基于双频互质阵列的DOA估计方法

ApplicationResearchofComputers

计算机应用研究

Vol. 34 No. 5

May 2017

基于双频互质阵列的

D

〇

A

估计方法

+

陈川，郭勇，贾勇

(

成都理工大学信息科学与技术学院，成都610059)

0A

摘要：针对互质阵列单频工作模式下，舍弃差协同阵中非均匀虚拟阵元引起的D数目损失的问题，提出了一种利用双频工作模式提升互质阵列D

0A

估计最大可分辨信号源

估计最大可分辨信号源数目的方法，通过选

估计的

择单个合适的额外工作频率获取额外不同位置的差协同阵虚拟阵元，进而填充参考工作频率下互质阵列差协同 阵中两个缺失的虚拟阵元。相比于单频工作模式，双频工作模式获取了更多均匀分布的虚拟阵元，D自由度得到了提升，实现了对更多非相干信号源的D关键词：互质阵列；D

0A

0A

估计。具体来讲，对于具有W + 2M

-

1

个物理阵元的互

质阵列，双频工作获得的自由度提升为M,对可实现D

0A

0A

估计的非相干信源数目的增加为M。

估计；双频工作；差协同阵；自由度

文献标志码：A

文章编号：1001-3695(2017)05-1459-04

中图分类号：TN953.3

doi：10. 3969/j. issn. 1001-3695. 2017. 05. 041

D0A estimation based on dual-frequency co-prime array

Chen Chuan , Guo Yong，Jia Yong

(College of Information Science & Technology， Chengdu University of Technology， Chengdu 610059， China)

Under the Abstract：

estimation algorithm to tion. By selecting single tion frequency. Compared virtual elements, improving

condition of improve proper with the

the t-wo the

single-frequency number missed

of the virtual

operation for resolvable sources elements in operation, the

co-prime array, discarding based the resulted

the

non-uniform virtwith

the difference co-array brings about the number loss of the resolvable sources in D0A estimation. This paper proposed a D0A

on the co-prime array difference co-array in

the

additional operation frequency, it

single-frequency

obtained the

dual-fwith for

additional different positions of virtual eleme

of co-prime array D0A estimation

operation acquired more

in the difference co-array to fill

proposed dual-frequency

degree-of-freedom of D0A estimation which

sources. More specifically, corresponding to a co-prime aray with N + 2M - 1 physical elements, the dual-frequency operation improves the degree-of-freedom by M and increases the number of resolvable incoherent sources in D0A estimation by M.Key words： co-prime array； D0A estimation； dual-frequency operation； difference co-array； degree-of-freedom

拟阵元数目。剔除重复导致的虚拟阵元数目下降最终造成自

〇引言

高分辨到达方向

由度的损失，降低阵列D0A估计的最大可分辨能力。

（direction-of-arrival, D0A )估计是阵列信

虚拟阵元的重复本质上是ULA中物理阵元存在冗余造成 的，因此，为了减少自由度的损失,应解决虚拟阵元的重复即物 理阵元的冗余问题,根本上需要打破物理阵元分布的均匀性， 同时使得阵元分布呈现稀疏性。基于此,设计一种合理的非均 匀稀疏阵列便能有效地增加自由度，实现比物理阵元数目更多 的信号源的分辨。例如，最小冗余阵列（minimum redundancy

ary，MRA)在给定物理阵元数目的前提下最大程度地减少了

号处理领域的主要研究内容之一,依托于天线传感器阵列在通 信、雷达等领域具有极为广泛的应用[12]。传统的基于子空间 的D0A估计方法

（如

MUSIC、ESPRIT)在使用具有N个天线

阵元的均匀直线阵列（uniform linear array,ULA)时，由于可提 供的自由度为N - 1,受限于此，最多可分辨N - 1个信号 源[34]。

阵列的自由度与其对应的差协同阵中虚拟阵元数目密切 相关,差协同阵由任意两个物理阵元两两组合互减而成，即虚 拟阵元的位置由每一对物理阵元的位置互减得到[5〜7]。对于 具有N个物理阵元的ULA，其差协同阵共包含2N-1个虚拟 阵元，位置是正数的虚拟阵元的数目为该阵列可提供的自由 度。需要注意的是,物理阵元分布的均匀性导致存在多对物理 阵元产生同一虚拟阵元的现象（如任意两个相邻的物理阵元 互减形成的虚拟阵元的位置都是1和-1)也就是说,存在虚 拟阵元重复的现象,这里的2N-1是剔除重复之后的有效虚

