带Poisson跳随机微分方程解的存在与唯一性

２００７年９月　渭南师范学院学报　Ｓｅｐｔ．２００７　第２２卷第５期　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｗｅｉｎａｎ　Ｔｅａｃｈｅｒｓ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ＶｏＩ．２２　Ｎｏ．５　带Ｐｏｉｓｓｏｎ跳随机微分方程解的存在与唯一性　陈建斌，王拉省　（西安工程大学理学院，西安７１００４８）　摘要：讨论了一类带Ｐｏｉｓｓｏｎ跳的随机微分方程解的存在唯一性问题，在局部Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ条件下给出了带跳随机微分　方程懈的存在与唯一性的充分条件．　关键词：Ｐｏｉｓｓｏｎ跳；局部Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ条件；带跳的ｌ击公式　中图分类号：０２１１．６　文献标志码：Ａ　文章编号：１００９－－５１２８（２００７）ｏ５—Ｏ０ｏ３—０６　收稿日期：２００７—０５－－３０　基金项目：国家自然科学基金项目（１０５６１１１３）；西安工程大学校管项目（２００６ＸＧ４１）　作者简介：陈建斌（１９６６一），男，陕西长武人，西安工程大学理学院讲师，理学硕士．　近年来，带跳的随机微分：　程因其广泛的应用前景而令人注目，由于带跳的随机微分方程能更好地描　述出现在经济学、物理学、生态学、生物学、医学等领域的客观现象．例如，战争及国家的重大政策的改变以　及可抗拒自然灾害等消息使得股票价格发生的变动．因而关于带跳的随机微分方程的研究引起了人们的　广泛兴趣¨　］．主要涉及三个方面，一个是解的存在唯一性，一个是数值解的收敛性，一个是解的稳定性问　题．由Ｂｒｏｗｎｉａｎ驱动的随机微分方程解的存在唯一性已有相关结果【．　．一个自然的问题是带Ｐｏｉｓｓｏｎ跳　的随机微分方程在什么条件下有解？解是否唯一？本文在局部Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ条件下给出了带Ｐｏｉｓｓｏｎ跳的随机　微分方程解的存在唯一性的充分条件，这一结果可以看作是文献　的推广．　假设　（ｔ）＝（ｇＯ。（ｔ），…，Ｏｇ　（ｔ）　）是概率空间（以，　｛　Ｉ’０，Ｐ）具有独立分量的印置应的ｍ维标正　Ｂｒｏｗｎｉａｎ运动，Ｊ７、ｒ（ｔ）是强度为Ａ的数值Ｐｏｉｓｓｏｎ过程．其域流｛刃御满足通常的条件（即　是右连续的且　而每个　是完备的且　包含所有的Ｐ．零概集）．令五．＝ｌｉｍＩｆＩ置，以ｃ（［口，６］；Ｒ。）表示所有的从［口，６］　到　的左极限右连续随机过程，在ｃ（［口，６］；Ｒ。）上赋以范数ｌｌ　ｌｌ＝ｓｕｐ　一‘Ｉ　Ｉ，这里Ｉ．Ｉ表示Ｒ　上的欧氏范数，即Ｉ　Ｉ＝　，（　Ｅ　Ｒ。）．如果Ａ是一个向量或矩阵，用Ａ　表示其转置．若Ａ是矩阵，它的　迹范数记为Ｉ　Ａ　Ｉ＝￣／ｔｒａｃｅ（Ａ：　）．用ｃ　；Ｒ。）表示【口，６］上全体有界　可测的、取ｃ　［口，６］；Ｒ　）值　的随机变量．