高中三角函数专题练习题附答案

一、填空题

1．如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为43，则这个圆锥的体积为___________.

2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a1，A值，则实数的取值范围是_____．

3，若bc有最大4π23．已知函数fx4sinx0，圆C的方程为x5y225，若在圆C内部

3恰好包含了函数fx的三个极值点，则的取值范围是______.

4．在平面直角坐标系中，对任意角，设的终边上异于原点的任意一点P的坐标为

(x,y)，它与原点的距离是r.我们规定：比值

rrx,,分别叫做角的正割､余割､余切，分xyy别记作sec，csc，cot，把ysecx,ycscx,ycotx分别叫做正割函数､余割函数､余切函数，则下列叙述正确的有___________(填上所有正确的序号) ①cot31； 4②sincsc1；

③ysecx的定义域为x|xk,kZ； ④sec2csc24；

cot21⑤cot2.

2cot5．ylogsin(x)的单调增区间为________.

36．已知f(sinx)2x1x,，那么f(cos1)________.

227．已知ABC为等边三角形，点G是ABC的重心．过点G的直线l与线段AB交于点

D，与线段AC交于点E．设ADAB，AEAC，则

11__________；ADE与

ABC周长之比的取值范围为__________．

8．已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB2，AA13.若M是侧面BCC1B1内的动点，且AMMC，则A1M的最小值为__________.

9．已知平面四边形ABCD的面积为36，AB4，AD3，BC5，CD6，则

cos(AC)___________.

10．在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2，B2C，则ac的取值范围为________．

二、单选题

11．已知函数f(x)|sinx|(0)在区间,上单调递减，则实数的取值范围为

53（ ） 5A．,3

23B．0,

28C．,3

35D．0,

412．若函数fx同时满足：①定义域内任意实数x，都有f1xf1x0；②对于定义域内任意x1，x2，当x1x2时，恒有x1x2fx1fx20；则称函数fx为“DM函数”.若“DM函数”满足f2sinfcos0，则锐角的取值范围为（ ） A．0,

4C．,

43B．0, 32D．,

4313．已知0cos1sin1m0，则使得f有最大值，f1mmsincos2时的m的取值范围是（ ）

1A．,2

21B．,3

3C．1,3

1D．,1

414．如图，长方形ABCD中，AB15，AD1，点E在线段AB（端点除外）上，现将2ADE沿DE折起为ADE．设ADE，二面角ADEC的大小为，若

，则四棱锥ABCDE体积的最大值为（ ）

π2

1A．

4B．

23C．151 12D．51 8315．已知函数fxsinxacosx(a0且0），周期T2，f()3，且fx在x

6

处取得最大值，则的最小值为（ ）

B．12

C．13

D．14

A．11

x2y216．设点Px1,y1在椭圆1上，点Qx2,y2在直线x2y80上，则

82x2x1y2y1的最小值是（ ）

A．12 2B．3 C．13 2D．2

x24x2,x017．设函数f(x)，对于非负实数t，函数yfxt有四个零点x1，

sinx,6x0x2，x3，x4．若x1A．0 值为（ ） A．6

B．62 C．12

D．122

B．1

C．2

D．3

18．在ABC中，BAC的平分线交BC于点D,BD2DC,BC6，则ABC的面积的最大

19．已知函数fxsin3x0在0,上单调递增，现有如下三个结论：

24①的最小值为

； 3②当取得最大值时，将函数fx的图像向左平移

个单位后，再把曲线上各点的横坐181标伸长到原来的2倍，得到函数gx的图像，则g；

32③函数fx在0,2上有6个零点． 则上述结论正确的个数为（ ） A．0

B．1

C．2

D．3

20．已知函数fx2sinxcosx3cos2x，给出下列结论：①fx的图象关于直线xππ7π2；③fx在,上是减函数；④0是fx的对称；②fx的值域为2,121212极大值点．其中正确的结论有（ ） A．①④

B．②③

C．①②③

D．①②④

三、解答题

21．已知a3,sinx，b1,2cosx，其中0，fxab，且函数fx3在x12处取得最大值.

（1）求的最小值，并求出此时函数fx的解析式和最小正周期； （2）在(1)的条件下，先将yfx的图像上的所有点向右平移

个单位，再把所得图像4上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，然后将所得图像上所有的点向下平移53个单位，得到函数ygx的图像.若在区间,上，方程gx2a10有两个

332不相等的实数根，求实数a的取值范围；

（3）在(1)的条件下，已知点P是函数yhx图像上的任意一点，点Q为函数311,yfx图像上的一点，点AOPOQOAhx0的解集. ，且满足，求6424112222．已知函数f(x)cosxsinxcosxsinx.

