1.1 选择题
（1）设A、B为任意两个事件，则下列关系式成立的是（ ）。 （A）(AB)−B=A （B）(AB)−BA （C）(AB)−BA （D）(A−B)B=A
（2）以A表示“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则对立事件A为（ ）。 （A）甲种产品滞销，乙种产品畅销 （B）甲、乙产品均畅销
（C）甲种产品滞销 （D）甲产品滞销或乙产品畅销 1.2 指出下列关系中那些是正确的，那些是错误的，并说明理由。 （1）（A∪B）− C = A ∪（B−C）； （2）（A∪B）− A= B；
（3）(AB)C=AB∪BC； （4）ABABAB=AB； （5）(AB)(AB)=； （6）若BA，则AB=A。 1.3 试把ABC表示成三个两两互不相容事件的和。
1.4 设={x|0x2}，A={x|0.5x1}，B={x|0.25x1.5}，请具体写出下列各事件：
（1）AB； （2）AB； （3）AB； （4）AB。
1.5 一个工人生产了四件产品，以Ai表示他生产的第i件产品是正品（i=1,2,3,4），试用
Ai(i=1,2,3,4)表示下列事件：
（1）没有一件产品是次品； （2）至少有一件产品是次品； （3）恰有一件产品是次品； （4）至少有两件产品不是次品。
1
1.6 设A、B、C是三个事件，且P(A)=P(B)=P(C)=11，P(AC)=， P(AB)=P(BC)=0，48求A、B、C中至少有一个发生的概率。
1.7 设A、B是两事件，且P(A) = 0.6，P(B) =0.7。问（1）在什么条件下P(AB)取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下P(AB)取到最小值，最小值是多少？
1.8 袋中有白球5只，黑球6只，依次从袋中不放回取出三只，求顺序为黑白黑的概率。
1.9 （1）用“”按由小到大的顺序排列P(A)，P(AB)，P(AB)，P(A) + P(B)四个数。
111P(ABAB)。 （2）已知P(A) =，P(B) =，P(AB) =，求P(AB)，P(AB)，P(AB)，
436
1.10 设A、B为随机事件，P(A)=0.5，P(A−B)=0.2，求P(AB)。
2
习题二 古典概型、条件概率及事件的独立性
2.1 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任取200个。（1）求确有90个次品的概率；（2）求至少有2个次品的概率。
2.2 盒子中有10只球，其中4只红球，6只黑球，今从盒中取三次球，一次取一只，不放回。（1）求第三次取球取到黑球的概率；（2）求第三次取球才取到黑球的概率。
2.3 从a, b, c, , h这8个字母中任意选出三个不同的字母，试求下列事件的概率：
A={三个字母中不含a与b}；B={三个字母中不含a或b}；C={三个字母中不含a但含有b}。
2.4 从6双不同的手套中任取4只，问其中至少有一双配对的概率是多少？
2.5 袋中有10只球，9只白球，1只红球，10个人依次从袋中各取一球，每人取球后不再放回袋中，问第一人、第二人、、最后一人取得红球的概率各是多少？
2.6 （1）已知P(A)=0.3，P(B)=0.4，P(AB)=0.4。求P(BAB)； （2）已知P(A)=
3
111，P(BA)=，P(AB)=。求P(AB)。 4322.7 有两箱同种类的零件，第一箱装50只，其中10只一等品；第二箱装30只，其中18只一等品。今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样。试求：（1）第一次取到的零件是一等品的概率；（2）第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率。
2.8 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别是0.4，0.5，0.7，飞机被一人击中而被击落的概率为0.2，被两人击中而被击落的概率为0.6，若三人都击中，飞机必定被击落。求飞机被击落的概率。
2.9 设玻璃杯整箱出售，每箱20只，各箱含0, 1, 2只残次品的概率分别为0.8, 0.1, 0.1。一顾客欲购买一箱玻璃杯，由售货员任取一箱，顾客从中随机察看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则不买。求：
（1）顾客买下该箱玻璃杯的概率；（2）在顾客买下该箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率。
2.10 有朋友自远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3，0.2，0.1，0.4。如果他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别是1/4，1/3，1/12，而乘飞机则不会迟到。结果他迟到了，试问他是乘火车来的概率是多少？
2.11 （1）设四事件A、B、C、D相互独立，且P（A）= 0.1，P（B）= 0.2， P（C）= 0.3，则“这三个事件恰好发生两个”的概率为 ； （2）若事件A与B ，则P(AB)=P(A)+P(B)； （3）若事件A与B ，则P（AB）=P（A）P（B）； （4）若事件A与B ，则P(A)=1−P(B)。
4
习题三 离散型随机变量及其分布
3.1 填空题