给定Ｐ＞０，ｔ　０　，记　为体全　可测、满足条件ｓｕｐ　；‘　（　（Ｊ）Ｉ　＜∞的ｃ（［ｎ，６］；Ｒ　）　值随机变量．　给定函数　，：　＋×　［ａ，６］；Ｒ。）×　［口，６］；Ｒ。）　一Ｒ。；　ｇ：　＋×　［０，６］；Ｒ。）Ｘ　［口，ｂ］；Ｒ。）　—・Ｒ“‘；　（１）　ｈ：　＋×　［０，６］；Ｒ。）×　［口，６］；Ｒ。）　—・Ｒ。．　考虑如下带Ｐｏｉｓｓｏｎ跳的随机微分方程（ＳＤＶＪ）　’　ｆ　（ｔ）＝　ｔ，　（ｔ．）ｄｔ＋ｇ（ｔ，　（ｔ．））幽。＋＾（ｔ，　（ｔ．））ａＮ，，ｔ　０　，　、　‘Ｌｘ（０　）＝‰，　．其中　（ｔ．）＝ｌｉｍ…．．　（Ｊ），初值　（０．）是　可测，且满足条件　（　）　＜∞．　定义１　给定概率空间（　，ＹＴ，｛刃Ｉ’０，Ｐ）以及Ｂｒｏｗｎｉａｎ运动（　，　及Ｐｏｉｓｓｏｎ过程（Ⅳ．，　，ｔ　ｓ　Ｔ，　如果存在随机过程（五，　满足方程（２），则称　是随机微分方程（２）的强解．　引理１［７１　（带跳的ｌｔ５公式）假设　（ｔ）＝　ｔ，　（・｝））　＋ｇ（ｔ，　（１））ｄ　４－ＪＩ（ｔ，　（１））ｄⅣ．，　这里，在ｐ下｛　｝　。ｌ是一个标准Ｂｒｏｗｎｌａｎ和是一个强度为Ａ的Ｐｏｉｓｓｏｎ过程．如果Ｆ（ｔ，　）是Ｒ上的一个　二次连续可微函数，那么　维普资讯 http://www.cqvip.com ・４・　陈建斌，等：带Ｐｏｉｓａｏｎ跳随机微分方程解的存在与唯一性　第２２卷　，（　ｔ）一Ｆ（ｘ。）＝　＋Ｆ　Ｘｓ－）　，＋寺　＋Ｆ”（　一）ｄ［　，　］：　＋∑｛Ｆ（ｘ　）一Ｆ（ｘ　一）一　一）Ａｘ。ｆ　（３）　这里｛　｝是Ｐｏｉｓｓｉｏｎ过程的跳时间．一　引理２　（Ｇｒｏｎｗａｌｌ—Ｂｅｌｌｍａｎ）设Ｔ＞０，实函数ｇ　０及ｈ于［０，明上Ｌｅｂｓｇｕｅ可积．若存在常数　Ｋ＞０，对任意ｌ　Ｅ［０，　］，有　ｇ（ｔ）＝三；＾（ｔ）＋ｋ【ｇ（ｓ）ｄｓ．　（４）　则对任意的ｌ　Ｅ［０，　］有　ｇ（ｔ）　＾（ｔ）＋ｋ【ｅｘｐ｛　（ｔ—ｓ）｝ｇ（ｓ）ｄ　．　（５）　定理１　设函数，（ｔ，　），ｇ（ｔ，　），＾（ｔ，　）满足条件（２．１），且　（日。）（Ｌｉｐｓｅｈｉｔｚ条件）存在常数Ｇ＞０，使得对任意的ｔ　Ｅ［０，明及　。，　：Ｅ　Ｒ　满足条件　Ｉ，（ｔ，　１）一，（ｔ，　２）Ｉ　Ｖ　Ｉ　ｇ（ｔ，　１）一ｇ（ｔ，　２）Ｉ　２　Ｖ　Ｉ＾（ｔ，　１）一＾（ｔ，　２）Ｉ＝兰；Ｃ　Ｉ　ｌ一　２　Ｉ．　（６）　（　）（线性增长条件）存在常数Ｋ＞０，使得对任意的ｔ　Ｅ［０，明及　。，　：Ｅ　Ｒ　，有　Ｉ　ｔ，　．）Ｉ　＋Ｉ　ｇ（ｔ，　）Ｉ　＋ｈ（ｔ，　）Ｉ　＝三；　（１＋Ｉ　Ｉ　）　（７）　且‰与　，　独立，并满足条件　层（‰）　＜∞．　（８）　则方程（２）在［０，明上有唯一的强解，满足条件　。