22（1）求f(x)的单调递增区间；

（2）求f(x)在区间,的最大值和最小值.

8223．已知函数f(x)23sin2x2sinxcosxa(aR)，且f(0)3. （1）求a的值；

（2）若f(x)在[0,]上有且只有一个零点，0，求的取值范围. 24．如图所示，在平面四边形ABCD中，AB1,BC2,ACD为正三角形.

（1）在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若sin(2AC)3sinC，求角B的大小； （2）求BCD面积的最大值.

25．在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c. 已知sin（1）若a4，c210，求ABC的面积； （2）若ABC的面积为13291522，且sinAsinBsinC，求c的值.

164C10 242226．已知函数f(x)sin2x2tsin2xt6t1，x,，最小值为

44242gt.



（1）求当t1时，求f的值；

8

（2）求gt的表达式；

1t1时，要使关于t的方程g(t)k2t9有一个实数根，求实数k的取值范围. 227．已知ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，函数

（3）当fx2sinxAcosxsinA，且当x5时，fx取最大值. 12（1）若关于x的方程fxt，x0,有解，求实数t的取值范围；

2（2）若a5，且sinBsinC43，求ABC的面积. 513328．已知函数f(x)sin2x. cos2x424（1）求f(x)的最小正周期T和[0,]上的单调增区间：

（2）若2f(x)(1)nm0对任意的x,和nN*恒成立，求实数m的取值范围.

3429．已知向量amcosxmsinx,sinx，bcosxsinx,2ncosx，设函数

fxabnxR的图象关于点12,1对称，且1,2 2（I）若m1，求函数fx的最小值；

（II）若fxf对一切实数恒成立，求yfx的单调递增区间．

430．函数f(x)Asin(x)1（A0,0）的最大值为3， 其图象相邻两条对称轴之

6间的距离为

， 2（1）求函数f(x)的解析式；

π（2）设(0,)，则f()2，求的值

22

【参考答案】

一、填空题

1282 811．2,22． 23．1925731,12,48 48484．②④⑤

5．(2k,2k)(kZ)

366．1##1 2137． 3 ,

3268．5 9．

7##0.7 1010．22,23 二、单选题 11．A 12．A 13．A 14．A 15．C 16．D 17．B 18．C 19．C 20．B 三、解答题

1321．（1）的最小值为1，f(x)sin2x，T，（2）0a（3）原不等

432k3kx,kZ 式的解集为x28224【解析】 【分析】

（1）先将f(x)化成正弦型，然后利用fx在xf(x)的解析式和周期

12处取得最大值求出，然后即可得到

5（2）先根据图象的变换得到ygxsinx，然后画出gx在区间,上的图

633象，条件转化为g(x)的图象与直线y12a有两个交点即可

（3）利用坐标的对应关系式，求出h(x)的函数的关系式，进一步利用三角不等式的应用求出结果．

【详解】 （1）因为a3,sinx，b1,2cosx

3所以fxab32sinxcosx

313232sinxcosxsinxsinxcosx3sinx3 2211cos2x133 sin2x33sin2xcos2x222223sin2x 32因为fx在x所以212处取得最大值.

1232当k0时的最小值为1

2k,kZ，即12k1,kZ

3此时f(x)sin2x，T

32（2）将yfx的图像上的所有的点向右平移

个单位得到的函数为433ysin2xsin2x，再把所得图像上所有的点的横坐标伸长为

432623原来的2倍(纵坐标不变)得到的函数为ysinx，然后将所得图像上所有的点向

62下平移3个单位，得到函数ygxsinx

625gxsinx在区间,上的图象为：

633

方程gx2a10有两个不相等的实数根等价于g(x)的图象 与直线y12a有两个交点

11所以12a1，解得0a

24（3）设Px,y，Qx0,y0

31,OPOQOA 因为点A，且满足6421xxx2x00263所以，所以 133yyy2y00242因为点Qx0,y0为函数yfx图像上的一点 所以2y33sin22x 23321即yh(x)sin4x

23因为hx所以2k所以

110，所以sin4x

32464x32k7,kZ 6kk3x,kZ 22428k3kx,kZ 所以原不等式的解集为x28224【点睛】

本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，平面向量的数量积的应用，三角不等式的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于中档题．