（1）进行重复独立试验，设每次试验成功的概率为p，失败的概率为 q=1−p（0 3.2 试判断下面给出的是否为某个随机变量的分布律？ 3.3 计算下列各题 k（1）已知随机变量X的分布律为P{ X = k }=a， >0为常数，k =0, 1, 2, ，求a。 k! （2）已知随机变量X的分布律为P{ X = k }=a()k，k =1, 2, 3，求a。 （3）设随机变量X服从泊松分布，且P{ X = 1 }=P{ X = 2 }，求P{ X = 4 }。 3.4 有甲、乙两种味道和颜色都极为相似的名酒各4杯。如果任选4杯，从中能将甲种酒全部辨别出来，算是试验成功一次。 （1）某人随机地去猜，问他试验一次成功的概率是多少？ （2）某人声称他通过品尝能区分两种酒。他连续试验10次，成功3次。试推断他是猜对的， 还是确有区分的能力（设各次试验是相互独立的）。 5 233.5 有一大批产品，其验收方案如下。先作第一次检验：从中任取10件，经检验无次品接受这批产品，次品数大于2拒收；否则作第二次检验，其做法是从中再任取5件，仅当5件中无次品时接受这批产品。若产品的次品率为10％，求 （1）这批产品经第一次检验就被接受的概率。（2）这批产品需要做第二次检验的概率。 （3）这批产品按第二次检验的标准被接受的概率。 （4）这批产品在第一次检验时未能作出决定且第二次检验时被接受的概率。 3.6 某产品的次品率为0.1, 检验员每天检验4次, 每次随机地任取10件产品进行检验, 如果发现其中的次品数多于1, 就去调整设备. 以X表示一天中调整设备的次数, 求X的分布律。 3.7 把三个球随机地投入三个盒子中去，每个球投入各个盒子的可能性是相同的。设随机变量X及Y分别表示投入第一个及第二个盒子中的球的个数，求（X，Y）的分布律。 3.8 以X记某医院一天出生的婴儿人数，Y记其中男婴的人数，设X和Y的联合分布律为： e−14(7.14)m(6.86)n−mP { X = n, Y = m }=，m = 0,1,2, , n；n =0,1,2, m!(n−m)!求（1）边缘分布律；（2）条件分布律。 3.9 设某班车起点站时车上乘客人数X服从参数为（＞0）的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p (0＜p＜1)，且各乘客中途下车与否相互独立。以Y表示在中途下车的乘客人数。求： （1）在发车时有n位乘客的条件下，中途有m人下车的概率； （2）二维随机向量（X, Y）的概率分布。 6 习题四 离散型r.v.的独立性及其函数的分布 4.1 填空题 （1） 设（X, Y）的联合分布律为= ， = 。 ，若X与Y相互独立，则 （2）设随机变量X的分布律为 ，则Y = X 2的分布律为 。 （3）设相互独立的随机变量X、Y有相同的分布律，X的分布律为，则U = max{X，Y }的分布律为 ；V = min{X，Y }的分布律为 。 4.2 设随机变量X1，X2，X3，X4独立同分布，且P{Xi =1}=0.6，P{Xi =0}=0.4，（i =1, 2, 3, 4）。试求行列式 X1X3X2X4的分布律。 4.3 设离散型随机变量X的分布律为 X2，求（1）sin (X ) 的分布律；（2） 2的分布律；（3）cos (X )的分布律。 4.4 设X~B(n1,p), Y~B(n2,p)且相互独立, 求Z =X + Y的分布律, 并问Z服从什么分布. 4.5 设随机变量X~B(3, 7 1)，求X的分布函数F(x)。 24.6 在区间[0,2]上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标，设这个质点落在[0,2]中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，试求X的分布函数。 4.7 确定下列函数中常数A，使之成为密度函数。 （1）f(x)=Ae 4.8 设随机变量X的密度函数为 0x1x,f(x)=2−x,1x2，求（1）X 0,其它−x； （2） Ax,x0f(x)=(1+x)4。 0,x0的分布函数F(x)；（2）概率 P{X0.5}，P{X1.3}，P{0.2X1.2}。 4.9 设连续型随机变量X 0,x02的分布函数为F(x)=Ax,0x1。试求（1）系数 1,x1A；（2）X落在区 间（0.3，0.7）内的概率；（3） X的密度函数。 8 “随机事件和概率”测验题 一、填空题 1．设A、B、C为三个事件，且P(AB)=0.9,P(ABC)=0.97,则P(AB−C)=______。 2．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为_ ______。 3．设随机事件A、B及其和事件AB的概率分别是0.4, 0.3, 0.6。若B表示B的对立事件，则概率P(AB)= _ _____。 4．某市有50住户订日报，有65住户订晚报，有85住户至少订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的住户的百分比是____ ____。 5. 三台机器相互独立运转，设第一、第二、第三台机器不发生故障的概率依次为0.9、0.8、0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率为___ ___。 6．设A,B,C两两独立的事件，且ABC=。若P(A)=P(B)=P(C)1/2，且P(ABC)=9/16，则P(A)= 。 7．在区间（0，1）中随机地取两个数，则两数之和小于6/5的概率= 。 1118．三人独立破译一密码，他们能单独译出的概率分别为,,，则此密码被译出的概率__。 534二、选择题 1．设A、B、C是三个事件，与事件A互斥的事件是( )。 （A）ABAC （B）A(BC) （C）ABC （D）ABC 2．设A、B是任意二个事件，则( )。 （A）P(AB)P(AB)P(A)P(B) （B）P(AB)P(AB)P(A)P(B) （C）P(A－B)P(B－A)P(A)P(B)－P(AB) （D）P(A−B)P(B−A) 3．事件A与B相互独立的充要条件为( )。 （A）AB = （B）P(AB) = P(A)P(B) （C）AB = （D）P(AB) = P(A) + P(B) 4．设A、B为二个事件，且P(AB) = 0，则( )。 （A）A、B互斥 （B）AB是不可能事件 （C）AB未必是不可能事件 （D）P(A) = 0或P(B) = 0 5．设A、B为任意二个事件，且AB，P(B) > 0，则下列选项必然成立的是( )。 （A）P(A) < P(A|B) （B）P(A) P(A|B) （C）P(A) > P(A|B) （C）P(A) P(A|B) 三、计算题 1．某厂生产的产品次品率为0.05，每100个产品为一批，抽查产品质量时，在每批中任取一半来检查，如果发现次品不多于1个，则这批产品可以认为合格的，求一批产品被认为是合格的概率。 9 142．书架上按任意次序摆着15本教科书，其中有5本是数学书，从中随机地抽取3本，至少有一本是数学书的概率。 3．某种产品的商标为“MAXAM”，其中有2个字母脱落，有人捡起随意放回，求放回后仍为“MAXAM”的概率。 4．设甲、乙两袋，甲袋中有n个白球，m个红球，乙袋中有N个白球，M个红球，今从甲袋中任取一只放入乙袋，再从乙袋中任取一球，问取到白球的概率。 10 “离散型随机变量及其分布”测验题 一、填空题 51．设随机变量X～B(2, p)，Y～B(3, p)，若P{X 1} =，则P{Y 1} = _________。 913522．已知随机变量X只能取－1, 0, 1, 2四个数值，其相应的概率依次为,,,，则c =_ 。 2c4c8c16c3．设在15只同类型的零件中有2只是次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品数，则X的分布律为 ____ 。 4．已知P{X=k}=二、选择题 1．P{X=k}=cab,P{Y=−k}=2(k=1,2,3)，X与Y独立，则a = __ _，b = ____。 kkke−k!(k=0,2,4,)是随机变量X的概率分布，则、c一定满足（ ）。 （A） > 0 （B）c > 0 （C）c > 0 （D）c > 0且 > 0 2．设每次试验成功的概率为p(0p1), 则在三次独立重复试验中至少成功一次的概率为（ ）。 （A）p3 （B）1−p3 （C）(1−p)3 （D）1−(1−p)3 三、计算题 1．设一批产品中有10件正品，3件次品，现一件一件地随机取出，分别求出在下列各情形中直到取得正品为止所需次数X的分布律。 （1）每次取出的产品不放回；（2）每次取出的产品经检验后放回，再抽取；（3） 每次取出一件产品后总以一件正品放回，再抽取。 11 2．设X、Y的联合分布律为 Y X −1 1/2 3 −2 −1 0 1 122 122 121 121 120 3 120 2 12求（1）Z = X + Y的分布律； （2）W = X − Y的分布律； （3）U = X 2 +Y−2的分布律。 3．已知X 服从参数p = 0.6的（0－1）分布，在X = 0、X = 1下，关于Y的条件分布分别如表1、表2所示。 表1 表2 1 2 3 Y 1 2 11111 P{Y|X = 1} P{Y|X = 0} 42426求（X, Y）的联合概率分布，以及在Y 1时，关于X的条件分布。 Y 3 1 3 12 习题五 一维连续型随机变量及其分布 5.1 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分计）服从指数分布，其概率密度为 1−xe5,x0，某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开。他一个月要到fX(x)=50,x0银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y的分布律，并求P{Y }。 4x3,0x15.2 设随机变量X的密度函数为f(x)=。求常数a，使P{Xa}=P{Xa}其它0,成立。 5.3 在ABC内取一点P，P到AB的距离为X，求X的分布函数。 13 115.4 假设随机变量X的绝对值不大于1，P{X=−1}=,P{X=1}=，在事件{−1X1}84出现的条件下，X在(−1, 1)内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正比。试求： （1）X的分布函数F(x)=P{Xx}； （2）X取负值的概率P。 5.5 某公共汽车站从上午7时起每15分钟发一班车，即在7:00,7:15,7:30,有汽车发出。如果乘客到达此汽车站的时间X服从7:00~7:30上的均匀分布，试求乘客在车站等待： （1）不到5分钟的概率；（2）超过10分钟的概率。 5.6 设X~N(108,9)。 （1）求P{101.1X117.6}；（2）求常数a，使P{Xa}=0.90； （3）求常数a，使P{X−aa}=0.01。 14 5.7 从南郊某地到北区火车站有两条路可走，第一条路线穿过市区，路程短，但交通拥挤，所需时间（以分计）服从正态分布N(50,100)；第二条路线沿环城公路走，路线较长，但阻塞少，所需时间服从正态分布N(60,16)。 （1）假如有70分钟可用，问应走哪一条路线？ （2）若只有65分钟可用，又应走哪一条路线？ 