教学案特殊平行四边形.知识精讲(2014-2015)

特殊平行四边形 中考大纲

中考内容 中考要求 A 会识别矩形、菱形和正方形 特殊的平行四边形 B 掌握矩形、菱形和正方形的概念、判定和性质，会用矩形、菱形和正方形的性质和判定解决简单问题 C 会运用矩形、菱形和正方形的知识解决有关问题 知识网络图

定义：有一个角是直角的平行四边形矩形性质：对角线相等且互相平分判定定义：邻边相等的平行四边形特殊平行四边形菱形性质：对角线互相垂直平分

判定定义：有一个角是直角且邻边相等的平行四边形正方形性质：对角线相等且互相垂直平分判定知识精讲

一、矩形的性质及判定

1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．

2．性质（矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质） （1）边：对边平行且相等． （2）角：四个角都是直角．

（3）对角线：对角线互相平分且相等．

（4）对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形．

（5）周长：C=2(ab)（a、b为一组邻边）． （6）面积：Sab（a、b为一组邻边）．

【注意】1、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

2、直角三角形中，30角所对的边等于斜边的一半．

这两条直角三角形的性质是应用矩形的对角线推得，用三角形知识也可推得． 3．矩形的判定

（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形．

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（2）对角线相等的平行四边形是矩形． （3）有三个角是直角的四边形是矩形．

二、菱形

1．定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

2．性质（菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质） （1）边的性质：对边平行且四边相等． （2）角的性质：邻角互补，对角相等．

（3）对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角． （4）对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形． （5）周长：C=4a（a为边长）

（6）菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半． Sah（a为一边长，h为这条边上的高）；

1Sbc（b、c为两条对角线的长）．

2【注意】其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半．

3．菱形的判定

（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形． （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形． （3）四边相等的四边形是菱形．

三、正方形

1．定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形．

2．性质（正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质） （1）边：对边平行，四条边都相等． （2）角：四个角都是直角．

（3）对角线：两条对角线互相垂直平分且相等，•每条对角线平分一组对角． （4）对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形． （5）周长：C=4a（a为边长）． （6）面积：Sa2（a为边长）；

1Sb2（b为对角线长）．

2【注意】平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图）

平行四边形正矩形方菱形形3． 正方形的判定

（2）有一组邻边相等的矩形是正方形．

（1）有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．

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（3）有一个角是直角的菱形是正方形．

解题方法技巧

1、中点四边形

（1）任意四边形的中点四边形为平行四边形． （2）对角线垂直的四边形的中点四边形为矩形． （3）对角线相等的四边形的中点四边形为菱形． （4）对角线相等且垂直的四边形的中点四边形是正方形． 2、对角线互相垂直的四边形

（1）中点四边形EFGH为矩形；如图1

AEBOHD

FG

C图1（2）四边形面积等于对角线乘积的一半；即SABCD1ACBD 2（3）四边形对边的平方和相等． 即AB2CD2AD2BC2 3、筝形：两组邻边分别相等的四边形，称之为筝形．

如图，在筝形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC与BD相交于点O．

（1）△ABC≌△ADC

（2）一组对角相等，即ABCADC

（3）对角线平分一组对角，即AC平分BAD,BCD． （4）对角线互相垂直，即ACBD．

（5）一条对角线平分另一条对角线，即AC平分BD（OBOD）．

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（6）S筝形ABCD1ACBD 2

（7）筝形是轴对称图形，即AC所在直线为其对称轴． 【注意】这些性质需先证明后运用

4、平行四边形和特殊平行四边形之间的判定关系

+三个角是直角+一个直角+对角线相等+一组对边平行且相等+两组对边分别平行（相等）四边形+两组对角分别相等+对角线互相平分平行四边形+一组邻边相等+对角线互相垂直矩形+一组邻边相等正方形菱形+一个直角

+四条边都相等5、正方形共顶点旋转

6、正方形角含半角旋转

ADFADFBECGBEC

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ADADGADBECBECBGECFFF

7、正方形与弦图

ADHG

BCEF8、正方形等面积结论 （1）S△ABC=S△CDE

1（2）G为AB中点，则CGDE

2BGAC

ED易错点辨析

1、判定特殊平行四边形时，要注意是否在平行四边形的基础上．

2、矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，都具有平行四边形的所有性质．正方形还是特殊的菱形和矩形，具有菱形和矩形的全部性质．正方形一般结合等腰直角三角形一起考察．

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