帮　Ｅｘ　（１）＜ｏｏ・　并且具有上述性质解的轨道是唯一的，即若　，ｙ是满足方程（２）的两个解，那么　Ｐ（ｓｕｐ＿Ｉ　（ｔ）一ｙ（ｔ）Ｉ＞０）＝０・　（９）　…州注释ｌ　事实上，线性增长条件可由整体Ｌｉｐｓｃｈｉｔｘ条件代替，这是由于存在常数Ｋ＞０，使得对于所有　＾，ｙ＾Ｅ　Ｒ　（　＝１，２），　Ｉ，（　Ｉ，ｙＩ）一，（　２，Ｙ２）Ｉ　Ｖ　Ｉ　ｇ（ｘｌ，ｙ１）一ｇ（ｘ２，Ｙ２）Ｉ　Ｖ　Ｉ　ｈ（ｘｌ，ｙ１）一ｈ（ｘ２，３＇２）Ｉ　ｓ　Ｃ（Ｉ　ｌ＋　２　Ｉ　＋Ｉ　ｙｌ—Ｙ２　Ｉ　）；　（１０）　事实上，由（ｔｏ）知　Ｉ，（　，ｙ）Ｉ　ｓ　２　Ｉ　ｆ（ｘ，ｙ）一，（０，０）Ｉ　＋２　Ｉ，（０，０）Ｉ　２Ｋ［Ｉ　Ｉ　＋Ｉ　ｙ　Ｉ　］＋２　Ｉ　ｆ（ｏ，０）Ｉ　：三；　（１＋Ｉ　Ｉ　＋Ｉ　ｙ　Ｉ　）　（１１）　类似地，　Ｉ　ｇ（ｘ，ｙ）Ｉ　（１＋Ｉ　Ｉ　＋Ｉ　ｙ　Ｉ　），　Ｉ　ｈ（ｘ，ｙ）Ｉ　ｓ　（１＋Ｉ　Ｉ　＋Ｉ　ｙ　Ｉ　），　（１２）　此处Ｌ＝２ｍａｘ｛ｃ　Ｖ　Ｉ，（０，０）Ｉ　Ｖ　Ｉ（０，０）Ｉ　Ｖ　Ｉ　ｈ（０，０）Ｉ　｝　为证明定理１，我们先给出如下引理　引ｉｌｌ３　函数　ｌ，　），ｇ（￡，　），＾（ｔ，　）满足条件定理１条件（　），（　），若　（ｉ＝１，２）是定义在［０，　］　上的随机过程，满足条件：　（Ｉ）由　（ｓ），　（ｓ），＾ｒ（ｓ），ｓ　ｔ生成的　代数与Ｂｒｏｗｎｉａｎ运动增量　（ｔ＋ｒ）一　（ｔ），及Ｐｏｉｓｓｏｎ过　程增量Ⅳ（ｔ＋ｒ）一＾ｒ（ｔ）（ｒ＞０）相互独立．　（Ⅱ）。　层Ｉ　（ｔ）Ｉ＜ｏｏ・　给定在［０，列上的随机过程　ｚｉ（ｔ）＝　（０）＋　ｓ，　（ｓ一））　＋Ｉｇ（ｓ，　（ｓ一））ｄ　＋　＾（ｓ，　（ｓ一））ｄⅣＪ，　（　３）　则存在常数Ｌ＞０使得　层Ｉ　ｚｌ（ｔ）一ｚ２（ｔ）Ｉ　＝三；Ｌ［Ｅ　Ｉ　ｌ（ｓ）一　２（ｓ）Ｉ　（１４）　证明　为方便起见，令　口（ｔ，　ｌ，　２）＝，（ｔ，　ｌ（ｔ一））一厂（ｔ，　２（ｔ一）），　６（ｔ，　ｌ，　２）＝ｇ（ｔ，　ｌ（ｔ一））一ｇ（ｔ，　２（ｔ一）），　ｃ（ｔ，　ｌ，　２）＝＾（ｔ，　ｌ（ｔ一））一＾（ｔ，　２（ｔ一）），　由（１３）式知　维普资讯 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２００７年第５期　渭南师范学院学报　・５・　ｚ。（￡）一ｚ２（￡）＝　口（ｓ，　。，　：）　＋　６（ｓ，　。，Ｘ２）ｄ　＋　ｃ（ｓ，　。，　：）ｄⅣ｜，　由三角不等式（口＋ｂ＋ｃ）　三　３（０，２＋６２＋ｃ　）。因而　Ｅ　ｌ　ｚｌ（￡）一ｚ２（￡）Ｉ　≤３　Ｅ　Ｉ　口（ｓ，　。，　：）也Ｉ　＋３　Ｅ　Ｉ￣ｂ（ｓ，ｘｌ，ｘ２）ｄ　Ｉ　＋３　Ｅ『ｆｃ（　ｘ２）ｄＮ，Ｉ　（１５）　由（６）及Ｃａｕｃｈｙ—Ｓｅｈｗａｒｚ：　等式得　露Ｉ　口ｓ，ｘｌ，ｘ２）　Ｉ　＝三；露　ｌ　Ｉ口ｓ，ｘｌ，　）１　２ｓａ≤ｃ２　Ｉ　。（ｓ）一　：（ｓ）Ｉ　（１６）　由引理３的条件（ＩＩ）及不等式　露　Ｉ　６（ｓ，　Ｉ，　２）Ｉ　≤　Ｅ　Ｉ　Ｉ（ｓ）一ｘ２（ｓ）Ｉ　知ｇ（ｔ，　Ｉ）一ｇ（ｔ，　２）＝ｂ（ｓ，　Ｉ，　２）Ｅ　，从而由　占等距公式知　露上６（ｓ，　Ｉ，　２）ｄ　Ｉ　＝露上Ｉ　６（ｓ‘，　Ｉ，　）Ｉ　．　（１７）　对于跳项，注意劐Ｐｏｉａａｏｎ过程　（￡）：＝Ⅳ（￡）一Ａｔ是平方可积鞅。并且有等距公式　’　露Ｉ　ｃ（ｓ，　。，　：）　（ｓ）Ｉ　＝Ａ露　Ｉ　ｃ　ｓ，ｘｌ，　：）Ｉ　＝Ａ　露Ｉ　ｃ（３，Ｘｌ，Ｘ２）Ｉ　，　从而有　露Ｉ　ｃ（ｓ，　．