差协同阵中虚拟阵元的重复问题，提供的自由度最多,然而阵 列布局无闭式解需要复杂的遍历搜索[];嵌套阵列（neted ar-

my，NA)也是一种能够增加自由度的非均匀稀疏阵列，而且其

布局易于设计,该阵列由两个ULA组成，其中第一个ULA的 阵元间距为半波长的单位间隔d。，而第二个ULA的阵元间距 为单位间隔的整数倍，该整数等于第一个ULA的阵元数目[9]。

最近,Vaidyanathan等人[1°〜15]提出了一种特殊的非均匀 稀疏阵列，称为互质阵列（co-prime array, CA),同样由两个

ULA组成，第一个包含N个阵元，阵元间隔为Md，第二个

收稿日期：2216-03-07;修回日期：2016-04-26 基金项目：国家自然科学基金资助项目（61501062)国家自然科学基金资助项目

(41574136)

191-),女，吉林梅河口人，讲师，博士研究生，主要研究方向为数字信号处理、无线定位算法研究（7103738@ qq. cm);郭勇

(I960-),男，教授，博士，主要研究方向为信号处理；贾勇（1985-),男，讲师，博士，主要研究方向为雷达信号处理.

作者简介：陈川（

• 1460 •计算机应用研究

第34卷

ULA包含2M - 1个阵元，阵元间隔为W。，M和W是两个互质

的整数。相比于MRA，CA的布局设计更为简单，而相比于

NA，CA的阵元间距更大，阵元间互耦影响更小。CA对应的差

协同阵中虚拟阵元并不完全均匀分布，这意味着存在缺失的虚 拟阵元即空洞。根据布局特征，两个对称的空洞将CA的差协 同阵划分为三个子协同阵，一个是位于中段的均匀子协同阵，另 外两个是位于两端的非均匀子协同阵，其中均匀子协同阵是差 协同阵的主体部分。文中使用均匀子协同阵来设计互质阵列的

DOA估计算法，其核心是将CA相关矩阵矢量化以模拟均匀分

布虚拟阵元的观测矢量，然后空间平滑得到去相关的虚拟相关 矩阵，通过MUSIC算法得到DOA的估计。对于W + 2M-1个阵 元的CA,均匀子协同阵包含以单位间隔d。均匀分布的2MV + 2M -1个虚拟阵元，提供的自由度为MV + M - 1，最大可分辨信 号源的数目为胃

+M-l，超过物理阵元的数目W + 2M-1。

然而，该算法仅使用了均匀子协同阵，舍弃了位于差协同 阵两端的两个非均匀子协同阵，这意味着自由度的损失，也就 是说,CA提供的全部自由度并未被完全利用。减少CA自由 度损失的关键是填充差协同阵的空洞，进而联合非均匀子协同 阵的虚拟阵元形成阵元数目更多、孔径更大的均匀子协同阵。 考虑到CA差协同阵中空洞的分布特点，在单位间隔对应的参 考工作频率之外，本文采用一个额外的工作频率来扩展协同阵 的布局结构,用以填充工作在参考频率时差协同阵中均匀子协 同阵与两个非均匀子协同阵之间两个对称的空洞，这样包含被 填充空洞在内的2M个虚拟阵元被吸收到均匀子协同阵中。 因此,CA通过双频工作模式形成了包含2MV +4M - 1个虚拟 阵元的均匀子协同阵，获得的自由度为MV+2M-1，最多可分 辨MV + 2M-1个信号源。相比于单频工作模式，双频模式采 用一个额外的工作频率获得的自由度提升为M，最大可分辨信 号源数目对应增加M。此外，为了避免复杂的空间平滑处理， 本文采用了矩阵增秩的方法来构造用于DOA估计的虚拟相关 矩阵。基于MATLAB的数值仿真结果验证了本文提出算法的 有效性。

