山西省八校2016届高三上学期期末联考
数学（理科）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．满足为虚数单位的复数( )
A． 2．设
B． C． D．
是非零向量,已知命题则下列命题中真命题是( )
若则;命题若则
3．若二项式的展开式中的系数是84，则实数＝( )
A. 2 B. 4．直线
与圆
C.1 D.
相交于
两点，则
是“
的面积为
”的（ ）
充分而不必要条件 既不充分又不必要条件 5．由曲线
，直线
所围成的平面图形的面积为( ) 必要而不充分条件
充分必要条件
A. B．2－ln 3 C．4＋ln 3 D．4－ln 3
6．如图是函数f（x）=x2+ax+b的部分图象，则函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（ ） A ． B． （1，2） C． D． （2，3） （） （，1）
1
7 .某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为 A.360 B.520 C.600 D.720
8．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为( )
A．32π B．π＋1 C．32π＋1 D．5
2π＋1 9．在平面直角坐标系中，为原点，
，
,
，动
点满足
,则
的取值范围是（ ）
A. B.
C.
D.
10．设点在曲线
上，点在曲线上，则
的最小值为（ ）
A.
B.
C.
D.
11．已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x－4)＝－f (x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( )．
A．f(－25)＜f(11)＜f(80) B．f(80)＜f(11)＜f(－25)
C．f(11)＜f(80)＜f(－25) D．f(－25)＜f(80)＜f(11)
12．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且,则
椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）
A. B. C.3 D.2
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．设数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，且S3=3a3，则公比q的值为 14．函数
的值域为 ．
15．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面为直角三角形。∠ACB=900，AC=6，
2
BC=CC1=，P是BC1上一动点，则CP+PA1的最小值为___________
16．定义在R上的函数y=f（x）是减函数，y=f（x﹣1）的图象关于（1，0）成中心对称，若s，t满足不等式f（s2﹣2s）≤﹣f（2t﹣t2），则当
的取值范围是_______．
三．解答题：(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，正明过程和演算步骤) 17．（12分）在
，且
①求角
的大小； ②求
中，角
的对边分别为
. 的取值范围.
18．（本小题满分12分）某数学老师对本校2013届高三学生的高考数学成绩按1:200进行分层抽样抽取了20名学生的成绩，并用茎叶图记录分数如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下所示的频率分布表：
分数段（分） [50,70) 频数 频率 a [70,90) 0.25 [90,110) [110,130) b [130,150) 总计 （1）求表中a，b的值及分数在[90,100)范围内的学生人数，并估计这次考试全校学生数学成绩的及格率（分数在[90,150）内为及格）：
（2）从成绩在[100,130)范围内的学生中随机选4人，设其中成绩在[100,110)内的人数为X，求X的分布列及数学期望.
19. （本小题满分12分） 如图1，等腰梯形是是棱
的中点，如图2，将上的动点．
沿
中，
面
，连接
，
折起，使面
（1）求证：
3
（2）若
当为何值时，二面角的大小为
x2y2
20．（本小题满分12分）已知椭圆C a2＋b2＝1(a>b>0)的左右焦点分别是F1(－c,0)，
F2(c,0)，，直线L:x=my+c与椭圆C交于两点M,N且当M是椭圆C的上顶点， 且△MF1F2的周长为6. （1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的左顶点为A，直线AM,AN与直线： X=4分别相交于点P,Q,问当m变化时，以线段
PQ为直径的圆被X轴截得的弦长是否为定值？若是， 求出这个定值，若不是，说明理由
21．（本小题满分12分）已知函数（1）讨论函数（2）若函数
在
在定义域内的极值点的个数；
处取得极值，对
,
时，
．
恒成立，
求实数的取值范围；
（3）当
时，求证：
请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。
22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲 如图，圆
的切线交
和圆
内接于直径为的延长线于点于点
；
的值.
，若
的圆，
，过点
作
的平分线
.
分别交
（1）求证：（2）求
4
23．(本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知直线：（为参数，a为的倾斜角），以坐标原点为极点,轴的正
为：的值；
，求
的取值范围.
.
半轴为极轴建立极坐标系，曲线（1）若直线与曲线（2）设曲线
相切，求
上任意一点的直角坐标为
24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 已知正实数
满足：
.
（1）求的最小值;
（2）设函数，对于（1）中求得的，是否存在实数，
使得成立，说明理由.
5
参考答案
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1 满足为虚数单位的复数( )
A． B． C． D．
【解题提示】先解关于z的方程，再用复数的除法法则进行运算。
【解析】选B. 因为2 设则
，所以
若
则
;命题
若
是非零向量,已知命题则下列命题中真命题是
【解题提示】 先判断命题断方法得出答案. 【解析】选A. 当非零向量
方向相同且都和非零向量
是假命题, 命题
垂直时,结论是真命题; 是假命题.