Ｉ　＝露Ｉ　ｃ（　：）ｄＴＶ（ｓ）＋Ａ　ｃ（　：）　Ｉ　２露Ｉ上ｃ（ｓ，　Ｉ，　２）　（ｓ）Ｉ　＋２Ａ　露Ｉ　Ｊ（ｃ（ｓ，　Ｉ，　２）ａｓ　Ｉ　＝２（Ａ＋Ａ　）露［Ｉ．耵　　ｃ（ｓ，　Ｉ，。　。　２）Ｉ　　也　≤２Ｃ２（Ａ＋Ａ　）［露Ｉ　Ｉ，　２　Ｉ　．　（１８）　将（１６），（１７），（１８）代人（１５）得　露Ｉ　ｚＩ（￡）一ｚ２（￡）Ｉ　３Ｃ２［＂Ｔ＋ｌ＋２（Ａ＋Ａ２Ｔ）］．ｒ露Ｉ　Ｉ—ｘ２　Ｉ　（１９）　在（１９）中令Ｌ＝３Ｃ２［　＋１＋２（Ａ＋Ａ　）］即得不等式（１４）．　下面用微分方程中常用的逐次逼近法来构造随机微分方程（３）式的解．　令‰（￡）；　。，对于ｎ＝１，２，…　（￡）＝　。＋　３，３￣ｓ＿１（ｓ））　＋　ｇ（ｓ，　．。（ｓ））ｄ　＋　＾（ｓ，　．。（ｓ））　Ⅳ｜．　（２０）　则序列｛　｝　具有下述性质：　命题１　由（２０）式定义的序列｛　｝　在［０，Ｔ］是均方一致有界，即　。　Ｉ　（￡）Ｉ　＜＋∞（２１）　证明　由条件（７），（８）及不等式　露Ｉ　（￡）Ｉ　４（Ｅ　Ｉ　Ｉ　＋露Ｉ　ｓ，　．Ｉ（ｓ一））ａｓ　Ｉ　＋　Ｉ【ｇ（ｓ，　．Ｉ（ｓ一））ｄ　Ｉ　＋露Ｉ【＾（ｓ，．耵　　Ｉ．Ｉ（ｓ一））　Ｉ　）　如　露Ｉ　（￡）Ｉ　ｓ　４（Ｅ　Ｉ　Ｉ　＋￡Ｉ　露Ｉ　ｓ，　．Ｉ（ｓ））Ｉ　也＋　露Ｉ　ｇ（ｓ，　Ｉ，　２）Ｉ　幽　＋２（Ａ＋Ａ　￡）【露Ｉ　ｈ（ｓ，　．Ｉ（ｓ））Ｉ　２ｓａ）　４（露Ｉ　。Ｉ　＋ｌ　Ｊ（露［１＋Ｉ　．Ｉ（ｓ）Ｉ　２　３ｓａ＋　上露［１＋Ｉ　．Ｉ（ｓ）Ｉ　］也　＋２（Ａ＋Ａ２ｔ）　Ｊ（　ｌ＋Ｉ　（１）Ｉ　］　）　若令Ａ＝４　：。Ｂ＝４　（１＋２Ａ）。Ｄ＝Ｂ＋４　（１＋２Ａ　）Ｔ。那么　维普资讯 http://www.cqvip.com ・６・　陈建斌，等：带Ｐｏｉｓｓｏｎ跳随机微分方程解的存在与唯一性　Ｅ　Ｉ　（￡）Ｉ　＝兰；（Ａ＋Ｂｔ＋４　（１＋２Ａ　）　）＋（Ｂ＋４／（２（１＋２Ａ　）ｔ）　Ｉ　（ｓ）Ｉ　ｄｓ　第２２卷　ｓ　Ａ＋Ｄｔ＋Ｄ上　Ｉ　ｎ．１（ｓ）Ｉ　ｄｓ　利用递推公式（２２）及二重积分的性质　（￡一ｓ）　我们得到　Ｅ　ｌ　．（ｔ）Ｉ　ｓ　Ａ（１＋Ｄｔ＋…＋　ＪＩ（ｒ）ｄｒ＝　ＪＩ（ｓ）出　（２２）　（２．２３）　Ｉ　竺—　　Ｊ１寻’　）　ｎ　＋（Ｄｔ＋．．・＋ＪＴ（Ｄ　由此推出　ｓｕ　ｐ＿１］Ｅ　ｌ　…㈤　），　ｓ　Ａ（１＋Ｄｔ＋．．・＋　＋　）＋（叭…＋Ｄ　）ｓ（Ａ＋１）ｅＤｒ．　命题２证明　序列｛　｝　在［Ｏ，　均方一致收敛到　（ｔ）．　由公式（１７），引理３中的公式（１４）得　Ｅ　Ｉ　Ｉ（ｔ）一　（ｔ）Ｉ　≤　Ｅ　Ｉ　（ｓ）一　Ｉ（ｓ）Ｉ　ｄｓ　（２４）　重复（２４）并利用公式（２３）推出　Ｅ　ｌ　由（２０）得　）　㈤Ｉ　ｓ　）Ｅ　ｌ　ｓ）　㈤Ｉ　出　（２５）　Ｅ　Ｉ　Ｉ（ｔ）一　。（ｔ）Ｉ　ｓ三　Ｅ［１＋Ｉ　。Ｉ　］　ｓ　ＬＴ［１＋ＥＸｏ２］・　将（２６）代人（２５）得　（２６）　ｓｕ　ｐ＿】Ｅ　ｌ　训　ｓ［１＋　］　．　的完备性，知存在　（ｔ），使得　（２７）　（ｔ）＝　（ｔ）・　从而序列｛　｝　在［ｏ，　是均方一致柯西列，再由空间　命题３　序列｛　｝　在［Ｏ，　］上是以概率１收敛到　（ｔ），即　Ｐ（　Ｉ　－（ｔ）一　（ｔ）Ｉ　ｓ艿）＝１．　