２０１２年第１期 ＮＯ．１．２Ｏ１２ 湖州职业技术学院学报 Ｊｏｕ ｒ ｎａ１ ｏｆ Ｈｕｚｈｏｕ Ｖｏｃａｔｉｏｎａｌ ａｎｄ ＴｅｃｈｎｏｌｏｇｉｃａＩ Ｃｏｌｌｅｇｅ ２０１２年Ｏ３月 Ｍａｒ．２Ｏ１２ 常微分方程 精品课程的教学 改革与教学实践 韩祥临，欧阳成 （湖州师范学院理学院，浙江湖州 ３ｌ３０００） 摘要：结合教学实践，提出了《常微分方程》精品课程建设中坚持“基础＋提高＋应用＋研究”四位一体的教学模式。在实施过 程中应注意合理整合教学内容，适当减少纯理论推导，增加应用性知识，并采用多样化的教学手段和教学方式，以改善教学效果， 还应制定灵活的课程评价机制，增加过程性评价的比重和学生的参与度，只有这样才能达到理想的教学目标。 关键词：常微分方程；精品课程；课程建设 中图分类号：Ｏ１７５．１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７２—２３８８（２０１２）０１—０００８—０４ Ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ａｎｄ Ｐｒａｃｔｉｃｅ ｏｆ Ｅｘｃｅｌｌｅｎｔ Ｃｏｕｒｓｅ ｏｆ Ｏｒｄｉｎａｒｙ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ Ｅｑｕａｔｉｏｎ ＨＡＮ Ｘｉａｎｇ—ｌｉｎ，ＯＵＹＡＮＧ Ｃｈｅｎｇ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ。Ｈｕｚｈｏｕ Ｔｅａｃｈｅｒｓ Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｈｕｚｈｏｕ ３ １ ３０００。（ 抽ａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｃｏｍｂｉｎｉｎｇ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｔｅａｃｈｉｎｇ ｐｒａｃｔｉｃｅ，ｔｈｉｓ ａｒｔｉｃｌｅ ｐｕｔ ｆｏｒｗａｒｄ ｔｈｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｉｎ ｔｈｅ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｏｆ ｅｘｃｅｌｌｅｎｔ ｃｏｕｒｓｅ ｏｎ “ｂａｓｅ＋ｉｍｐｒｏｖｅｍｅｎｔ＋ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ＋ｓｔｕｄｙ”，ｔｈｅ“ｆｏｕｒ ｉｎ ｏｎｅ”ｔｅａｃｈｉｎｇ ｍｏｄｅ．Ｉｎ ｔｈｅ ｐｒｏｃｅｓｓ ｏｆ ｉｍｐｌｅｍｅｎｔｉｎｇ，ｗｈａｔ ｓｈｏｕｌｄ ｂｅ ｄｏｎｅ ｉｓ ｔｏ ｐａｙ ａｔｔｅｎｔｉｏｎ ｔｏ ｔｈｅ ｒｅａｓｏｎａｂｌｅ ｃｏｎｆｏｒｍｉｔｙ ｏｆ ｔｅａｃｈｉｎｇ ｃｏｎｔｅｎｔｓ，ｒｅｄｕｃｅ ｔｈｅ ｐｕｒｅ ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ ｄｅｒｉｖａｔｉｏｎ，ａｎｄ ｉｎｃｒｅａｓｅ ａｐｐｌｉｅｄ ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ ｂｙ ｕ ｓｉｎｇ ｖａｒｉｏｕｓ ｔｅａｃｈｉｎｇ ｍｅａｎｓ ａｎｄ ｔｅａｃｈｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄｓ ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｉｍｐｒｏｖｅ ｔｈｅ ｔｅａｃｈｉｎｇ ｅｆｆｅｃｔ．