成立,但是
和命题
的真假，结合复合命题
的真假判
不成立,可知命题
而根据平行公理4知命题为真命题, 命题结合复合命题
的真假判断方法知,选项（A）正确.
3 若二项式的展开式中的系数是84，则实数＝( )
A. 2 B. C.1 D.
【解题提示】 考查二项式定理的通项公式
【解析】选C. 因为
，所以
，解得a＝1.
，令，得
6
4.直线的（ ）
与圆相交于两点，则是“的面积为”
充分而不必要条件 充分必要条件
必要而不充分条件 既不充分又不必要条件
【解题指南】小集合推出大集合． 【解析】
直线过定点
在圆上，不妨设其为A点，而B点也在圆上，
，
因此5．由曲线
必为直角，所以当
，直线
的等价条件是．故选A
所围成的平面图形的面积为( )
A. B．2－ln 3 C．4＋ln 3 D．4－ln 3
【知识点】定积分在求面积中的应用．B13
【答案解析】D 解析：由xy=1，y=3可得交点坐标为（，3），
由xy=1，y=x可得交点坐标为（1，1），由y=x，y=3可得交点坐标为（3，3）， ∴由曲线xy=1，直线y=x，y=3所围成的平面图形的面积为
（3﹣）dx+（3﹣x）dx=（3x﹣lnx）+（3x﹣x2）=（3﹣1﹣ln3）+（9﹣
﹣3+）=4﹣ln3，故选：D．
【思路点拨】确定曲线交点的坐标，确定被积区间及被积函数，利用定积分表示面积，即可
7
得到结论．
6．如图是函数f（x）=x2+ax+b的部分图象，则函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（ ）
A ． （ B． （1，2） ） C． （，1） D． （2，3） 考点： 函数零点的判定定理． 专 分析： 由二次函数图象的对称轴确定a的范围，据g（x）的表达式计算g（）和g（1）的值的符号，从而确定零点所在的区间． 解答： 解：由函数f（x）=x2+ax+b的部分图象得0＜b＜1， f（1）=0，从而﹣2＜a＜﹣1， 而g（x）=lnx+2x+a在定义域内单调递增， g（）=ln+1+a＜0， g（1）=ln1+2+a=2+a＞0， ∴函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（，1）； 故选C． 7 .某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为 A.360 B.520 C.600 D.720 【知识点】排列组合.J2
【答案解析】C 解析：解：根据题意，分2种情况讨论， 若只有甲乙其中一人参加，有C21•C53•A44=480种情况； 若甲乙两人都参加，有C22•C52•A44=240种情况， 其中甲乙相邻的有C22•C52•A33•A22=120种情况； 则不同的发言顺序种数480+240-120=600种， 故选C．
【思路点拨】根据题意，分2种情况讨论，①只有甲乙其中一人参加，②甲乙两人都参加，由排列、组合计算可得其符合条件的情况数目，由加法原理计算可得答案．
8．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为( )．
8
335A．2π B．π＋ C．2π＋ D．2π＋
8．C 解析：由三视图可知该几何体为一个半圆锥，即由一个圆锥沿中轴线切去一半而得． 1113∴S＝2×2×＋2×π＋2×2π×1＝2π＋． 9 在平面直角坐标系中，为原点，则A.C.
的取值范围是（ ）
B.
D.
拆分为
，再利用
，
求解。 ,
，动点
满足
,
【解题提示】把【解析】选D.
10．设点
A.
在曲线
B.
上，点在曲线 C.
上，则
D.