1互质阵列及其差协同阵

互质阵列CA由两个欠采样（稀疏）的ULA组成，如图1

所示，一个包含V个物理阵元，分别位于|M™d〇,0^™^V- 1丨，另一个包含2M-1个物理阵元，分别位于|Vmd〇，1矣m矣 2M

-

1!，其中，M与V是两个互质的整数,d。是对应工作频率

叫的半波长单位间隔。

▲

▲

〇

Md0 2Md0 {N-l)Md0

A

(2M-1 风

图1 CA示意图

对于上述包含V + 2M-1个物理阵元的CA，对应的差协 同阵如图2所示，其中虚拟阵元的位置表示为

5d (〇>。）- | ± (Mnd。- Nmd。)} 0sS^sSV-1,1sS m^2M - 1 (1)

根据图2所示虚拟阵元的分布特征，CA差协同阵被划分 为一个均匀子协同阵和两个非均匀子协同阵。其中，均匀子协 同阵中2MV + 2M

-

1个虚拟阵元以单位间隔d。均匀分布且关

于原点对称，而非均匀子协同阵中存在空洞，造成虚拟阵元分 布呈现非均匀性，两个非均匀子协同阵关于原点对称。此外， 根据空洞的分布特征，非均匀子协同阵可再细分为单个空洞部 分和多个空洞部分。

-(2M-1K

-(^N+2M-l)d

0-1)^ (M2\\T+2M-l)d〇

(2M-1K

多个空洞部分I单个空洞部分

〇 式

单个空洞部針空洞部分

非均勻子协同阵

-均匀子协同阵

-非均匀子协同阵

图2 CA的差协同阵示意图

2

单频互质阵列DOA估计

假设功率分别为a^

iM。），〇\"2(«。），…，〇i((M。）的i个信号

源分别从i个方向01,02，…，^人射至CA。在工作频率为《。 时,接收信号矢量表示为

X(o>。）-/4(〇>。）5(〇>。）+n(〇>。）

⑵

其中：S((M。）= [^ (M。）,2(M。），…，〜（如。）]T为M。时的源信 号矢量;^M。）为对应的噪声矢量;/\\(M。）是M。时的阵列操纵 矩阵，上标（•）表示矩阵转置。操纵矩阵中第（,）个元素 表示为

i = l,2,…，V + 2M-1;. = 1,2,…，i (3)

其中：,为第*个物理阵元的位置;0是第J个信号源的到达方 向；0 =M〇/c是M。时的波数;C为自由空间光速。假设i个信 号源互不相关，并且噪声在空域和时域都是白的。因此，接收 信号的相关矩阵表示为

心（M。）= £lX(M〇)H(M〇)l-

K(a>0)fiss(o>0)KH(o>。）+a(o>。）/

(4)

其中：ss(在相关矩阵Rd(m。）中，相关间隔为P的元素表示为

心）-+cr2()

(5)

其中：d。是互质阵列中某两个物理阵元的位置差，即式（1 )中 差协同阵某个虚拟阵元的位置，也就是说，相关间隔是由虚拟 阵元位置决定的，两者一一对应。

式(5)所示的相关间隔为P的相关元素K()可以看成是差

协同阵中处于pd。的虚拟阵元收集的单快拍信号，此时信号源 和噪声均由功率表示且都是确定的，信号源之间、信号源与噪声 之间都是相干的。换句话说,i个相干信号源分别以幅度a

,

a2,…,ai从方向01 ,02,…,0i人射至虚拟阵元。因此，对应CA

差协同阵均匀子协同阵中均匀分布的虚拟阵元，从相关矩阵 (m。）中提取相关间隔从-(MV -M + 1)到MV -M + 1的相关元素形成均匀子协同阵等效的单快拍信号矢量,表示为

Z - [r( - MV-M + 1),…■,( -1),r(0),

r(1) ,\",r(MV + M-1) ]

(6)

Vaidyanathan等人提出的DOA估计算法,针对式（6 )所示

均匀子协同阵等效的单快拍信号矢量，通过空间平滑得到秩为

MV + M的等效相关矩阵，利用MUSIC算法可分辨MV + M - 1

个信号源[1。^12]。值得注意的是,算法仅使用了 CA差协同阵

中均匀子协同阵对应的2MV + 2M - 1个相关元素，即只利用 了均匀子协同阵提供的自由度MV+M-1。而舍弃非均匀子 协同阵造成了相应的自由度损失，即分辨能力的下降。