Ｗｈａｔ’Ｓ ｍｏｒｅ ｔｏ ｂｅ ｄｏｎｅ ｉｓ ｔｏ ｆｏｒｍｕｌａｔｅ ｔｈｅ ｆｌｅｘｉｂｌｅ ｃｕｒｒｉｃｕｌｕｍ ｅｖａｌｕａｔｉｏｎ ｍｅｃｈａｎｉｓｍ，ａｎｄ ｉｎｃｒｅａｓｅ ｐｒｏｃｅｓｓ ｏｆ ａｓｓｅｓｓｍｅｎｔ ａｎｄ ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎ ｏｆ ｓｔｕｄｅｎｔｓ’ｐａｒｔｉｃｉｐａｔｉｏｎ．Ｏｎｌｙ ｂｙ ｄｏｎｇ ＳＯ，ｃａｎ ｔｈｅ ｉｄｅａ１ ｔｅａｃｈｉｎｇ ｇｏａ１ ｂｅ ａｃｈｉｅｖｅｄ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｏｒｄｉｎａｒｙ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ；ｅｘｃｅｌｌｅｎｔ ｃｏｕｒｓｅ；ｃｏｕｒｓｅ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ； 《常微分方程》是数学与应用数学专业和信息与计算科学专业的核心基础课。它既是数学分析的延 续，又是泛函分析、偏微分方程和微分几何的基础。同时，它也是经济类和工程类专业的必修课之一。常 微分方程的重要性在于它是自然科学和社会科学中精确表述基本定律和各种问题根本工具之一，只要根 据实际背景列出微分方程，并能（数值地或定性地）求出方程的解，人们就能预见事情的变化情况。于是，微分 方程成为人们认识、改造自然和社会的有力工具，也是数学联系实际的主要途径之一。因此，微分方程对 本科数学的重要性就显而易见了。湖州师范学院“常微分方程”精品课程是国家特色专业（数学与应用数学） 下的专业主干课程，课程组十分重视课程的建设工作。这里，结合从事微分方程教学的经验和实践，谈谈 常微分方程课程改革的思路与实践。 ＊收稿日期：２０１１—０４—１２ 基金项目：国家第一类特色专业建设点“数学与应用数学”、浙江省新世纪教改项目“地方高校师范数学本科人才培养方案的研究与 探索（ＺＣ０９０６３）”、浙江省精品课程《常微分方程》和湖州师范学院高等教育研究重点项目“高师数学与应用数学专业人才培养的研究与探索 （ＧＪＢ０９００４）”。 作者简介：韩祥临（１９６５一），男，浙江湖州人，湖州师范学院理学院教授，主要从事微分方程学研究；欧阳成（１９６４一），女，福建泰宁 人，湖州师范学院理学院教授，主要从事微分方程学研究工作。 第１期 韩祥临，等：《常微分方程》精品课程的教学改革与教学实践 ９ １ 科学提炼课程教学模式 微分方程是一门基础课，教材［１ 中的内容大多是一些以理论分析和理论推导为主的纯数学知识，但 是，如果因此就把微分方程看成是一门只讲基础知识和方程解法的纯理论性课程，教学效果就比较差。微 分方程有两个“端点”，一个端点是实际背景，另一个端点是实际应用。离开了这两个端点，微分方程就成 了无水之源，无本之本。因此，要结合新的教学实际，特别是高教大发展的具体情况，努力改革教学模式， 不断提高教学质量。坚持做到：保持基础性、增加现代性、拓展应用性、培养创新性。笔者提出“基础＋提 高＋应用ｑ－研究”四位一体的教学模式。 “基础”：指抓好基本理论和基本技能（解题技巧）的教学工作，理论教学必须有一定的高度和深度。这一 部分以课堂教学为主。 “提高”：包括三个方面。一是习题课教学，通过习题课来消化理解并加深理论知识和基本机能，从而 达到提升理论水平的效果。二是课外答疑（舍网络答疑和面对面答疑）。针对不同的个体，将答疑制度化，通过 答疑辅导，来扫除学生学习中的障碍。三是抓好两头，促进中间。