初等数论在中学数学竞赛中的应用

福建师范大学数学与计算机科学学院.数学与应用数学.

邱建萍.105012011097

【摘要】

随着数学竞赛的发展，已逐渐形成一门特殊的数学学科-竞赛数学，也可称为奥林匹克数学.将高等数学下放到初等数学中去，用初等数学的语言来表述高等数学的问题，并用初等数学方法来解决这些问题，这就是竞赛数学的任务.初等数论是研究数的规律，特别是整数性质的数学分支.是数论的一个最古老的分支.它以算术方法为主要研究方法，主要内容有整数的整除理论、不定方程、同余式等.本文主要探索整除理论在中学竞赛数学中的应用.

【关键词】

数学竞赛, 整除理论, 应用, 无穷递降法

【正文】

数学竞赛的开展导致了竞赛数学的诞生，竞赛数学的的主要内容也主要是中学教材，乃至小学教材的内容.涵盖了初等代数、初等数论、几何、组合数学等.竞赛往往是针对中学生的数学活动，目的在于培养更多的数学人才，早发现早培养.数学竞赛的主要内容也离不开中学课本，来源于课本.而这些知识都是学生容易掌握的，不是超出学生学习能力范围的，这样的竞赛是对学生有利.在这些知识中，初等数论是很重要的，因为它不需要太多的数学基础，也不要太多的其它数学分支.由于这种特性，数论常常成为了竞赛数学的重点.初等数

论就是研究数的性质，特别是整数的性质.是数论的一个最古老的分支.它以算术方法为主要研究方法，主要内容有整数的整除理论、不定方程、同余式等.随着数学竞赛的发展，已逐渐形成一门特殊的数学学科-竞赛数学，也可称为奥林匹克数学.将高等数学下放到初等数学中去，用初等数学的语言来表述高等数学的问题，并用初等数学方法来解决这些问题，这就是竞赛数学的任务.本文主要探索整除理论在中学数学竞赛中的应用.

1. 中学竞赛数学中的数论问题与初等数论的联系.

竞赛数学的问题甚至解法的背景往往来源于某些高等数学.数学就其方法而言，大体上可以分成分析与代数，即连续数学与离散数学.很多国际数学奥林匹克的试题来自数沦、组合分析、近世代数、组合几何、函数方程等.其中的数论知识部分，就是来源于初等数论的概念与性质.

因此，初等数论与竞赛数学中的数论问题是一般与特殊的关系；是系统与分支的关系；是理论与应用的关系.

因为这些关系，竞赛数学首先要学习初等数论的基本概念和性质.例如整除的概念和性质：

在高中数学竞赛中如果不加特殊说明，我们所涉及的数都是整数，所采用的字母也表示整数.

定义1.1

设a,b是给定的数，b0，若存在整数c，使得abc则称b整除a，记作b|a，并称b是a的

一个约数(因子)，称a是b的一个倍数，如果不存在上述c，则称b不能整除a记作b†a.

由整除的定义，容易推出以下性质：

(1)若b|c且c|a，则b|a(传递性质)；

(2)若b|a且b|c，则b|(ac)即为某一整数倍数的整数之集关于加、减运算封闭.若反复运用这一性质，易知b|a及b|c，则对于任意的整数u,v有b|(aucv).更一般，若a1,a2,倍数，则b|(a1a2an).或者a|bi，则

a|cibii1n,an都是b的

其中ciZ,i1,2,,n；

(3)若b|a，则或者a0，或者|a||b|，因此若b|a且a|b，则ab；

(4)a,b互质，若a|c,b|c，则ab|c；

(5)p是质数，若p|a1a2则p|a；

an，则p能整除a1,a2,n,an中的某一个；特别地，若p是质数，若p|a，

(6)(带余除法)设a,b为整数，b0，则存在整数q和r，使得abqr，其中0rb，并且

q和r由上述条件唯一确定；整数q被称为a被b除得的(不完全)商，数r称为a被b除得的余

数.若r0，即为a被b整除的情形.

