速度慢，自身尺度

6－

大，其波性可以忽略：以1.010m/s的速度运动的电子，其de Broglie波长为7.31010－2

m（0.73nm），与分子大小相当；质量为1g的宏观粒子以 110m/s 的速度运动，de

－29

Broglie 波长为7 10m，与宏观粒子的大小相比可忽略，观察不到波动效应。 de Broglie波被证实：

1927年，Davisson和Germer用镍单晶电子衍射、Thomson用多晶金属箔电子衍射，分别得到了与X-射线衍射相同的斑点和同心圆，证实电子确有波性。后来证实：中子、质子、原子等实物微粒都有波性。

电子衍射示意图CsI箔电子衍射图

实物微粒波的物理意义——Born的统计解释

Born认为，实物微粒波是几率波：在空间任一点上，波的强度和粒子出现的几率成正比。

用较强的电子流可在短时间内得到电子衍射照片；但用很弱的电子流，让电子先后一个一个地到达底片，只要时间足够长，也能得到同样的电子衍射照片。电子衍射不是电子间相互作用的结果，而是电子本身运动所固有的规律性。

实物微粒的波性是和微粒行为的统计性联系在一起的，没有象机械波（介质质点的振动）那样直接的物理意义，实物微粒波的强度反映粒子出现几率的大小。

对实物微粒粒性的理解也要区别于服从Newton力学的粒子，实物微粒的运动没有可预测的轨迹。

一个粒子不能形成一个波，但从大量粒子的衍射图像可揭示出粒子运动的波性和这种波的统计性。

原子和分子中电子运动可用波函数描述，而电子出现的几率密度可用电子云描述。

1.1.4 Heisenberg不确定度关系

x测不准原理： 一个粒子不能同时具有确定的坐 P标和动量。 D测不准原理是由微观粒子本身特性决 A定的物理量间相互关系的原理。反映的是物 eOy质的波性，并非仪器精度不够。

测不准关系式的导出： QAOP－AP＝OC＝/2

狭缝到底片的距离比狭缝的宽度大得多

PC当CP ＝AP时，∠PAC,∠PCA,∠ACO均接近

psin90°，sin＝OC/AO=/D

OD越小（坐标确定得越准确），越大，电子

电子单缝衍射实验示意图经狭缝后运动方向分散得越厉害（动量不确定程

度越大）。落到P点的电子在狭缝处其px＝psin，即△px＝ psin＝p/D=h/D，而△x＝D 所以 △x△px＝h，考虑二级以上衍射，△x△px≥h

●测不准关系是经典力学和量子力学适用范围的判据

例如，0.01kg的子弹，v＝1000m/s，若△v＝ v1%，则，△x＝h /（m△v）＝6.610－33

m，完全可忽略，宏观物体其动量和位置可同时确定；但对于相同速度和速度不确定

－5

程度的电子，△x＝h /（m△v）＝7.2710m，远远超过原子中电子离核的距离。●测不准关系是微观粒子波粒二象性的客观反映，是对微观粒子运动规律认识的深化。它限制了经典力学适用的范围。

●微观粒子和宏观粒子的特征比较：

▲宏观物体同时有确定的坐标和动量，可用Newton力学描述；而微观粒子的坐标和动量不能同时确定，需用量子力学描述。 ▲宏观物体有连续可测的运动轨道，可追踪各个物体的运动轨迹加以分辨；微观粒子具有几率分布的特征，不可能分辨出各个粒子的轨迹。

▲宏观物体可处于任意的能量状态，体系的能量可以为任意的、连续变化的数值；微观粒子只能处于某些确定的能量状态，能量的改变量不能取任意的、连续的数值，只能是分立的，即量子化的。

▲测不准关系对宏观物体没有实际意义（h可视为0）；微观粒子遵循测不准关系，h不能看做零。所以可用测不准关系作为宏观物体与微观粒子的判别标准。

课外作业：1阅读教材相关部分 上交作业：P20 1.1 1.3 1.7 教学效果评价:

第一章 量子力学基础知识 （第二讲）

1.2 量子力学基本假设

量子力学：微观体系运动遵循的规律。主要特点是能量量子化和运动的波性。是自然界的

基本规律之一。主要贡献者有：Schrödinger，Heisenberg，Born & Dirac

量子力学由以下5个假设组成，据此可推导出一些重要结论，用以解释和预测许多实验事实。半个多世纪的实践证明，这些基本假设是正确的。

1.2.1 波函数和微观粒子的状态

假设Ⅰ：对于一个微观体系，它的状态和有关情况可用波函数(x,y,z,t)表示。是体

系的状态函数，是体系中所有粒子的坐标和时间的函数。

定态波函数：不含时间的波函数(x,y,z)。本课程只讨论定态波函数。

一般为复数形式： ＝f＋ig，f和g均为坐标的实函数。 的共轭复数*＝f－ig， *＝f2＋g2，因此*是实函数，且为正值。为书写方便，常用2代替*。

由于空间某点波的强度与波函数绝对值的平方成正比，所以在该点附近找到粒子的几率正比于*，用波函数描述的波为几率波。

◆几率密度：单位体积内找到电子的几率，即*。

◆电子云：用点的疏密表示单位体积内找到电子的几率,与*是一回事。 ◆几率：空间某点附近体积元d中电子出现的概率，即*d。

●用量子力学处理微观体系，就是要设法求出的具体形式。虽然不能把看成物理波，但是状态的一种数学表达，能给出关于体系状态和该状态各种物理量的取值及其变化的信息，对了解体系的各种性质极为重要。

●波函数(x,y,z)在空间某点取值的正负反映微粒的波性；波函数的奇偶性涉及微粒从一个状态跃迁至另一个状态的几率性质（选率）。

●波函数描述的是几率波，所以合格或品优波函数必须满足三个条件： ①波函数必须是单值的，即在空间每一点只能有一个值；

②波函数必须是连续的，即的值不能出现突跃；(x,y,z) 对x,y,z的一级微商也应是连续的；

③波函数必须是平方可积的，即在整个空间的积分∫*d应为一有限数，通常要求波函数归一化，即∫*d＝1。

1.2.2 物理量和算符

假设Ⅱ：对一个微观体系的每个可观测的力学量，都对应着一个线性自轭算符。 算符：对某一函数进行运算,规定运算操作性质的符号。如：sin，log 算符运算规则：算符加法、算符乘法、结合律。 线性算符：Â(1＋2)＝ Â1＋ Â2

自轭算符：∫1*Â1 d＝∫1(Â1 )*d或∫1*Â2 d＝∫2 (Â1 )*d

例如， Â＝id/dx，1＝exp[ix]，1*＝exp[-ix]，则，

∫exp[-ix](id/dx)exp[ix]dx＝∫exp[-ix](-exp[ix])dx＝-x

∫exp[ix]  (id/dx)exp[ix]  *dx＝∫exp[ix](-exp[ix])*dx＝-x

量子力学需用线性自轭算符，目的是使算符对应的本征值为实数。

○力学量与算符的对应关系如下表： 力学量算符力学量算符位置xˆxxˆpih＝－x2πxxyyxˆzihM2势能V动能T=p2/2m总能量E=T+VˆVVh2222h22ˆT222282m8mxyz动量的x轴分量px角动量的z轴分量Mz＝xpy－ypxˆHh282mˆ2V 求解物理量的算符：

为物理量写出包含坐标q（即x,y,z）和动量沿坐标q的分量Pq的经典表达式，然后以

ihˆq＝－2 pπqˆq 代入，整理、化简即得。 q

1.2.3 本征态、本征值和Schrödinger方程

假设Ⅲ：若某一力学量A的算符Â作用于某一状态函数后，等于某一常数a乘以，即Â＝a，那么对所描述的这个微观体系的状态，其力学量A具有确定的数值a，a称为力学量算符Â的本征值，称为Â的本征态或本征函数，Â＝a称为Â的本征方程。 （这一假设把量子力学数学表达式的计算值与实验测量的数值沟通起来）

自轭算符的本征值一定为实数：

Â＝a，两边取复共轭，得，Â**＝a**，由此二式可得： ∫*(Â)d＝a∫* d，∫(Â**)d＝a*∫*d 由自轭算符的定义式知， ∫*Â d＝∫(Â**)d

故，a∫* d＝a*∫*d，即a＝a*，所以，a为实数。

＊一个保守体系（势能只与坐标有关）的总能量E在经典力学中用Hamilton函数H表示，即：

对应的Hamilton算符为：

h2222h2ˆˆH＝－2＋2＋2＋V＝－22＋V28mxyz8m

● Schrödinger方程——能量算符的本征方程，是决定体系能量算符的本征值（体系中

某状态的能量E）和本征函数（ 定态波函数，本征态给出的几率密度不随时间而改

变）的方程，是量子力学中一个基本方程。具体形式为：

h22ˆˆH＝E，即 －＋V82m＝E对于一个微观体系，自轭算符Â给出的本征函数组1，2，3…形成一个正交、归一

的函数组。

归一性：粒子在整个空间出现的几率为1。即 ∫i*id＝1

正交性：∫i*jd＝0。 由组内各函数的对称性决定，例如，同一原子的各原子轨道（描述原子内电子运动规律的波函数）间不能形成有效重叠（H原子的1s和2px轨道，一半为＋＋，另一半为＋－重叠）。