就不同层次进行分类指导，特别是要给 学习成绩比较突出的同学留出学习空间，而给学习相对薄弱的同学及时补习，达到共同提高的目的。 “应用”：指尽可能在每一部分的引入中，以切实可行的实际问题为背景引导出所需要的微分方程，让 学生亲身体会方程的来源。同时，结合数学建模，在教学过程中适当加入模型分析，利用教学软件，进行数 值模拟。一方面可以提高学生的学习兴趣，避免枯燥地讲授理论和繁杂的数学计算；另一方面还可以通过 应用加深对理论知识的理解。 “研究”：对学有余力的同学，组织学生的学术研讨班，邀情有学术造诣的老师作指导，选择合适的课 题，进行学术研讨，开展大学生科研立项，撰写学术小论文，进而充分发挥学生的潜能和优势，调动学生的 学习积极性，提高教学的质量和层次。湖州师范学院数学系就组织了“微分方程奇异摄动理论”的学术研 讨论，学生参与的积极性十分高，每三周进行一次集中研讨，以老师指导和学生自学为主，老师报告与学生 报告相结合，每位参与者都写出了小论文。同时，以此为基础，学生的毕业论文质量明显提高，参加讨论班 的同学论文优秀率达到８Ｏ 。 ２合理整合教学内容 课本中只有教学的基本内容，教师可根据学生的实际情况和教学大纲的要求，特别是按照课程教学模 式的要求，对教学内容进行合理安排。以王高雄等主编《常微分方程》（高等教育出版社）为例。 首先，在吃透教材的基础上，对教材的基本内容进行适当处理。例如，对第三章一阶微分方程的解的 存在定理中的部分定理（如解对初值的连续性和可微性定理）只介绍定性的条件与结论，不作证明。因为一方面在 新的形势下，课时比较紧，一般的院校只有周课时３节；另一方面，对普通本科院校特别是师范院校而言， 除数学与应用数学专业外，其它专业的学生对这些定理的证明在学习上有一定的难度，教学效果很差。再 如可以先讲第五章微分方程组再讲第四章高阶微分方程，把高阶微分方程看作微分方程组的特殊。这样， 第四章的许多公式和定理就不必再证明了，于是节省了很多课时。 其次，要结合教学模式的设计，合理安排教学模块。（一）理论模块。这些理论除了第三章一阶微分方 程的存在定理、第四章线性方程的解的结构理论、第五章线性方程组的解的结构理论以及第六章解的稳定 性理论外，有些理论是分散在各章的，应注意及时整理总结。（二）解方程模块。这是理论模块的落脚点之 一，其内容分散在各章中，类型多，内容杂，要及时归类，并加强训练。（三）应用模块。除在每章或某一节 的引入中通过实际问题建立模型外，要适当补充数学建模的内容，结合Ｍａｔｌａｂ软件或Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ软件 来求解一些方程的解。如捕鱼问题、技术革命问题、单摆问题、二体问题、综合国力问题和生物种群问题 等，可向学生讲清实际背景，然后列出方程，用学过的微分方程知识进行求解，再返回到实际问题中去，来 解释某些实际现象。这样，既巩固了课堂的理论知识，降低了纯理论讲解的枯燥性，提高了学生的学习兴 趣，又极大地增强了学生的学习能力。（四）课程进展模块［２］。要向学生讲清微分方程与数学分析、高等代 数、解析几何、偏微分方程和物理学的关系，例如可十分简洁向学生介绍微分方程的局部理论能平行地搬 到微分几何中的微分流形上去。这既可以理清知识的脉络，将数学看成一个整体来学习，又可以同高年级 学习接轨。并在适当的地方向学生介绍当今微分方程的学术研究进展和应用前景，使学生能从宏观上把 １Ｏ 湖，ｋｌ１职业技术学院学报 ２０１２证 握微分方程的地位和作用。同时，在课堂教学的过程中，适当介绍对微分方程有重要贡献的人物及其他们 是如何解决微分方程中的某一问题的 ］，如欧拉、柯西、伯努利、皮卡、李亚普诺夫等等。以此来进一步提 高学生的综合素质和学习兴趣。 再次，要抓住微分方程的数学思想 。