的最小值为（ ）
【答案】B 【解析】
试题分析：函数
与直线
垂
和函数互为反函数图像关于对称。则只有直线
9
11．已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( )． A．f(－25)＜f(11)＜f(80) B．f(80)＜f(11)＜f(－25) C．f(11)＜f(80)＜f(－25) D．f(－25)＜f(80)＜f(11)
11．D 解析：因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)， 故函数是以8为周期的周期函数，
则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)， 又因为f(x)在R上是奇函数，
f(0)＝0，得f(80)＝f(0)＝0，f(－25)＝f(－1)＝－f(1)，
而由f(x－4)＝－f(x)得f(11)＝f(3)＝－f(－3)＝－f(1－4)＝f(1)， 又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数， 所以f(1)＞f(0)＝0． 所以－f(1)＜0，
即f(－25)＜f(80)＜f(11)，故选D
12 已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且,则
椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）
A. B. C.3 D.2
【解题提示】椭圆、双曲线的定义与性质，余弦定理及用基本不等式求最值 【解析】选A. 设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为由椭圆、双曲线的定义得
，
，
（
），半焦距为，，所以
，
10
因为，由余弦定理得，
所以，即，
所以，利用基本不等式可求得椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大
值为.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13设数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，且S3=3a3，则公比q的值为 考点： 等比数列的性质． 专题： 计算题． 分析： 分两种情况：当q=1时，得到此等比数列为常数列，各项都等于第一项，已知的等式显然成立；当q=不等于1时，利用等比数列的前n项和的公式及等比数列的通项公式公式化简已知的等式，得到关于q的方程，根据q不等于解出q的值，综上，得到所有满足题意的等比q的值． 解答： 解：当q=1时，S3=a1+a2+a3=3a1=3a3，成立； 当q≠1时，得到S3=，a3=a1q2，又S3=3a3，所以=3q2， 化简得：2q2﹣q﹣1=0，即（q﹣1）（2q+1）=0， 由q≠1即q﹣1≠0，解得q=﹣．综上，公比q的值为1或﹣． 故选C． 点评： 此题考查学生掌握等比数列的性质，灵活运用等比数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道综合题． 14．函数
的值域为 ．
【知识点】两角和与差的正弦函数． 【答案解析】［－7，7］ 解析：∵sin（x+80°）=sin[（x+20°）+60°]=sin（20°+x）+∴f（x）=3sin（20°+x）+5sin（x+80°） =3sin（20°+x）+[sin（20°+x）+
cos（20°+x）]
cos（20°+x），
=sin（20°+x）+cos（20°+x）=sin（20°+x+φ）
=7sin（20°+x+φ），∴f（x）∈[﹣7，7]，故答案为：[﹣7，7]． ．
11
【知识点】两角和与差的正弦函数．
15.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面为直角三 角形。∠ACB=900，AC=6，BC=CC1=
，P是BC1
上一动点，则CP+PA1的最小值为___________
16．定义在R上的函数y=f（x）是减函数，y=f（x﹣1）的图象关于（1，0）成中心对称，若s，t满足不等式f（s2﹣2s）≤﹣f（2t﹣t2），则当1] ． 的取值范围是 [﹣，
考点： 奇偶性与单调性的综合；函数的图象与图象变化． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 首先由由f（x﹣1）的图象关于（1，0）中心对称知f（x）的图象关于（0，0）中心对称，根据奇函数定义与减函数性质得出s与t的关系式，然后利用线性规划的知识即可求得结果． 解答： 解：把函数y=f（x）向右平移1个单位可得函数y=f（x﹣1）的图象 ∵函数y=f（x﹣1）得图象关于（1，0）成中心对称 ∴函数y=f（x）的图象关于（0，0）成中心对称，即函数y=f（x）为奇函数 ∵f（s2﹣2s）≤﹣f（2t﹣t2）=f（t2﹣2t）且函数y=f（x）在R上单调递减 ∴S2﹣2S≥t2﹣2t在S∈[1，4]上恒成立 即（t﹣s）（s+t﹣2）≤0 ∵1≤s≤4 ∴﹣2≤2﹣s≤1，即2﹣s≤s ∴2﹣s≤t≤s 作出不等式所表示的平面区域，如图的阴影部分的△ABC，C（4，﹣2） 而表示在可行域内任取一点与原点（0，0）的连线的斜率，结合图象可知OB直线的斜率是最大的，直线OC的斜率最小 ∵KOB=1，KOC=
12
故∈[﹣，1] 故答案为：[﹣，1] 三．解答题：(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，正明过程和演算步骤)
17．（10分）在且①求角②求
13
中，角的对边分别为.
，
的大小；
的取值范围.
18．（本小题满分12分）某数学老师对本校2013届高三学生的高考数学成绩按1:200进行分层抽样抽取了20名学生的成绩，并用茎叶图记录分数如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下所示的频率分布表： 分数段（分） [50,70) 频数 频率 a [70,90) 0.25 [90,110) [110,130) b [130,150) 总计
（1）求表中a，b的值及分数在[90,100)范围内的学生人数，并估计这次考试全校学生数学成绩的及格率（分数在[90,150）内为及格）：
（2）从成绩在[100,130)范围内的学生中随机选4人，设其中成绩在[100,110)内的人数为X，求X的分布列及数学期望. 18.解析：（1）由茎叶图可知分数在[50,70)范围内的有2人，在[110,130) 范围内的有3人，
∴a= b=3；分数在[70,90)内的人数20×0.25=5，结合茎叶图可得分数在[70,80)内的
人数为2，所以分数在[90,100)范围内的学生人数为4，故数学成绩及格的学生为13人，所
以估计这次考试全校学生数学成绩的及格率为 ×100%=65%.