5.8 电源电压在不超过200伏、200~240伏和超过240伏这三种情况下，元件损坏的概率分别为0.1，0.001，0.2。设电源电压服从正态分布N(220,252)，求 （1）元件损坏概率； （2）元件损坏时，电压在200~240伏间的概率。 15 习题六 二维连续型r.v.的联合与边缘分布及独立性 1及直线y = 0，x = 1，x =e2所围成，二维随机向量(X,Y)在x区域D上服从均匀分布，则(X,Y)关于X的边缘密度在x = 2处的值为 。 6.1 设平面区域D由曲线y = xy6.2 设(X,Y)的分布函数为F(x, y)=AB+arctanC+arctan，−< x <+，−< y <+。 22（1）求系数A、B、C；（2）求的密度函数；（3）求关于X和Y的边缘分布函数和边（X,Y）缘密度函数。 6.3 设(X,Y)的密度函数为概率。 6.4 设(X,Y)具有下列密度函数，分别求边缘密度函数。 （1） 16 1,0x1,0y2f(x,y)=2，求X0,其它与Y中至少有一个小于的 12e−y,0xy4.8y(2−x),0x1,0yxf(x,y)=；（2）f(x,y)=。 0,其它0,其它6.5 设(X,Y)的密度函数为f(x,y)=k(6−x−y),0x2,2y4。（1）求常数 其它0,k； （2） 求P{X1,Y3}； （3）求P{X1.5}； （4）求P{X+Y4}。 6.6 设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在(0,0.2)上服从均匀分布，Y的密度函数为 5e−5y,fY(y)=0,y0,y0,。（1）求 X和Y的联合密度函数；（2）求P{YX}。 6.7 已知随机变量X和Y的联合概率密度函数为 21x+xy,0x1,0y2f(x,y)=，证明：3其它0,X和Y的不相互独立。 6.8 某电子仪器由两个部件构成，其寿命（单位：千小时）X与Y的联合分布函数为 1−e−0.5x−e−0.5y+e−0.5(x+y), x0,y0 F(x,y)= 0, 其它 问：（1）X与Y是否独立？（2）两部件的寿命都超过100小时的概率。 17 习题七 连续型r.v.函数的分布、r.v.的数学期望(I) 7.1 随机变量X服从(1,2)上的均匀分布，求Y=e2X的概率密度函数。 7.2 设X、Y是相互独立的随机变量，密度函数分别为求Z=X+Y的密度函数。 7.3 设(X,Y)的密度函数为f(x,y)=2,0x1,xy1。求Z0,其它e−y,1,0x1， fY(y)=fX(x)=0,其它0,y0。y0=X+Y的密度函数。 7.4 填空题 （1）设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次命中目标的概率为0.4，则E(X ) = ，D(X ) = 。 （2）已知随机变量X 0,x0x的分布函数为F(x)=,0x4，则 41,x4E(X )= ，E(3X 2 −2X )= 。 （3）设随机变量X的分布律为 X P −2 0.4 0 0.3 2 0.3 则E(X )= ，E(X 2 )= ，E(3X 2 +5)= 。 （4）某新产品在未来市场上的占有率X是仅在区间（0, 1）上取值的随机变量，它的密度函 18 4(1−x)3,0x1数为f(x)=，则平均市场占有率为_______ 。 其它0,7.5 有同类型备件10个，其中7个正品，3个次品。修理机器时，从中无放回一件接一件地取，直到取得正品为止。以X表示停止抽取时已取的备件的个数，求E(X )，E(X 2 )，E {[X −E(X )] 2 } 。 7.6 随机变量X的密度函数为 a+bx2,0x1 f(x)=其它0,3且已知E(X )=，求a，b。 5 7.7 设（X，Y）的分布律为 Y 0 1 −1 X 1 0.2 0.1 0.1 2 0.1 0 0.1 3 0 0.3 0.1 求（1）E(X )，E(Y )；（2）E[(X−Y )2]；（3）E(XY )。 7.8 假设某路公共汽车起点站于每时的10分、30分、50分发车，乘客不知发车的时间，在每小时内任一时刻到达车站是随机的。求乘客到车站等车时间的数学期望。 19 “连续型随机变量及其分布”测验题 一、填空题 1．随机地向半圆0y2x−x2内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点和该点的连线与x轴的夹角小于/4的概率为______。 2．设k在(0, 5)上服从均匀分布，则4x2+4kx+k+2=0有实根的概率为_____。 3．已知（X, Y）联合密度为 csin(x+y),0x,0yf(x,y)=44其它0,，则c = ______，Y的边缘 概率密度fY(y）= ___________。 4．随机变量X分布密度为 21−x2,|x|1f(x)=，则 其它0,X的分布函数F(x)=______________。 二、选择题 1．如下四个函数哪个可以作为随机变量X的分布函数( )。 x−20,x00,1（A）F(x)=,−2x0 （B）F(x)=sinx,0x 21,xx02,x00,（C）F(x)=sinx,0x/2 1,x/20,x011（D）F(x)=x+,0x3211,x2 2．X～N(1, 1)，概率密度为f (x)，则( )。 （A）P{X0}=P{X0}=0.5 （B）f(x)=f(−x),x(−,+) （C） P{X1}=P{X1}=0.5 （D）F(x)=1−F(−x),x(−,+) 3．X, Y相互独立，且都服从区间[0, 1]上的均匀分布，则服从区间或区域上的均匀分布的随机 变量是( )。 （A）（X, Y） （B）X +Y （C）X2 （D）X－Y x00,x4．设函数F(x)=,0x1，则( )。 2x11,（A）F(x)是随机变量X的分布函数 （B）不是分布函数 （C）离散型分布函数 （D）连续型分布函数 5．设X, Y是相互独立的两个随机变量，它们的分布函数为FX(x),FY(y)，则Z = max(X, Y)的分布函数是( )。 （A）FZ(z)= max{FX(z),FY(z)} （B）FZ(z) = max{|FX(z)|,|FY(z)|} （C）FZ(z)= FX(z)FY(z) （D）都不是 20 6．设X, Y是相互独立的两个随机变量，其分布函数分别为FX(x),FY(y)，则Z = min(X, Y)的分布函数是( )。 （A）FZ(z)= FX(z) （B）FZ(z)= FY(z) （C）FZ(z)= min{FX(z),FY(z)} （D）FZ(z)= 1－[1－FX(z)][1－FY(z)] 7．设X的密度函数为f(x)，而f(x)=（A） 1(1+4y2)1, 则Y = 2X的概率密度是( )。 2(1+x)1(1+y2) （B） 2(4+y2) （C） （D）arctany 18．设随机变量（X, Y）的联合分布函数为是( )。 e−(x+y),x0,y0X+Yf(x,y)=，则Z=2其它0,的分布密度 −x+y1−(x+y)2,e,x0,y0x0,y0 （A）fZ(z)= （B）fZ(z)=2e其它其它0,0,（C） 4ze−2z,z0fZ(z)= 0,z01−ze,z0 （D）fZ(z)= 2z00,9．设两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N(0, 1)和N(1, 1)，则下列结论正确 的是( )。 （A）P{X + Y 0} = 1/2（B）P{X + Y 1} = 1/2（C）P{X－Y 0} = 1/2（D）P{X－Y 1} = 1/2 三、计算题 c,|x|1111．随机变量X的密度为f(x)=，求（1）常数c；（2）X落在(−,)内的概率。 1−x2220,其它 2．设测量从某地到某一目标的距离时带有的随机误差X具有分布密度函数 (x−20)21f(x)=exp−, － < x < + 3200402试求：（1）测量误差的绝对值不超过30的概率； （2）接连独立测量三次，至少有一次误差的绝对值不超过30的概率。 21 100,100x3．设电子元件的寿命X具有密度为f(x)=。问在150小时内，（1）三只元件中x2其它0,没有一只损坏的概率是多少? （2）三只电子元件全损坏的概率是多少? （3）只有一个电子 元件损坏的概率是多少? 4．对圆片直径进行测量，其值在[5, 6]上服从均匀分布，求圆片面积的概率密度函数。 5．设(X, Y)的密度为f(x,y)=（3）f(y|x=)。 1224y(1−x−y),x0,y0,x+y1。求：（1）fX(x)；（2）f(y|x)； 0,其它 22 习题八 r.v.的数学期望(II)、方差、协方差 与相关系数 8.1 设随机变量X服从参数为2的泊松分布，且Z=3X−2，则E(Z )= 。 8.2 某公司经销某种原料，根据历史资料表明：这种原料的市场需求量X（单位：吨）服从（300，500）上的均匀分布。每售出1吨该原料，公司可获利1.5（千元）；若积压1吨，公司损失0.5（千元）。问公司应该组织多少货源，可以使平均收益最大？ 8.3 将n只球（1~ n号）随机地放进n只盒子（1~ n号）中去，一只盒子装一只球。若一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对。记X为总的配对数，求E(X )。 8.4 设随机变量X的概率密度函数为 f(x)=1−e2x−,(−x+) 求E(X )，D(X )。 8.5 在长为d的线段上任选两点，求两点间距离的数学期望与方差。 23 8.6 已知E(X ) =0，P{X2}=1，且D(X )存在，证明D(X ) 2。 2 8.7 填空题 （1）设X ~ N(1, 22)，Y = 2 X+1，则XY = 。 （2）已知D(X )=0.54，D(Y )=0.25，cov(X, Y ) = −0.03，则D(X+Y )= 。 （3）随机变量X与Y相互独立的充分必要条件为 ； 随机变量X与Y不相关的充分必要条件为 ； 事件A与B互不相容的充分必要条件为 ； 事件A与B互为对立事件的充分必要条件为 ； 事件A与B相互独立的充分必要条件为 。 1(x+y),0x2,0y28.8 设（X，Y）的密度函数为f(x,y)=8。求E(X )，E(Y )， 其它0,E(XY )，cov(X, Y )，XY ，D(X+Y )。 8.9 已知三个随机变量X、Y、Z中，E(X)=E(Y)=1，E(Z)=−1，D(X)=D(Y)=D(Z)=1， 11XY=0，XZ=，YZ=−。求E(X+Y+Z)，D(X+Y+Z)。 22 8.10 假设二维随机变量（X，Y）在矩形G = {(x, y ) 0 x 2, 0 y 1 }上服从均匀分布， 0,XY0,X2Y记U=，V=。 1,XY1,X2Y（1）求U和V的联合分布；（2）求U和V的相关系数。 24 “随机变量的数字特征”测验题 一、填空题 1．设随机变量X与Y相互独立，D(X) = 2，D(Y) = 4，D(2X－Y) = _______。 2．已知随机变量X～N(－3, 1)，Y～N(2, 1 )，且X与Y相互独立，Z = X－2Y + 7，则Z～____。 3．设离散型随机变量X的取值是在两次独立试验中事件A发生的次数，如果在这些试验中事件发生的概率相同，并且已知E(X) = 0.9，则D(X) = ______。 1,4．