正交性可证明如下：

设有Âi＝aii； Âj＝ajj；而ai≠aj，当前式取复共轭时，得： (Âi)*＝ai*i*＝aii*，（实数要求ai＝ai*）

由于∫i*Âjd＝aj∫i*jd，而 ∫(Âi)*jd＝ai∫i*jd

上两式左边满足自轭算符定义，故，(ai－aj)∫i*jd＝0，而ai≠aj 故∫i*jd＝0

1.2.4 态叠加原理

假设Ⅳ：若1，2… n为某一微观体系的可能状态，由它们线性组合所得的也是该

体系可能的状态。

c11c22cnncii , c1,c2,cn为任意常数。i

□ 组合系数ci的大小反映i贡献的多少。为适应原子周围势场的变化，原子轨道通过

线性组合，所得的杂化轨道（sp，sp2，sp3等）也是该原子中电子可能存在的状态。 □ 本征态的力学量的平均值

设与1，2… n对应的本征值分别为a1，a2，…，an，当体系处于状态并且已归一化时，可由下式计算力学量的平均值〈a〉（对应于力学量A的实验测定值）：

2ˆˆdaAcAcdciiiiiaiiii□ 非本征态的力学量的平均值

若状态函数不是力学量A的算符Â的本征态,当体系处于这个状态时,Âa,但这时可用积分计算力学量的平均值： 〈a〉＝∫*Âd

例如，氢原子基态波函数为1s，其半径和势能等均无确定值，但可由上式求平均半径和平均势能。

1.2.4 Pauli原理

假设Ⅴ：在同一原子轨道或分子轨道上，至多只能容纳两个自旋相反的电子。或者说，

两个自旋相同的电子不能占据相同的轨道。

Pauli原理的另一种表述：描述多电子体系轨道运动和自旋运动的全波函数，交换任两

个电子的全部坐标（空间坐标和自旋坐标），必然得出反对称的波函数。

电子自旋：1925年，G.Uhlenbeck(乌伦贝克)和S.Goudsmit(哥希密特)提出，电子具有不依赖轨道运动的自旋运动,具有固有的角动量和相应的磁矩。光谱的Zeeman效应(光谱线在磁场中发生分裂)、精细结构、Stern和Gerlach实验都是证据。 全同粒子：微观粒子具有波性，相同微粒是不可分辨的。(q1,q2)=  (q2,q1) 费米子：自旋量子数为半整数的粒子。如，电子、质子、中子等。

(q1,q2,…qn)＝－(q2,q1,…,qn)

倘若q1＝q2，即(q1,q1,q3,…qn)＝－(q1,q1,q3,…,qn)则，(q1,q1,q3,…qn)＝0，处在三维空间同一坐标位置上，两个自旋相同的电子，其存在的几率为零。据此可引伸出以下两个常用规则：

① Pauli不相容原理：多电子体系中，两自旋相同的电子不能占据同一轨道，即，同

一原子中，两电子的量子数不能完全相同；

② Pauli排斥原理：多电子体系中，自旋相同的电子尽可能分开、远离。

玻色子：自旋量子数为整数的粒子。如，光子、介子、氘、粒子等。

(q1,q2,…qn)＝(q2,q1,…,qn)

课外作业：1阅读教材相关部分 上交作业：P20 1.10 1.12 1.13

教学效果评价:

第一章 量子力学基础知识 （第三讲）

1.3 箱中粒子的Schrödinger方程及其解

1. 一维势箱模型 2．一维势箱求解

V＝0 0＜x＜l（Ⅱ区）

V＝∞ x≤0，x≥l（Ⅰ 、Ⅲ区，y＝0）

•Schrödinger方程：

h2d22E8mdx2d282mE即， 20dxh2

此方程为二阶常系数线性齐次方程，相当于：y〞＋qy＝0 （1）

设 y＝ex，代入（1），得2ex+qex=0，ex≠0

则，2＋q＝0，1＝iq1/2，2＝－iq1/2，属一对共轭复根： 1＝＋i，2＝－i，这里，＝0，＝q1/2

其实函数通解为 y＝ex(c1cosx+c2sinx)