3双频互质阵列DOA估计

根据上章所述，互质阵列CA在单频工作时，只利用了均

匀子协同阵中虚拟阵元提供的自由度MV + M - 1，实现了最多

MV + M - 1个信号源的DOA估计，也就是说，DOA估计的分

第5期陈川，等:基于双频互质阵列的

DOA估计方法

• 1461 •

辨能力依赖于CA差协同阵中连续均匀分布的虚拟阵元的数 目，舍弃非均匀子协同阵而导致分辨能力下降的关键是差协同 阵中空洞的存在。因此，本章将给出如何使用双频来填充CA 差协同阵中的部分空洞，扩大均匀子协同阵的范围（虚拟阵元 数目和孔径），从而获得CA提供的更多自由度，实现更大数量 信号源的DOA估计。假设信号源的频率范围足以覆盖CA工 作的两个频率，即参考频率叫和用于填充协同阵空洞的额外 频率《,。考虑图1所示的CA，单位间隔d。是对应于参考频率 «。的半波长。CA工作在时，其接收信号由式（2)给出，相 杂计算量，本文采用矩阵增秩的方法来获得用于DOA估计的 虚拟相关矩阵，即将单快拍信号矢量进行矩阵化操作,表示为

(。）

(1) (。)

(MN + 2M-1)

R =r

(-1)

L ( - MN - 2M + 1)

… r ( - 1)

(1) (。)

(1)

此虚拟相关矩阵等效于以MN + 2M - 1个阵元以单位间 隔d。均匀排列的均匀直线阵列的相关矩阵，利用子空间类

DOA估计算法如MUSIC算法最多可实现MN + 2M - 1个非相

应地，当

ca

工作在额外频率％ =a«。时，接收信号表示为

)s(a>3) +n(a>3)

(7)

其中是对应于％的阵列操纵矩阵,它的第（*，)个元 素表示为

[A(aq )]ij=e,i^

sm(8；')

i =

1,2,...,2M + /V-1； = 1,2,...,D (8)

其中是叫时的波数。由于\\

式(8)可改写为

[A(«3)

i = 1,2,…,2M + JV-1; = 1,2,…,D

(9)

对比式(3)与(9)可知,％对应的操纵矩阵等效于CA尺 度变换后工作在《。时的操纵矩阵，尺度变换后第；个阵元位 置为a*.。因此，c

a

工作在时的差协同阵也是工作在《。

时差协同阵的尺度变换,对于式（1)所示的％时差协同阵中 虚拟阵元的位置，当工作于％时尺度变换为

SAaiq) = \\ ±a(Mnd。-Nmd。、'。容 rasSjV-1,1sSm：s2M-1

(1。)

当％ >«。时，即a >1时，差协同阵会扩展，反之则会收 缩。换句话说，附加频率的使用在差协同阵中指定位置增加了 额外的虚拟阵元，因此，合理选择附加频率能够产生期望的虚 拟阵元出现在差协同阵的空洞位置。对于图2所示的CA差协同阵中均匀子协同阵两侧对称的、处于± (ARV + M)的两个 空洞,对其填充所使用的额外工作频率可选择为

MN + M

= MN + M + 1。

()

也就是说，与空洞外侧相邻的两个虚拟阵元向内侧收缩到 空洞位置，从而实现了空洞填充。事实上，填充± (MN + M)的 两个空洞可用任意的虚拟阵元进行尺度变换来实现，考虑到额 外频率使用对系统复杂度和信号源特性起伏的影响，额外频率 的选择要求接近并且小于参考频率，因此，式（11 )中的额外频 率是填充± (MN +M)的两个空洞的最佳选择。

处于± (MN +M)的两个空洞被填充后，获得的均匀密布 的差协同阵虚拟阵元扩张到± (MN + 2M - 1 )，获得的自由度 达到MN +2M - 1，从而最大可分辨信号源的数目达到MN + 2M - 1，相比于单频工作时MN + M - 1的最大可分辨信号源数 目，一个额外频率的使用带来了 M个最大可分辨信号源数目 的提升。