设随机变量X在区间[－1, 2]上服从均匀分布，随机变量Y=0,−1,X0 X=0，则D(Y) = ___。 X03105．若随机变量X1, X2, X3相互独立，且服从相同的两点分布0.80.2，则X=Xi服从 i=1_______分布，E(X) = _______，D(X) = ________。 6．设X和Y是两个相互独立的随机变量，且X～N(0, 1)，Y在[－1, 1]上服从均匀分布，则 cov(X,Y)= _______。 7．设X和Y是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为： e−(y−5),y52x,0x1f(x)=，f(y)= 其它0,其它0,则E(XY) = ____ ____。 8．若随机变量X1, X2, X3相互独立，其中X1在[0, 6]服从均匀分布，X2服从正态分布N(0, 22)，X3服从参数 = 3的泊松分布，记Y = X1－2X2 + 3X3，则D(Y) = ______ 。 二、选择题 1．设随机变量X和Y独立同分布，记U = X－Y，V = X + Y，则U和V必然 ( )。 （A）不独立 （B）独立 （C）相关系数不为零 （D）相关系数为零 2．设离散型随机变量X可能取值为：x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3，且E(X) = 2.3，E(X 2) = 5.9，则x1, x2, x3所对应的概率为( )。 （A）p1 = 0.1, p2 = 0.2, p3 = 0.7 （B）p1 = 0.2, p2 = 0.3, p3 = 0.5 （C）p1 = 0.3, p2 = 0.5, p3 = 0.2 （D）p1 = 0.2, p2 = 0.5, p3 = 0.3 3．已知X和Y的联合分布如下表所示，则有( )。 Y 0 1 2 X 0 0.1 0.05 0.25 1 0 0.1 0.2 2 0.2 0.1 0 （A）X与Y不独立 （B）X与Y独立 （C）X与Y不相关 （D）X与Y彼此独立且相关 4．现有10张奖券，其中8张为2元，2张为5元，今每人从中随机地无放回地抽取3张，则此人抽得奖券的金额的数学期望( )。 （A）6 （B）12 （C）7.8 （D）9 5．设随机变量X和Y服从正态分布，X～N( , 42)，Y～N( , 52)，记P1 =P{X －4}，P2 = P{Y + 5}，则( )。 25 （A）对任何，都有P1 = P2 （B）对任何实数，都有P1 < P2 （C）只有 的个别值，才有P1 = P2 （D）对任何实数，都有P1 > P2 6．随机变量 = X + Y与 = X－Y不相关的充分必要条件为( )。 （A）E(X) = E(Y) （B）E(X 2)－E2(X) = E(Y 2)－E2(Y) （C）E(X 2) = E(Y 2) （D）E(X 2) + E2(X) = E(Y 2) + E2(Y) 三、计算题 ak1．设X的分布律为P{X=k}=，k = 0, 1, 2, , a > 0，试求E(X)，D(X)。 k+1(1+a) 22cosx,|x|2．设随机变量X具有概率密度为f(x)=2，求E(X)，D(X)。 其它0, 3．设随机变量X和Y的联合概率分布为 （X, Y） P{X= x, Y= y} (X+Y)求Esin。 2(0, 0) 0.10 (0, 1) 0.15 (1, 0) 0.25 (1, 1) 0.20 (2, 0) 0.15 (2, 1) 0.15 4．一汽车沿一街道行驶需要通过三个设有红绿信号灯路口，每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号显示的时间相等，以X表示该汽车首次遇到红灯前已 1通过的路口的个数。求（1）X的概率分布；（2） E。 1+X 26 5. 设（X, Y）的分布密度 4xye−(xf(x,y)=0,求E(X2+Y2)。 2+y2),x0,y0其它 1,7．设（X, Y）的联合密度为f(x,y)=0,x2+y21其它，求E(X)，D(Y)，xy。 8．假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作。若一周5个工作日里无故障，可获利润10万元，发生一次故障仍可获利润5万元；发生二次故障所获利润0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元。求一周内期望利润是多少? 27 习题九 大数定律及中心极限定理 9.1 填空题 （1）设Yn是n次伯努利试验中事件A出现的次数，p为A在每次试验中出现的概率，则对 Y任意 > 0，有limP|n−p|=__________。 n→n （2）设随机变量X和Y的数学期望是2，方差分别为1和4，而相关系数为0.5，则根据切比雪夫不等式P{|X－Y| 6} _______。 9.2 一部件包括10部分，每部分的长度是一个随机变量，他们相互独立，且服从同一分布，其数学期望为2mm，均方差为0.05mm。规定总长度为(100.1)mm时产品合格，试求产品合格的概率。 9.3 计算器在进行加法时，将每个加数舍入最靠近他的整数。设所有舍入误差是独立的且在（−0.5，0.5）上服从均匀分布。（1）若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？（2）最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.9？ 