常微分方程的中心是解方程，但是其方程的类型很繁杂，许多 同学难以把握。教师可有意识地去挖掘理论知识背后的数学思想，将理论知识进一步提炼、升华，并将许 多知识有机地结合起来。以第二章“一阶微分方程的初等解法”为例，教师可抓住变量分离方程和恰当方 程这两个中心，浸透化归思想，即其它几种类型的方程都可归结为这两种类型的方程。再如高次线性方程 可化为线性方程组、常学高次线性方程如线性方程组可归结为代数方程等等 含着方程的思想、数学模型的思想、函数的思想等等。 。另外微分方程中还包 ３ 采用多样化教学手段与教学方式 就数学教学而言，笔者赞成以“黑板＋粉笔”为主的教学手段。因为数学需要一步步推演，而思维有一 种“时滞”现象，这种推演的过程正好是学生思考理解的过程。因此，在教学中“黑板＋粉笔”仍旧是无法替 代的，这种教学方式灵活性强，可随时根据学生的情况进行调整，并能增加师生的交互性，其推导的过程能 吸引学生的注意力，引导学生思考。由于微分方程与实际问题的联系比较密切，结合四位一体的教学模 式，笔者采用了如下做法。 ３．１ 将教案做成课件 凡问题的引入、背景分析、定理和定义的表述以及例题和习题都用多媒体教学。凡定理的证明和例题 讲解用黑板。课件要求简洁直观、图文并茂、人机交互，这样既节省了课时，增大了信息量，又保证了教学 质量。 ３．２充分利用精品课程网站 有关课程的背景材料、电子教案、习题库、章节测验题、期末试卷库、学生科研论文文献，教师教学论文 文献、学术信息、网络作业、网上答疑等等材料都在网上，学生可以根据网上材料进行自学，也可以就自己 感兴趣的问题展开讨论。教师和学生之间打破了传统的教学方式，拓展了教学空间和学习空间。 ３．３ 采用师生互动式教学 首先，选择一部分比较容易的内容，让学生在老师指导下备课、讲课。由于师范生将来要当老师，所以 他们的积极性很高，上课效果很好。通过“换位”，学生对教师这一职业有了更深刻的理解，上课纪律更好 了。其次，每次堂结束时，留一个思考题（有一定的难度），在下次上课时让学生发表不同的意见与解题思路， 老师分别给予讲评，并记入ＸＦ时成绩。通过几个学期的试验可以看出，这种方式吸引了绝大多数同学的注 意力，学习积极性调动起来了，上课气氛十分活跃。再次，倡导启发教学，在学生学习的关键环节或遇到困 难时，逐步引导，调动并发挥学生的学习主动性，开发其分析问题和解决问题的能力。 ３．４教学上注意抓好两头 首先，对学有余力的同学开设学术讨论班。学校数学系微分方程奇异摄动理论方向有三位教授，平时 教师每三周举行一次学术讨论班，师资力量比较强。根据这一情况，在学生自己报名的基础上，开设了学 生的学术研讨班，以老师指导为主，学生与老师互动，并开展大学科研立项，收效很好。其次，对后进生，采 取个别辅导和集中补习的方式，让他们掌握这门课程的基本理论、基本技能和基本方法，及时赶上。这可 作为教学方式的必要补充。 ４制定灵活的评价机制 评价机制是学习的向导，客观的评价机制对于调动学生的学习积极性，挖掘学习潜能具有很强的指导 作用。根据四位一体的教学模式，构建了“期末为主、重视平时、提倡应用、奖励创新”的多元４１＝、灵活性评 估机制。期末考试采用闭卷笔试的形式，占总成绩的６Ｏ 。在考核内容上突出三点：（一）对基本概念的 掌握程度，以３０分填空题共１５个空来体现。这一部分覆盖面很广，有一定的深刻，要求学生切实理解基 本概念。（二）分析问题与解决问题的综合能力，以２Ｏ分至３０分大题目来实现。一方面要考查学生数学 的推演能力，另一方面要考查学生从实际出发，建立模型，求解问题并解释问题的能力。（三）解方程的技 巧。占４０分至５０分，主要考核学生求解方程的技巧和能力。 第１期 韩祥临，等：《常微分方程》精品课程的教学改革与教学实践 平时成绩占总成绩的４０ 。