在概率的意义下，　（ｔ）是方程（２）的唯一解．　证明　仍沿用引理３的记号，令，，．＝８［ｏＵ疗Ｉ．　Ｘｍ￣ｌ（ｔ）一　－（ｔ）Ｉ，从而　，，２　ｓ　３ｌ（ｓｕｐ＿】Ｉ　ａ（　…盯），　Ｉ（　出Ｉ）　ｓｕｐ　Ｉ（　…。　，　５），　））ｄ　Ｉ）　＋（　ｓｕｐ　＿．】Ｉ　ｆｏ＜ｓ，　．（ｓ），　－－－（ｓ））　Ｉ）　］　又因为　。　（２８　ｓｕ　ｐ＿ｒ＿Ｉ上ａ（］ｓ，　ｎ（ｓ），　ｎ一－（ｓ））ｄｓ　Ｉ　ｓ。　】Ｉ上ａ（ｓ，　－（ｓ），　ｎ一－（ｓ））Ｉ　ｄｓ　ｓ　Ｉ　ｓ）一　。（ｓ））Ｉ　．　从而，由Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ条件（６）及Ｃａｕｃｈｙ—Ｓｃｈｗａｒｚ不等式　ｐ＿】。　ａ（　Ｅ（ｓｕ　…（ｓ），　Ｉ（ｓ））ａｓ　Ｉ）　ｓ　ｃ２　层Ｉ　．（ｓ）一　．ｔ（ｓ））Ｉ　（２９）　由下鞅不等式，得　Ｅ（　ｓｕ　ｐ＿】。　６（ｓ，　（ｓ一），　Ｉ＿ｌ（ｓ一））ｄ　Ｉ）　ｓ　４ｃ２　Ｅ　Ｉ　ａ（ｓ，　．（ｓ）一　一（ｓ））Ｉ　（３ｏ）　ｐ＿ｌ　　ｃ（ｓ，　（ｓ一），　＿－ｌ（ｓ一））ｄ　Ｉ）　ｓ　２Ｃ￣（４Ａ＋Ａ２）　昱Ｉ　．（ｓ）一　．ｔ（ｓ））Ｉ　幽　（３１）　Ｅ（ｓｕ　…将（２９）、（３０）、（３１）式代人（２８），结合（３１）知　（　）ｓ　３Ｃ￣Ｔ（ｒ＋４＋２（４Ａ　））（１＋　）　维普资讯 http://www.cqvip.com ２００７年第５期　渭南师范学院学报　・７・　再一次由下鞅不等式　（　２＞　）　３Ｃ　（　＋４＋２（４Ａ＋　（１　＋Ｅｘ０￣）　ｎ４　由级数主ｎ－Ｉ　署　ｎ　的收敛性及Ｂｏｒｄｌ　Ｃａｎｔｅｌｌｉ引理知　（．　ＩＥｌｕ，Ｊ　Ｊ　Ｉ　（　｝）一　（ｔ）Ｉ　专，ｎ　对于充分大，１）＝１　（３２）　因此，序列　（ｔ）＝　。＋　［　（ｔ）一　。一　（ｔ）］　以概率１一致收敛到　（ｔ）＝　。＋∑［　（ｔ）一　（ｔ）］．　而　（ｔ）的可测性由‰（ｔ）的可测性保证，并且　（ｔ）的均方可积性由（２１）给出．　（ｔ）是方程（２）的解由　（２９）、（３０）、（３１）不等式给出，而解的唯一性由引理３得到不等式　Ｉ），（ｔ）一　（ｔ）　２　Ｊｒ　ｏ　（ｓ）一），（ｓ）Ｉ　ｄｓ，　因而由引理２知，　Ｉ），（ｔ）一　（ｔ）Ｉ　＝０．　所以对于任意的ｔ∈［０，　，　尸（　（ｔ）＝），（ｔ））＝１．　从而　尸（　Ｉ　（ｔ）一），（ｔ）Ｉ＞Ｏ）＝０，　即尸（　（ｔ）＝），（ｔ））＝１．　结合命题１、２、３，定理１得证．　注释２　定理１的Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ条件保证了解的全局存在唯一，这个条件相当严格排除了很多常见函数，　受Ｇｉｌｈａｍａｎ和Ｓｋｏｒｏｈｏｄ【ｓ　盼汪明启发，定理１假设条件（Ⅳ，）可以由局部Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ条件代替．　定理２　设函数　ｔ，　），ｇ，（ｔ，　），．