9.4 设某车间有200台车床相互独立地工作着，若因换料、检修等原因，每台车床的开工率各为0.6，开工时耗电各为1千瓦，问供电所至少要供给这个车间多少瓦电，才能以99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产？ 28 9.5 现有一批种子，其中良种占子中良种所占的比例与 1，今任取6000粒，问能以0.99的概率保证在这6000粒种61的差不超过多少？相应的良种粒数在哪个范围内？ 69.6 某单位有200台电话分机，每台分机有5%的时间要使用外线通话。假定每台分机是否使用外线是相互独立的，问该单位总机要安装多少条外线，才能以90%以上的概率保证分机用外线时不等待？ 9.7 在掷硬币实验中，至少掷多少次，才能使正面出现的频率落在（0.4，0.6）内的概率不小于0.9？ 9.8 某厂有400台同型机器，各台机器发生故障的概率均为0,02，假如各台机器相互独立工作，试求机器出现故障的台数不少于2台的概率。 29 习题十 样本及抽样分布 10.1 从总体中抽得一个容量为8的样本，其观测值如下：99, 98, 100, 101, 98, 99, 102, 100。试求样本均值X，样本二阶中心矩B2及样本方差S的观测值。 10.2 设X1,,X5是X ~ N(12, 4)的一个样本，求（1）P{|X−E(X)|1}；（2）P{min(X1,,X5)10}。 10.3 设总体X ~ N(0, 0.3)。（1）若X1,,X10为其一个样本，试求P{Xi21.44}； i=12210 （2）若X1,,X10与Y1,,Y15为其两个相互独立的样本，试求P{|X−Y|0.1}。 10.4 设X1,X2,X3,X4是来自正态总体N(0,22)的简单随机样本，Z=a(X1−2X2)2+b(3X3−4X4)2，求常数a、b，使Z服从2分布，并求其自由度。 10.5 填空题 （1）设X1,,Xn是来自N(,)的一个样本，则 212(Xi−)~ ，2i=1n12(Xi−X)2~ 。 i=1n（2）设X1,,X9；Y1,,Y9分别是来自正态分布N(0,52)的两个相互独立的样本，则统计量 X1++X9Y1++Y9 22~ ，参数为 ；X1++X9Y1++Y92222~ 30 ，参数为 。 10.6 设在N(,)中抽取容量为16的样本,S为其样本方差。（1）求P{22S222.04}；（2）求 D(S2)。 10.7 已知X~t(n)，求证X2~F(1,n)。 10.8 设X1,,Xn是来自正态总体N(,2)的一个样本，、2已知。 （1）求统计量Z=aiXi的分布，其中a1,,an为常数； i=1n （2）求统计量T= X−B2(n−1)的分布，其中B2=(Xi−X)2。 1nni=110.9 若X1,,Xn,Xn+1是来自N(0,2)的样本，其中X=Xi，S2= 3n（1）求统计量(−1)Xi23i=12Xi的分布，其中n4； n1nni=11n(Xi−X)2。 n−1i=1i=4 （2）求统计量 Xn+1−XSn的分布。 n+110.10 设总体X~N(0,1)，X1,X2是来自X的容量为2的样本。 （1）证明：X1+X2与X1−X2相互独立；（2）试求常数C，使P{(X1+X22)C}=0.1。 X1−X2 31 习题十一 参数估计 11.1（1）设X1,,Xn是N(,2)的样本,,2均未知,则的矩估计量为 ,2的矩估计量为 ； （2）设X1,,Xn是几何分布总体X的一个样本，即X ~ P{ X = x}= (1−p)x−1p，x =1, 2, ，0 < p < 1，p未知，则p的矩估计量为 。 kkp(1−p)m−k,k=0,1,2,,m，其11.2 设总体X服从二项分布B(m,p)，其分布律为P{X=k}=Cm中p为未知参数，0 11.3 设X的概率密度为的矩估计量。 11.4 （1）设X1,,Xn是N(,2)的样本，,2均未知，则的极大似然估计量为 ，2的极大似然估计量为 ； （2）设X1,,Xn是几何分布总体X的一个样本，即X ~ P{ X = x}= (1−p)x−1p，x =1, 2, , 0 X的 样本. (1)求的矩估计量; (2)求的极大似然估计量; (3)求p=P{X=0}的极大似然估计量. 32 11.6 设X的分布律为，其中(0)未知，X1,,Xn为X的样本. (1) 12求的矩估计量; (2)利用样本值3,1,3,0,3,1,2,3求的矩估计值和极大似然估计值. 11.7 总体X的概率密度为 1−x−,x,f(x)=e其中 0，、 0,x,均未知，X1,,Xn为X的简 ˆ、ˆ、ˆM和极大似然估计量ˆL。 单随机样本。分别求、 的矩估计量ML 11−,x1,11.8 设总体X的分布函数为F(x)=x未知参数x1,0,X1,,Xn为X的简单随机样1， 本。分别求的矩估计量和极大似然估计量。 11.9 设总体X的对数函数lnX服从正态分布N(,2)，X1,,Xn是来自该总体的一个简单随机样本，求,2及E(X )的极大似然估计量。 33 习题十二 估计量的评选标准 12.1 设X1,,Xn是总体X的一个简单随机样本，ci0(i=1,2,,n)，且ci=1，试证明 i=1nciXi是E(X)的无偏估计量。 i=1n 12.2 设X1,,Xn是来自正态总体N(,2)的一个简单随机样本，试确定常数C使 C(Xi+1−Xi)2为2的无偏估计量。 i=1n−1 1nˆ=|Xi−X|为12.3 设简单随机样本X1,,Xn来自正态总体N(,)，试求常数k使ki=12的无偏估计量。 34 12.4 从总体X中抽取样本X1,X2,X3，构造三个统计量如下： 111111111ˆ2=X1+X2+X3；ˆ3=X1+X2+X3 X1+X2+X3；236244333ˆ1、ˆ2、ˆ3都是总体均值E(X)=的无偏估计量；ˆ1、ˆ2、ˆ3哪个更（1）证明（2）判断ˆ1=有效？ 