此外，也常常直接利用初等数论的一般性理论来解决问题.又如最大公约数与最小公倍数：

定义1.2（最大公约数）设a,b不全为零，同时整除a,b的整数称为它们的公约数.因为a,b不全为零，故a,b只有有限多个，我们将其中最大一个称为a,b的最大公约数，用符号(a,b)表示.显然，最大公约数是一个正整数.

定义1.3（最小公倍数）设a,b是两个非零整数，一个同时为a,b倍数的数称为它们的公倍数，a,b的公倍数有无穷多个，这其中最小的一个称为a,b的最小公倍数，记作[a,b]，对于多个非零实数a,b,,c，可类似地定义它们的最小公倍数[(a,b)].

定理1.1（整除的性质）设整数a,b,c为非零整数，

（1） 若c|b，b|a，则c|a；

（2） 若c|a，则bc|ab；

（3） 若c|a，c|b，则对任意整数m,n，有c|manb；

（4） 若(a,b)1，且a|bc，则a|c；

（5） 若(a,b)1，且a|c,b|c，则ab|c

（6） 若a为素数，且a|bc，则a|b或a|c．

定理1.2 设a,b为整数，n为正整数，

（1） 若ab，则(a-b)|(anbn)；

（2） 若ab，则(ab)|(a2n1b2n1)；

（3） 若ab，则(a+b)|(a2nb2n)．

定理1.3 如果素数p不能整除整数a，则p|(ap11)

定理1.4 （分解唯一性）每个大于1的正整数都可分解为素数的乘积，而且不计因数的顺序时，这种表示是唯一的

np1a1p2a2pkak.

2.整除理论在竞赛数学中的典例

2.1利用互素理论证明等式

例2.1 1979,IMO211设p与q为正整数，满足

p111q231113181319，

求证p可被1979整除（1979|p）

p111q2311131813191111111121318131924131823111111111131813192365923111166066113181319

6601319661131898999066013196611318989990M19796606611319659!M19791319! 有1979整除1979整除

p1319!q，从而

1979整除p1319!，但1979为素数，(1979,1319!)1，得p可被

解析：本题主要使用了整除的性质与互素的理论，通过将分数的式子转化为整数的情况进行求解，这种方法在数学竞赛中常常使用到.

2.2利用同余与整除的关系证明方程

例余2.

31n3n2n1222.2（1956，中国北京）证明对任何正整数n都是整数，并且用

3除时

讲解 只需说明

n3n1321nn222为整数，但不便说明“用3除时余2”，应说明

nn12n131n3n2n222是

3的倍数.作变形

2n2n22n131n3n2n11,3,81228

命题得证.

证明

已知

nn12n131n3n2n11222， ①

因为相邻2

3213nnn122个整数n,n1必有偶数，所以为整数.又①可变为

2n2n22n131n3n2n11228，

因为相邻3个整数2n,2n2,2n1必有3的倍数，故2n2n22n1能被3整除；又3,81，

2n(2n2)(2n1)8所以能被

3

31n3n2n122整除；得用

3除时余2.