13k,k，kZ；（2）fx2，fxmin 22．（1）max8282【解析】 【分析】

（1）直接利用三角函数的恒等变换，把三角函数变形成正弦型函数．进一步求出函数的单调区间．

（2）直接利用三角函数的定义域求出函数的最值． 【详解】 解：（1）f(x)11f(x)cos2xsinxcosxsin2x

2211cos2xsin2x 22f(x)2sin2x 24令22k2x422k，kZ

解得3kxk，kZ 883k,k，kZ 即函数的单调递增区间为88（2）由（1）知f(x)x, 822x2sin2x 2450, 444所以当2x当2x42，即x8时，fxmax2 215，即x时，fxmin 422【点睛】

本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的单调性的应用，利用函数的定义域求三角函数的值域．属于基础型． 1523．（1）a3 （2）,

36【解析】 【分析】

（1）利用降次公式、辅助角公式化简fx表达式，利用f(0)3求得a的值. （2）令f(x)0，结合x的取值范围以及三角函数的零点列不等式，解不等式求得的取值范围. 【详解】

（1）f(x)23sin2x2sinxcosxa sin2x3cos2xa3 2sin2xa3，

3f(0)3，f(0)2sin3a33，

即a3.

（2）令f(x)0，则sin2x0，

3x[0,]，2,2，

333f(x)在[0,]上有且只有一个零点，

232，15， 36的取值范围为

15,. 36【点睛】

本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数零点问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 24．（1）B【解析】 【分析】

（1）由正弦和角公式,化简三角函数表达式,结合正弦定理即可求得角B的大小;

（2）在ABC中,设ABC,ACB,由余弦定理及正弦定理用,表示出CD.再根据三角形面积公式表示出SBCD,即可结合正弦函数的图像与性质求得最大值. 【详解】 （1）由题意可得：

2；（2）31. 3sin2AcosCcos2AsinC3sinC

2∴2sinAcosAcosC12sinAsinC3sinC

整理得sinA(cosAcosCsinAsinC)sinC ∴sinAcos(AC)sinC ∴sinAcosBsinC ∴cosBsinCc1 sinAa2又B(0,) ∴B2 3（2）在ABC中,设ABC,ACB,

由余弦定理得：AC21222212cos54cos, ∵ACD为正三角形, ∴CD2AC254cos, 在ABC中,由正弦定理得：∴ACsinsin, ∴CDsinsin,

222222∵(CDcos)CD1sinCDsin54cossin

1AC, sinsin(2cos)2,

∵BAC,

∴为锐角,CDcos2cos,

SBCD12CDsinCDsin 23331CDcosCDsin, 2231(2cos)sin3sin, 2235时,SBCDmax31. 6∵(0,) ∴当【点睛】

本题考查了三角函数式的化简变形,正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用,三角形面积的表示方法,正弦函数的图像与性质的综合应用,属于中档题. 25．（1）215；（2）c43． 【解析】 【分析】 （1）先根据sinC10计算出sinC与cosC，再利用余弦定理求出b边，最后利用241SABCabsinC求出答案；

2（2）利用正弦定理将等式化为变得关系，再利用余弦定理化为c2与ab的关系式，再结合面积求出c的值． 【详解】 解：（1）因为sinC10， 242所以cosC12sinC10112．又C0,， 216415． 4所以sinC1cos2C因为a4，c210，且c2a2b22abcosC， 12所以4016b24b，

4解得b4， 所以SABC1115absinC44215． 22422（2）因为sinAsinB13213sinC，由正弦定理，得a2b2c2． 161682又a2b22abcosCc2，所以cab．

3又SABC【点睛】

1915，得ab18，所以c248，所以c43． absinC24本题考查正余弦定理解三角形，属于基础题．

25t5t426．（1）4（2）g(t)6t1t28t2【解析】 【分析】

1t21（-，）（-22，） t1（3）

2(t1)1（1）直接代入计算得解；（2）先求出sin(2x)[,1]，再对t分三种情况讨论，结合

42二次函数求出gt的表达式；（3）令h(t)g(t)k2t9，即h(t)(k26)t10有一个实数根，利用一次函数性质分析得解. 【详解】

2（1）当t1时，f(x)sin2x2tsin2x4，所以

44f4. 8（2）因为x[31,]，所以2x[,]，所以sin(2x)[,1] 24246442f(x)[sin(2x)t]26t1（x[,]）

24241512当t时，则当sin(2x)时，[f(x)]mint5t

2424当1t1时，则当sin(2x)t时，[f(x)]min6t1 242当t1时，则当sin(2x)1时，[f(x)]mint8t2

425t5t4故g(t)6t1t28t2（3）当1t21t1 2(t1)1t1时，g(t)6t1，令h(t)g(t)k2t9即h(t)(k26)t10 211h()0h()02g(t)kt9 22欲使有一个实根，则只需或h(1)0h(1)0解得k-2或k2.