（2）由茎叶图可知分数在[100,130)范围内的有7人，分数在[100,110)范围内的有4人，则随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.相
应的概率为：P(X=1)== ；
P(X=2)== ；P(X=3)=
=X ；P(X=4)=
1 =.
2 3 4 随机变量X的分布列为 14
P E(X)=1×+2×+3×+4×=
中，
面
，连接
，
19. （本小题满分12分） 如图1，等腰梯形是是棱
的中点，如图2，将上的动点．
沿
折起，使面
（1）求证：
（2）若
当为何值时，二面角的大小为
(2)
所以如图建立空间直角坐标系
AB=2,则
,
设
),
, B(0,0,
), D(0, ,
,0)
,0) E(1,0,0), C(2,
,
15
设平面PDE的法向量为
,
则即
易知平面CDE的法向量为
解得
所以当时，二面角的大小为。
x2y2
20．（本小题满分12分）已知椭圆C a2＋b2＝1(a>b>0)的左右焦点分别是F1(－c,0)，F2(c,0)，
直与椭圆C交于两点M,N且当
的周长为6.
时，
M是椭圆C的上顶点，且△
（1）求椭圆的C方程；
（2）设椭圆C的左顶点为A，直线AM,AN与直线： X=4分别相交于点P,Q，问当M变化时，以线段
PQ为直径的圆被X轴截得的弦长是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，说明理由
16
20.解：（1）当解得：
时，直线的倾斜角为
，
，所以：
所以椭圆方程是：（1）
当
；…………………………………………………………5分
，（3） 此时，（4）
点的坐标
时，（2） 直线的方程为：
（5） 分别是， 又点坐标（7） 是，（10） 以
，（8） 由图可以得到为直径的圆过右焦点，（ 11）
为直径的圆恒过焦
两点坐标（9） 分别是 点
被轴截得的弦长为6，（12） 猜测当
变化时，（13） 以
，（14） 被轴截得的弦长为定值6，（15） ………………………………………12分
证明如下：
设点点的坐标分别是，则直线的方程是：，
所以点的坐标是，同理，点的坐标是，…………………9分
由方程组得到：，
所以：，……………………………………………11分
从而：
=0，
所以：以
17
为直径的圆一定过右焦点，被轴截得的弦长为定值6.……………14分
21．（本小题满分12分）已知函数（1）讨论函数（2）若函数
在
在定义域内的极值点的个数；
处取得极值，对
,
．
恒成立，
求实数的取值范围；
（3）当时，求证：
21.解：（1）当函数
时， 在
在
， 上恒成立，
在
上没有极值点；
单调递减，∴
当时，得，得，
∴∴当当
在时时，
上递减，在在在
上递增，即在处有极小值．
上没有极值点，
上有一个极值点． …………4分
（注：分类讨论少一个扣一分。）
（3）证明：，
令，则只要证明在上单调递增，………9分
18
又∵，
显然函数在上单调递增．
∴，即，
∴在上单调递增，即，
∴当时，有． ………………12
分
请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。
22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲 如图，线交
内接于直径为
，
的圆
，过点
作圆
的切
和圆
于点
，若
的延长线于点
.
的平分线分别交
（1）求证：（2）求
的值.
；
23．(本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知直线：（为参数，a为的倾斜角），以坐标原点为极点,轴的正
为：的值；
，求
的取值范围.
.
半轴为极轴建立极坐标系，曲线（1）若直线与曲线（2）设曲线
相切，求
上任意一点的直角坐标为
24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 已知正实数
满足：
.
19
（1）求的最小值;
（2）设函数，对于（1）中求得的，是否存在实数，
使得成立，说明理由.
又
是公共角
22. 解：（1）∵PA是圆O的切线 ∴ ∴
∽
………2分
∴ ∴ ………4分 ∴
（2）由切割线定理得： 又PB=5 ∴
………6分
又∵AD是 ∴
的平分线 ∴ ∴
………8分 ………10分
又由相交弦定理得：
23. 解：（1）曲线C的直角坐标方程为即
直线l的方程为:
曲线C为圆心为(3,0)，半径为2的圆.
………3分
∵直线l与曲线C相切 ∴
即 ………5分
∵ aÎ[0,π) ∴a=（2）设
………6分
20
则 ∴
=
的取值范围是
………9分
. ………10分 即
∴
………2分
24. 解：（1）∵
又 当且仅当时取等号
∴
=2 （2） ∴满足条件的实数x不存在.
21
分
………9分
………10分 ………5
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