2.3利用无穷递降法证明完全平方数

例

a2b2222.3 (IMO296)设a,b为正整数，ab1整除ab．证明ab1是完全平方数．

证明

a2b2kab1令．k是正整数．式中a,b是对称的，不妨设ab．

2a2k2ka2kk12(l)若ab，则a1．本题获证．

(2)若ab，由带余除法定理，可设abst（s2,0tb,s,t是整数)，则

a2b2b2s22bstt2b2ab1b2sbt1，

易证此式大于s1且小于s1(可用放缩法证)．所以必有

b2s22bstt2b2sb2sbt1

b2t2sbt1化简得，于是

a2b2b2t2sab1bt1，

其中tba．

此时若t0，则kb，本题获证．

2若t0，可继续令bts1t1（s12,0t1t,s1,t1是整数），仿上可推得

a2b2b2t2t2t12s1ab1bt1tt11，

此时若t10，则kt，本题获证．

2若t10，可如上法做下去．因tt1t2是完全平方．综上本题获证．

kti20，t0i1且均为整数．故总能得到某个，使，

解决这道世界级难题的这种巧妙的证明方法叫“无穷递降法”，是17世纪法国数学家

费(Fermat．1601一1665)首创和应用的一种方法．

什么是无穷递降法呢？1965年，法国数学家费马写信给他的一位朋友卡尔卡维，称自己创造了一种新的数学方法，由于费马的信并没有发表，人们一直无从了解他这一方法，直到1879年，人们在荷兰莱顿大学图书馆惠更斯的手稿中发现了这一篇论文，才知道这种方法就是无穷递降法，无穷递降法是主要是证明某些不定方程无解时常常使用的一种方法.其证明模式大致是：先假设方程存在一个最小的正整数解，然后在这个最小的正整数解的基础上构造一个更小的解，构造某种无穷递降的过程，再结合最小数原理得到矛盾，从而命题得证.无穷递降法在解决问题过程中，主要有两种表现形式：其一，由一组解出发通过构造得到另一组解，并且将这一过程递降下去，从而得到矛盾；其二，假定方程有正整数解，且存在最小正整数解，设法构造出方程的另一组解，比最小正整数解还小，从而得到矛盾.无穷递降法的理论依据是最小数原理.无论哪种表现形式，其基本思想都是对一个问题，若能从一种状态产生另一种状态 ，并且有一个与状态有关的取正整数值的量的严格减少，就可以使用无穷递降法.关键是怎样构造“状态.”

以下再举一例简单介绍无穷递降法结合整除理论证明不定方程解的问题

例2.4（匈牙利2000年竞赛题）找出满足方程素数p.

pnx3y3（其中x,y,n是正整数）的所有

解

注意到211313与322313成立.且尝试多次后，无法找到其他满足条件的素数p，因此

n可以猜测只有p=2或3满足条件.原问题转化为证明不存在素数p3满足px3y3.

假定对素数p3有正整数x,y,n使得方程pnx3y3成立，我们令此时的n是最小值.易知

x,y中至少有一个大于1，此时xy3，x2xyy2(xy)2xy2.又x3y3(xy)(x2xyy2)，必有

p|xy，p|x2xyy2（因为不可能xypn或x2xyy2pn，否则pnx3y3不成立）

由于(xy)2(x2xyy2)3xy，所以p|3xy，因为p3，所以p|xy，从而x与y中至少有一个

n333是p的倍数，结合p|xy，于是p|x，p|y则pxy2p.从而n3.

pn3pnx3y3xy333()3()3ppppp，

这说明

n3,xy,pp也满足方程

pnx3y3的正整数解，这与n是最小值矛盾.从而原方程仅有p=2或3满足条件.

此外无穷递降法除了在整除问题上有所应用，还在用于证明完全平方数，无理数的证明方面起到很大的作用.此外无穷递降法还证明了许多不定方程与同余方程的相关定理.著名的费马定理就是由无穷递降法结合整除理论证明出来的.

【参考文献】

[1]浅析中学竞赛数学中的数论问题对学习初等数论的利与弊[EB].

[2]孙贤中.数学竞赛中的数论问题[z].2009（10月）.

[3]张必胜. 初等数论在IMO中应用研究[c].西北大学.2010.

[4]胡典顺、程灿.无穷递降法及其应用[z].数学通讯，2011年第3期（下半月）：57.

The Divisible Theory in High School Mathematics Competition on

Application

College of Mathematics and Computer Science .Mathematics.

Jianping Qiu.105012011097

[Model]

With the development of math contest, has gradually formed a special mathematical disciplines - mathematics contest, also known as the Olympic mathematics. The decentralization of higher mathematics to elementary mathematics, elementary mathematical language to express the problems of higher mathematics and elementary mathematical methods to solve these problems, and this is the task of mathematics competitions. Elementary number theory is the study of the law of numbers, especially in the branch of mathematics integer nature. Number theory is one of the oldest branches. It arithmetic method as the main research method, the main contents are integers divisible by theory, equation, congruence and so on. This paper explored divisible theory in mathematics in high school competition.

[Key words]

Mathematics Competition, Divisible Theory, Application, Method of infinite descent