（根据欧拉公式）∴方程（1）的通解为 y＝c1cosq1/2x+c2sinq1/2x

对于一维势箱，q＝82mE/h2，

∴＝c1cos(82mE/h2)1/2x+c2sin(82mE/h2)1/2x （2） 根据品优波函数的连续性和单值性条件，x＝0时，＝0 即(0)＝c1cos(0)+c2sin(0)=0， 由此 c1=0

x=l时，(l)＝c2sin(82mE/h2)1/2l=0， c2不能为0 (否则波函数处处为0) 只能是(82mE/h2)1/2l=n n＝1,2,3, …（n≠0，(否则波函数处处为0) ∴E＝n2h2／8ml2 n＝1,2,3, … （能量量子化是求解过程中自然得到的） 将c1=0和E＝n2h2／8ml2 代入（2），得 (x)＝c2sin(nx/l) C2可由归一化条件求出，因箱外＝0，所以

c221122sin(nx/l)dx1 sinydyysin2y024l2c2l2sinydy1n2c2lnnx12nx2nxnx1sinsin12l4l2l4lxlx02c2

lnπ22l1 c1 c22nπl22 箱中粒子的波函数 n(x)2nxsinll

E＝n2h2／8ml2 n＝1,2,3, …

3．结果讨论及与经典力学模型的对比

（1）一维势箱中粒子的能级、波函数和几率密度

E1=h2/8ml2, 1=(2/l)1/2sin(x/l) E2=4h2/8ml2,2=(2/l)1/2sin(2x/l) E3=9h2/8ml2,3=(2/l)1/2sin(3x/l)

按经典力学箱内粒子的能量是连续的，按量子力学能量是量子化的； 按经典力学基态能量为零，按量子力学零点能为h2/8ml2>0；

按经典力学粒子在箱内所有位置都一样，按量子力学箱内各处粒子的几率密度是不

均的；

 可正可负，=0称节点，节点数随量子数增加，经典力学难理解。

（2）受一定势能场束缚的粒子的共同特征

粒子可以存在多种运动状态，它们可由1，2，…， n等描述； 能量量子化； 存在零点能；

没有经典运动轨道，只有几率分布； 存在节点，节点越多，能量越高。 量子效应：上述特征的统称。

当En=n2h2/8ml2中m、l增大到宏观数量时，能级间隔变小，能量变为连续，量子效应消失。

（3）只要知道了，体系中各力学量便可用各自的算符作用于而得到： a. 粒子在箱中的平均位置

ˆx , xˆncn, xˆ无本征值，只能求平均值：由于x ll2nx2nx*xxdxsinsinxdxnn 00llll

2l2l1cos（2nx/l）112nx xsindxxdxucosnudu2cosnuusinnul0l02nnl

l2 21xl2nxl2nxlxsincos ll2nl22n02

b. 粒子动量的x轴分量px lˆ也无本征值，即ˆc *ˆ可以验证，P PPnPxndxxxnn x0

2lnxihdnx sinsindx0ll2dxl

ihlnxnx sindsinl0ll

xl ihsin2(nx/l)0

l2x0

c. 粒子的动量平方px2值 h2d22nxh2dn2nx2ˆ pxn42dx2lsinl42dxllcosl

222 Px2n2h2h2n2nxnhE2sinn•2 4l2m8ml24lll

4. 一维试箱模型应用示例

(1) 丁二烯的离域效应：E定=22h28ml2=4E1 E离=2h2/8m(3l)2+222h2/8m(3l)2 =(10/9)E1 势箱长度的增加，使分子能量降低，更稳定。

C C C C C C C C  E1

4/9E1 1/9E1 l l l 3l

定域键 离域键

(2) 花菁燃料的吸收光谱 [R2N¨－(CH＝CH－)rCH＝N+R2]

势箱总长l＝248r+565pm，共有2r＋2＋2个电子，基态时需占r+2个分子轨道，当电子由第（r+2）个轨道跃迁到第（r+3）个轨道时，需吸收光的频率为=△E/h=(h/8ml2)[(r+3)2-(r+2)2]=(h/8ml2)(2r+5), 由=c/，=8ml2c/(2r+5)h

r 计算 实验 1 311.6 309.0 2 412.8 409.0 3 514.0 511.0

说明此体系可近视看做一维势箱。

445. 量子力学处理微观体系的一般步骤：

①根据体系的物理条件，写出势能函数，进而写出Schrödinger方程； ②解方程，由边界条件和品优波函数条件确定归一化因子及En，求得n ③描绘n， n*n等图形，讨论其分布特点；

④用力学量算符作用于n，求各个对应状态各种力学量的数值，了解体系的性质； ⑤联系实际问题，应用所得结果。

6. 三维势箱

三维势箱中粒子运动的Schrödinger方程：

1/2三维势箱中粒子运动的波函数： nyynxxnzz8sinsinsin

abcabc 2222nnhnyxz三维势箱能级表达式： E   22 nx，ny，nz均为非零整数28mabc 

h222简并态：能量相同的各个状态。 当abc时，E（nxnynz2）28ma

课外作业：1阅读教材相关部分 上交作业：P20 1.16 1.9

h2222222E28mxyz