. （-，）（-22，）所以k的范围：【点睛】

本题主要考查三角函数的范围的计算，考查二次函数的最值的求法和方程的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题.

27．（1）(【解析】 【分析】

1333. ,1]；（2）42（1）利用两角和差的正弦公式整理fx可得：fxsin(2xA)，再利用已知可得：

25A2k（kZ），结合已知可得：A，求得：x(0,)时，122323sin(2x)1，问题得解. 23343可得：(bc)，结合sinBsinC105（2）利用正弦定理可得：sinBsinCbc8，对a边利用余弦定理可得：a2b2c22bccosA，结合已知整理得：bc13，

再利用三角形面积公式计算得解. 【详解】

解：（1）f(x)2sin(xA)cosxsinA

2sin(xA)cosxsin[x(xA)]

2sin(xA)cosxsinxcos(xA)cosxsin(xA)

sinxcos(xA)cosxsin(xA)

sin(2xA).

因为f(x)在x所以25处取得最大值， 125A2k，kZ, 122即A2k3,kZ. 因为A(0,)，所以A3，

所以f(x)sin(2x).

32因为x(0,)，所以2x(,)

2333所以3sin(2x)1， 233因为关于x的方程f(x)t有解，所以t的取值范围为(,1]．

2（2）因为a5，A于是sinBsinC又sinBsinCbca10=，由正弦定理， sinBsinCsinA333(bc)． 1043，所以bc8. 5由余弦定理得：a2b2c22bccosA，

整理得：25b2c2bc，即25(bc)23bc643bc， 所以bc13，

1133. 所以SABCbcsinA24【点睛】

本题主要考查了两角和、差的正弦公式应用，还考查了三角函数的性质及方程与函数的关系，还考查了正弦定理、余弦定理的应用及三角形面积公式，考查计算能力及转化能力，属于中档题．

511, (2)  28．(1) T=π，单调增区间为0,，1212【解析】 【分析】

1（1）化简函数得到f(x)sin2x，再计算周期和单调区间.

23（2）分情况n的不同奇偶性讨论，根据函数的最值得到答案. 【详解】

133解：（1）函数f(x)sin2x cos2x424131cos2x3 sin2x4224131sin2xcos2xsin2x 4423故f(x)的最小正周期T由题意可知：解得：2． 222k2x322k，kZ

12kx5k，kZ 12511, 因为x[0,]，所以g(x)的单调增区间为0,，12121（2）由（1）得f(x)sin2x

23∵x,∴2x,，

363411∴sin2x1,，2f(x)1,

322若2f(x)(1)nm0对任意的x,和nN*恒成立，

34则2f(x)(1)nm的最小值大于零． 当n为偶数时，1m0，所以，m1

当n为奇数时，1m0，所以，m1 综上所述，m的范围为. 【点睛】

本题考查了三角函数化简，周期，单调性，恒成立问题，综合性强，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

2k2k,kZ 29．（Ⅰ）15；（Ⅱ）31234【解析】 【分析】

n22化简fx解析式可得fxmnsin2x；根据图象关于,1可求得n；

212（Ⅰ）若m1，则fx5sin2x1，从而可得函数最小值；（Ⅱ）利用x

4

为

TT*对称轴，,1为对称中心可得kkN，根据周期和的范围可求得；将

64212,1fx22sin3x13x代入解析式可求得，将整体放入正弦函数的单调递4412增区间中，解出x的范围即可. 【详解】

n22由题意得：fxmcosxsinx2nsinxcosx

2nsin2xmcos2x其中cosnm2n2nnm2n2sin2x 22mm2n2，sin n图象关于点,1对称 1，解得：n2

212fxm24sin2x1

（Ⅰ）若m1，则fx5sin2x1

fxmin15 （Ⅱ）

fxf对一切实数恒成立 fxmaxf

44412622TTkN* kkN*，即：T32k1242332k1，又1,2 

22fx2sin3xmcos3x1，又图象关于点,1对称

12f2sinmcos11，解得：m2

4412fx2sin3x2cos3x122sin3x1

4令22k3x422k，kZ，解得：122k2kx，kZ 3432k2k,kZ fx的单调递增区间为：12343【点睛】

本题考查三角函数图象与性质的综合应用问题，涉及到根据三角函数的性质求解函数解析式的求解、三角函数最值的求解、单调区间的求解问题.

30．（1）f(x)2sin(2x)1.；（2）.

63【解析】 【详解】

（1）由三角函数性质得,最大值为A+1=3,∴A=2， 周期

2222，

6∴f（x）=2sin（2x-）+1 π（2）(0,)，f（）=2

22∴2sin（21-）+1=2,得sin（-）=2，=

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