这包括到课率占５ ，上课纪律占５ ，上课回答问题情况占５％，作业 情况占５ ，期中考试成绩占１５ 。 额外加分。凡主持或参加“微分方程及其应用”大学生科研立项、参加大学生数学建模竞赛并获奖、参 加微分方程学术讨论班和有学术论文发表的学生，根据实际情况酌情加分，加到满分为止。同时，本专业 设有创新奖，凡在上述几个方面成绩比较突出的学生，可以得到数学创新奖。以此来激励创新。 ５取得的教学效果 “四位一体”教学模式被许多课程采用或借鉴。通过三年的实践，在新的教学模式下取得了一定的成 效。首先，通过全体教师的共同努力，“数学与应用数学”师范专业于２００８年被评为国家特色专业，本课程 作为该专业的重要课程也起到了一定的作用。该专业学生的学习风气有很大改观，综合素质明显提高，如 学生的学习积极性大大提高，上课纪律性显著增强。“常微分方程”被评为精品课程，该课程考试的通过率 几乎是百分之百。其次，师范技能有实质性的加强，制作课件的能力和使用数学软件的能力大大增强，学 生受到杭嘉湖地区各中学的普遍欢迎，就业率比较高。再次，全国大学生数学建模成绩有了新突破，如 ２００６年获得国家一等奖１项，二等奖２项。第四，创新意识和创新能力明显增强。主要表现在学生论文 发表率、大学生科研立项、考研录取率等方面的指标逐年提高。 参考文献： ［１］王高雄，周立铭．常微分方程ＥＭ］．北京：高等教育出版社（第三版），２００６． Ｅ２３韩祥临．数学史简明教程［Ｍ］．杭州：浙江教育出版社，２００３． Ｅ３３刘凯年．数学思想方法与高师学生数学素养的提高［Ｊ］．数学教育学报，Ｉ９９８，７（３）：９７—９９． Ｅ４］黄雪燕．常微分方程的化归思想ＥＪ３．长春师范学院学报，２００７（８）：２４—２６． Ｅ５３常广平．常微分方程的思想与应用ＥＪ３．北京联合大学学报，２００５，（６）：４５—４７． Ｅ６３鲜大权．一阶线性常微分方程解法及其教学ＥＪ３．高等数学研究，２００７（３）：１２—１４． ＥＴ］陈明玉．一阶常微分方程有形如积分因子的充要条件［Ｊ３．大学数学，２００５（１）：１３０一Ｉ３３． Ｅ８３陈伟．解一阶线性微分方程的积分因子法ＥＪ］．高等数学研究，２００８（３）：２７—２８． Ｅ９３张永明．二阶线性常系数非齐常微分方程的分解式讲授方法ＥＪ３．北京印刷学院学报，２００５（１）：３２—３３ ＥｌＯ］常庚哲，蒋继发．用分部积分法解常系数高阶非齐线性常微分方程ＥＪ］．大学数学，２００３（１）：７６—７９． （上接第７页） 根据目前中国汽车的保有量按地域分布情况来看呈现出分布不均的特征，东部地域远远高于中西部 地域，如北京、天津、浙江等沿海省份千人保有量已跨越ＩＯＯ辆，而中国平均千人保有量还低于６Ｏ辆，故从 人均保有量指标看，中国汽车行业暗藏市场容量庞大，有很大的潜力；而从道路和车辆密度来看，中国道路 密度仍然处于全球较低水平，虽然部分城市出现交通拥塞情况严重，停车难等问题日益严重，而中西部很 多城市汽车市场前景广阔，可以在这些城市加大促销政策，加大补贴，同时也可以把车价与地方经济发展 水平结合起来考虑，同时对于由于汽车保有量增加而产生的负面影响，笔者不应单纯的采取限购的措施， 而是可以更积极的加大地方基础设施投入，拓宽路面，优化城市道路网络布局，扩大城市化进程，这样既可 以缓解交通拥塞，又可以使得７Ｏ％的农民更有机会脱农。 参考文献： ［１］于德江．灰色系统建模方法的探讨［Ｊ３．系统工程，１９９１（５）：９—１２． Ｅ２３潘志刚，韩颖．组合预测法在我国汽车市场需求预测中的应用［Ｊ］．商业研究。２００６（２０）：１２６—１２９， ［３３笪秉宏，元四华．基于灰色系统理论的改装汽车销售收入预测模型研究ＥＪ３．南京航空航天大学学报（社会科学版），２００７，９（２）：４４—４７