三角函数应用题的三个模型
作者：龙玉祥
来源：《理科考试研究·初中》2015年第03期
纵观2014年初中数学中考试题，都加大了三角函数知识应用的考题，有的地方以前没单独出三角函数的考题，今年却出了，如四川南充.如何做好三角函数应用的试题呢，我认为一是加强三角函数基础知识的训练，二是要熟练掌握三角函数知识应用三个方面的知识模型，这样一定能做好三角函数应用的考题的.现举例分析说明.
例1 （2014年泰州）图1、图2分别是某种型号跑步机的实物图与示意图，已知踏板CD长为1.6 m，CD与地面DE的夹角∠CDE为12°，支架AC长为0.8 m，∠ACD为80°，求跑步机手柄的一端A的高度h（精确到0.1 m）.（参考数据：sin12°=cos78°≈0.21，sin68°=cos22°≈0.93，tan68°≈2.48）
分析 过C点作FG⊥AB于F，交DE于G.在Rt△ACF中，根据三角函数可求CF，在Rt△CDG中，根据三角函数可求CG，再根据FG=FC+CG即可求解. 解答 过C点作FG⊥AB于F，交DE于G.
因为CD与地面DE的夹角∠CDE为12°，∠ACD为80°， 所以∠ACF=90°+12°-80°=22°，所以∠CAF=68°， 在Rt△ACF中，CF=AC·sin∠CAF≈0.744 m， 在Rt△CDG中，CG=CD·sin∠CDE≈0.336 m， 所以FG=FC+CG≈1.1 m.
故跑步机手柄的一端A的高度约为1.1 m.
点评 此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用数学知识解决实际问题.我们将上面这个图形归纳为一个模型（图3）.
例2 （2014年天津）解放桥是天津市的标志性建筑之一，是一座全钢结构对的部分可开启的桥梁.（1）如图4，已知解放桥可开启部分的桥面的跨度AB等于47 m，从AB的中点C处开启，则AC、开启到A′C′的位置时，A′C′的长为；（2）如图5，某校兴趣小组要测量解放桥的全长PQ，在观景平台M处测得∠PMQ=54°，沿河岸MQ前行，在观景平台N处测得
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∠PNQ=73°.已知PQ⊥MQ，MN=40 m，求解放桥的全长PQ.（tan54°≈1.4，tan73°≈3.3，结果保留整数）.
分析 （1）根据中点的性质即可得出A′C′的长；
（2）设PQ=x，在Rt△PMQ中表示出MQ，在Rt△PNQ中表示出NQ，再由MN=40 m，可得关于x的方程，解出即可. 解 （Ⅰ） A′C′=12AB=23.5 m. （Ⅱ）设PQ=x，在Rt△PMQ中， tan∠PMQ=PQMQ=1.4，所以MQ=x1.4.
在Rt△PNQ中，tan∠PNQ=PQNQ=3.3，所以NQ=x3.3. 因为MN=MQ-NQ=40，即x1.4-x3.3=40， 解得：x≈97.答：解放桥的全长约为97 m.
点评 本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是熟练锐角三角函数的定义，我们将上面这个图形归纳为一个模型（图6）.
例3 （2014年南充）马航MH370失联后，我国政府积极参与搜救.某日，我两艘专业救助船A、B同时收到有关可疑漂浮物的讯息，可疑漂浮物P在救助船A的北偏东53.5°方向上，在救助船B的西北方向上，船B在船A正东方向140海里处.（参考数据：sin36.5°≈0.6，cos36.5°≈0.8，tan36.5°≈0.75）.（1）求可疑漂浮物P到A、B两船所在直线的距离；（2）若救助船A、救助船B分别以40海里/时，30海里/时的速度同时出发，匀速直线前往搜救，试通过计算判断哪艘船先到达P处.
解 （1）解：作PC⊥AC于点C，设PC为x海里. 在Rt△APC中，∠PAC=36.5°， tan36.5°=xAC=0.75，所以AC=43x. 在Rt△PBC中，∠PBC=45°，BC=PC=x， 所以43x+x=140，x=60.
所以P到直线AB的距离是60海里.
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（2）在Rt△APC中，sin36.5°=PCAP=60AP=0.6， 解得AP=100（海里）.
船A到P的时间：100÷40=2.5 （h）. 在Rt△PBC中，sin36.5°=PCBP=60BP=22， 解得BP=602 （海里）.
船B到P的时间：602÷30=22 （h）， 因为2.5
点评 本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是熟练锐角三角函数的定义，我们将上面这个图形归纳为一个模型（图8）
上面的条件和问题均可互换，只要掌握了上面3个模型，反复训练，是很容易做好三角函数应用的考题的.
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