Ｉｌ（ｔ，　）满足条件（１），且　（　）（局部Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ条件）若对任意的Ｎ＞０，存在常数Ｃ　＞０，使得对任意的ｔ∈［０，　及Ｉ　ｌ　Ｉ　Ⅳ，Ｉ　ｌ　Ｉ　ｄ的　ｌ，　２∈屁　满足条件　Ｉ／　ｔ，　１）一　ｔ，　２）Ｉ　Ｖ　Ｉ　ｇ（ｔ，　１）一ｇ（ｔ，　２）Ｉ　２　Ｖ　Ｉ．Ｉｌ（ｔ，　１）一．Ｉｌ（ｔ，　２）Ｉ　Ｃ　（　ｌ一　２）Ｉ　２．　（３３）　（　）（线性增长条件）存：茁常数Ｋ＞０，使得对任意的ｔ∈［０，Ｔ］及　，　∈屁　，有　Ｉ／　ｔ，　）Ｉ　＋Ｉ　ｇ（ｔ，　）Ｉ　＋Ｉ　ｈ（ｔ，　）Ｉ　Ｋ（１＋Ｉ　Ｉ　）　（３４）　且　。与　，ⅣＩ独立，并满足条件　Ｅ（　０）　＜∞　（３５）　则方程（２）在［０，　上有唯一的强解．　证明　为证明方便不妨令　ｏ有界，令Ｄ　＝　（ｔ）　Ｖｔ∈Ｅｏ，州，Ｉ　（ｔ）Ｉ　Ｎｔ．并定义　（∽）：　∽），　当　∈Ｄ　Ｌ０，　其它．　ｇ　ｃｔ，　＝｛Ｌ　Ｏ：。　‘＇　’　其它．．∈　。　ｈＮ（ｔ，　）：』＾（∽），　当　∈Ｄ　Ｌ０，　其它．　由定理１知，方程　『ａｘ（ｔ）＝　（ｔ，　（ｔ一）ｄｔ＋ｇ　（ｔ，　（ｔ一））ａｗ，＋ｈ　（ｔ，　（ｔ一））ａＮ，，　Ｌ　（０一）＝　０　（３６）　在　上有唯一解，不妨记为　（ｔ）．　定义停时　：＝ｉ　｛ｔ∈［０，　：Ｉ　肌　（ｔ）Ｉ＞Ｎ｝，　当　∈Ｄ　时，有　（ｔ）＝　肌　（ｔ）．从而　是递增的，再令　（ｔ）＝　（ｔ），　当０　ｔ　．　维普资讯 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・８・　陈建斌，等：带Ｐｏｉｓｓｏｎ跣随机微分方程解的存在与唯一性　第２２卷　显然，对于任意的Ｏ　ｓ　ｔ　ｓ　，　（ｔ）＝　（ｔ）　＝　（０）＋Ｊ　（ｓ，　（３－－））　＋　ｇ　（ｓ，　（ｓ一））ｄ　＋　Ｉｌｌ　（ｓ，　（ｓ一））ｄⅣＩ　＝　（０）＋　（３一））　＋Ｊ（ｇ（３，　（３一））ｄ　＋上Ｉｌ（３，　（３一））　类似于命题３的证明，存在正常数ｙ，使得　Ｅ［　ｓｕｐ　＿】Ｉ　ｘ（ｔ　Ａ　）Ｉ　］ｓ　ｙ（１＋ＥＪ。　Ｉｌ８【Ｕ。　。　（３）Ｉ　也・）　从而由引理２知　Ｅ［ｓｕ　ｐ＿】Ｉ　（ｔ　Ａ　）Ｉ　］ｓ　ｙｅ　，　…因而，当Ⅳ一∞时，　Ｐ（　ｓ　）≤Ⅳ～Ｅ［　ｓｕｐ　Ｉ　（Ｉ　Ａ　）Ｉ　］ｓ　Ｎ－Ｚｙｅ　．０，　．【。　所以　Ｐ（　＝∞）＝１．　参考文献：　［１］Ａ．Ｖ．Ｓｖｉｓｈｃｈｕｄ，Ａ．Ｖ．Ｋａｌｅｍａｎｏｖａｔｈｅ．Ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ　ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ｉｎｔｅｒｅｓｔ　ｒａｔｅｓ　ｗｉｔｈ　ｊｕｍｐ　ｃｈａｎｇｅｓ　Ｔｈｅｏｒｙ［Ｊ］．Ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ　ａｎｄ　Ｍａｔｈ．Ｓｔａｔｉｓｔ，２０００，６１：１—１２．　［２］Ｄ．Ｊ．Ｈｉｇｈａｍ，Ｐ．Ｅ．Ｋｌｏｅｄｅｎ．Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　Ｍｅｔｈｏｄｓ　ｆｏｒ　Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　Ｓｔｃｏｈａｓｔｉｃ　Ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｗｉｔｈ　Ｊｕｍｐｓ［Ｊ］．Ｎｕｍｅｒｉｓｃｈｅ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｋ，２００５，１０１（１）：１０１—１１９．　［３］Ｄ．Ｊ．Ｈｉｇｈａｍ，Ｐ．Ｅ．Ｋｌｏｅｄｅｎ．Ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ　ａｎｄ　ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ｉｍｐｌｉｃｉｔ　ｍｅｔｈｏｄｓ　ｆｏｒｊｕｍｐ—ｄｉｆｕｓｉｏｎ　ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｊ］．Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ　Ｊｏｕｍａｌ　ｏｆ　Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　Ａｎａｌｙｓｉｓ　ａｎｄ　Ｍｏｄｅｌｉｎｇ，２００６，３（２）：１２５—１４０．　［４］Ｐ．Ｅ．Ｋｌｏｅｄｅｎ，Ｅ．Ｐｌａｔｅｎ．Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｏｆｓｔｃｏｈａｓｔｉｃ　ｄｉｆｅｒｅｎｔｉｌａ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｍ］．Ｂｅｒｉｌｎ，Ｓｐｒｉｎｇｅｒ—Ｖｅｄａｇ，１９９２．　［５］Ｔｈｏｍａｓｃ　Ｃ．Ｇａｒｄ．Ｉｎｔｒｄｏｕｃｔｉｏｎ　ｔｏ　Ｓｔｃｏｈａｓｔｉｃ　Ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｍ］．Ｎｅｗ　Ｙｏｒｋ　ｎａｄ　Ｂａｓｅｌ：Ｍａｒｃｅｌ　Ｄｅｋｋｅｒ，Ｉｎｃ，１９９８．　［６］ｘ．Ｒ．Ｍａｏ．Ｓｔｃｏｈａｓｔｉｃ　Ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｎａｄ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ［Ｍ］．Ｎｅｗ　Ｙｏｒｋ　Ｈａｎｖｏｄｏ，１９９７．　［７］Ａ．Ｇａｒｄｏｎ．Ｔｈｅ　ｏｒｄｅｒ　ｏｆ　ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ　ｏｆｒ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｏｆ　Ｉｔａ—ｔｙｐｅ　ｓｔｃｏｈａｓｔｉｃ　ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｗｉｔｈ　ｊｕｍｐｓ［Ｊ］．