针对双频工作时获得的均匀分布于-(MN + 2M-1)至

MN + 2M-1的均匀密布的差协同阵虚拟阵元,从两个频率对

应的两个相关矩阵中提取相关元素构成等效的单快拍信号矢 量为

z = [( - MN-2M + 1) ,.\"，（ - MN-M) ,•••，（ -1)，（。），

r⑴

，…，r(MN + M)，…，(MN + 2M-1)] (12)

其中：(MN+M)和r( -MN-M)来源于工作频率为％的相关 矩阵，剩余的相关元素全部来源于工作频率为《。的相关矩阵。

为了避免对单快拍信号矢量进行空间平滑操作带来的复

干信号源的DOA估计，相比于单频工作模式，CA使用双频工 作模式将最大可分辨信号源数目提升了 M。

依此类推,使用多个额外的工作频率能够填充CA差协同 阵中非均匀子协同阵多个空洞部分的多个空洞，但此时一个额

外频率带来的最大可分辨信号源数目提升小于M。相比于本

文使用一个额外频率填充非均匀子协同阵单个空洞部分的一 个空洞，在同等代价下对DOA估计最大可分辨信号源数目的

提升有限，因此，本文重点针对单个空洞部分的一个空洞设计

CA 双频工作模式。

4仿真结果与分析

如图3所示,MATLAB仿真采用M=2和N = 3的CA，共

包含2M + N

-

1 =6个物理阵元，设置对应于参考频率《。的单

位间隔d。=1。当工作在参考频率叫时，CA差协同阵中 ±(MN + M) = ±8的位置存在虚拟阵元缺失（空洞）均匀密布

的15个虚拟阵元处于-(MN + M-1) = -7至MN+M-1=7 的区间，因此，从参考频率《。对应的相关矩阵中能够提取 -7 ~7连续相关间隔的相关元素，作为15个均匀分布虚拟阵 元的等效单快拍信号矢量，通过矩阵增秩获得8 x8的虚拟相 关矩阵，利用DOA算法最多可分辨7个非相干信号源，超过了

CA物理阵元数目。图4给出了 CA在单个参考频率工作时基

于MUSIC算法的DOA估计结果，其中仿真设置了 7个非相干

信号源，在〇 dB信噪比下产生了 1 000个快拍数据，结果显示 了对7个非相干信号源DOA的准确估计。

为了填充处于±8位置的空洞,根据式（11)选取额外的工 作频率％ = ( 8/9)叫，此时参考频率《。时虚拟阵元位置± 9 收缩为± 8 ,用于实现空洞的填充，如图3所示，因此，利用两个 频率可获得从-(MN + 2M-1) = -9至MN+2M-1 =9的19 个均匀密布的虚拟阵元位置，提供的自由度为9,最多可分辨

MN + 2M-1 =9个非相干信号源。图4、给出了单、双频工作

时基于MUSIC算法的DOA估计结果，表明了对9个非相干信 号源DOA的准确估计。因此，对于M = 2和N = 3的互质阵 列，使用一个额外的工作频率，最大可分辨信号源数目提升了

M(=2)。

5结束语

本文提出的双频互质阵列DOA估计算法，利用两个工作

频率获得了比单个工作频率更多的均匀差协同阵虚拟阵元，带 来了 DOA估计自由度的提升，增加了 DOA估计的最大可分辨 信号源数目。对于具有2M + N - 1个物理阵元的互质阵列，双 频工作比单频工作即增加使用一个额外的工作频率能够带来

M个最大可分辨率信号源数目的提升。

由于一个额外工作频率的使用，双频工作增加了系统的工 作带宽并引人了信号源特性起伏,从而在一定程度上增加了系

• 1462 •计算机应用研究第34卷

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统的复杂程度与成本以及DOA估计误差。本文选择低于且最

O

o

o -1o-2 -3-4J -5o-6 -7> o 1

1o -Q>1O -2O-CQ p/JaMod(上接第1458页）技术中是少有的。与此同时，优化方案只改变

IPv6后64位接口标志符结构，对于本地地址只需要将移动标

志位置0即可;不需要对路由器等硬件设施作大规模修改，便于实施部署。随着移动互联网的不断发展，用户对移动切换性能的需求也越来越高。优化方案不仅能实现MN的无缝切换，同时也能满足用户日益增长的I互联网用户的需要。

需求，更好地贴近当前移动

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