Ｓｔｃｏｈａｓｔｉｃ　Ａｎａｌｙｓｉｓ　ｎａｄ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２００４（２２）：６７９—６９９．　［８］Ｉ．Ｉ．Ｇｉｈｍａｎ，Ａ．Ｖ．Ｓｋｏｒｏｋｈｏｄ．Ｓｔｃｏｈａｓｔｉｃ　Ｄｉｆｒｅｎｔｉｌａ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｍ］．Ｎｅｗ　Ｙｏｒｋ：Ｓｐｒｉｎｇｅｒ，１９７２．　［９］Ｆｉｍａ，Ｃ．Ｋｌｅｂａｎｅｒ．Ｉｎｔｒｄｏｕｃｔｉｏｎ　ｔｏ　Ｓｔｃｏｈａｓｔｉｃ　Ｃａｌｃｕｌｕｓ　Ｗｉｔｈ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ［Ｍ］．Ｌｏｎｄｏｎ：Ｉｍｐｅｒｉｌａ　Ｃｏｌｌｅｇｅ，１９９８．　［责任编辑舒尚奇】　Ｔｈｅ　Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ　ｏｆ　Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　Ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ　Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ　Ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｗｉｔｈ　Ｐｏｉｓｓｏｎ　Ｊｕｍｐｓ　ＣＨＥＮ　Ｊｉａｎ．ｂｉｎ．ＷＡＮＧ　Ｌａ．ｓｈｅｎｇ　（Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ．Ｘｉ’ａｎ　Ｐｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｙｔ．Ｘｉ’ａｎ　７１００４８．Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅ￣ｔｈｅ　ｓｕｔ￣ｃｉｅｎｔ　ｃｏｎｄｉｔｉｎｏｓ　ｏｆ　ｅｍｉｓｔｅ￣ａｎｄ　ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｏｌｕｔｉｎｏｓ　ｆｏｒ　ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｗｉｈｔ　Ｐｏｉｓｓｏｎ　ｊｕｍｐｓ　ａｒｅ　ｇｉｖｅｎ　ｕｎｄｅｒ　ｔｈｅ　ｌｏｃａｌ　Ｌｉｐｓｃｈｔｉｚ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｌｉｎｅａｒ　ｇｏｓｈ　ｃｏｎｄｉｉｔｏｎ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：Ｐｏｉｓｓｏｎ　ｊｕｍｐｓ；ｌｃｏａｌ　Ｌｉｐｓｅｈｔｌｚ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ；ｌ　ｆｏｒｍｕｌａ