12.5 设X1,,Xn是来自正态总体N(,2)的一个简单随机样本，其中已知，试证明 1nS=(Xi−)2是2的无偏估计。 ni=12 12.6 设有两总体X~N(1,2),Y~N(2,2)，分别从两总体中抽取容量为n1，n2的两个 2222独立的样本，样本方差分别为S1。试证：对任意常数a、b，如果a+b=1，则Z=aS1和S2+bS2都是2的无偏估计量，并确定使D(Z)达到最小的a、b。 12.7* 设总体X服从正态分布N(,2)，X1,,X2n是其容量为2n的简单随机样本(n 2)， n12n2其样本均值X=Xi，已知=C(Xi+Xn+i−2X)2，试确定常数C使其成为2的2ni=1i=1无偏估计量。 35 习题十三 参数区间估计 13.1 设X1,,Xn是总体X的一个样本，X的概率函数为f (x ; )， 为未知参数，已知存在统计量1=1(X1,,Xn),2=2(X1,,Xn)和正数:01，使得P{12}=1−，则称区间(1,2)是 的 ；1−是 ；给定1−，(1,2)的长度L=2−1是 越好。 13.2 设某种清漆的9个样品，其干燥时间（小时）分别为 6.0，5.7，5.8，6.5，7.0，6.3，5.6，6.1，5.0 设干燥时间总体服从正态分布N(,2)，在下列条件下分别求出的置信度为95%的置信区间：（1）=0.6（小时）； （2）若未知。 13.3 已知一批产品的长度指标X~N(,0.52)，要使样本均值X与总体均值的误差在置信度为0.95的情况下小于0.1，问至少应抽取多大容量的样本？ 13.4 随机地选取某种炮弹9发做试验，测得炮口速度的样本标准差s=11(m/s), 设炮口速度服从正态分布，分别求炮口速度的方差2和标准差的置信度为95%的置信区间。 36 13.5 就13.2题中的两种情况分别求出的置信度为95%的单侧置信上限和单侧置信下限。 13.6 现有两批导线，随机地从A批导线中选取4根，从B批导线中选取5根，测得电阻值（欧）分别为 A批：0.143，0.142，0.143，0.137； B批：0.140，0.142，0.136，0.138，0.140 设两组导线的电阻分别服从正态分布N(1,2),N(2,2)，方差相等，两样本相互独立，1,2,2均为未知，试求1−2的置信度为95%的置信区间。 13.7 两化验员A、B各自独立地用相同的方法对某种聚合物的含氯量各做10次测量，分别 22=0.5419,SB=0.6965。设测定值总体分别服从正态分布求得测定值的样本方差为SA2222N(A,A),N(B,B)，试求方差比AB的置信度为95%的置信区间。 13.8 假设0.50, 1.25, 0.80, 2.00是来自总体X的简单随机样本，已知Y=lnX服从正态分布 （1）试求X的数学期望E(X)（记E(X)=b）；（2）试求的置信水平为0.95的置N(,1)。 信区间；（3）利用上述结果求b的置信水平0.95的置信区间。 37 习题十四 单正态总体参数的假设检验 14.1 （1）假设检验的理论依据是 。 （2）对正态总体的数学期望进行假设检验，如果在显著性水平0.05下接受假设H0:=0，那么在显著性水平0.01下，下列结论中正确的是（ ）。 (A)必接受H0 (B)可能接受，也可能拒绝H0 (C)必拒绝H0 (D)不接受，也不拒绝H0 （3）在假设检验中，记H1为备择假设，则称（ ）为犯第I类错误。 （A）H1为真接受H1 （B）H1不真接受H1（C）H1为真拒绝H1 （D）H1不真拒绝H1 14.2 设某产品的某项指标服从正态分布, 已知它的标准差=150. 现从一批产品中随机抽取26个, 测得该项指标的平均值为1637. 问能否认为这批产品的该项指标值为1600(=0.05)？ 14.3 某测距仪在500米范围内，测距精度=10米。今对距离500米的目标测量9次，得到平均距离x=510米。设测量的距离服从正态分布，问该测距仪是否存在系统误差(=0.05)？ 14.4 某药厂生产一种抗菌素，已知在正常生产情况下，每瓶抗菌素的某项指标服从均值为23.0的正态分布。某日开工后随机抽取5瓶，测得数据如下：22.3, 21.5, 22.0, 21.8, 21.4。问该日生产是否正常（=0.05）？ 38 14.5 某厂生产的某种型号的电池，其寿命（以小时计）长期以来服从方差2=5000的正态分布。现有一批该型号电池，从它的生产情况看，寿命的波动性有所改变。现随机抽取26只电池，测得其寿命的样本方差S2=9200，问根据这一数据能否推断这批电池寿命的波动性较以往有显著的变化（取=0.05）？ 14.6 已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布N(1.405,0.0482)，某日抽取5根纤维，测得其纤度为1.32, 1.55, 1.36, 1.40, 1.44。问这一天纤度的总体标准差是否正常（=0.05）？ 14.7 某厂生产的固体燃料推进器的燃烧率服从正态分布N(, 2)，=40cm/s，=2cm/s。现用新方法生产了一批推进器，从中随机抽取25只，测得燃烧率的样本均值为x= 41.25 cm/s 。设在新方法下总体标准差仍为2 cm/s ，问这批推进器是否较以往生产的推进器的燃烧率有显著提高？（=0.05） 14.8* 某车间有一台包装机包装葡萄糖。包得的袋装糖重是一个随机变量，它服从正态分布。当机器工作正常时，其均值为0.5公斤，标准差为0.015公斤。某日开工后为检查包装机是否正常，随机抽取它所包装的糖9袋，称得净重为（公斤）：0.497, 0.506, 0.518, 0.524, 0.498, 0.511, 0.520, 0.515, 0.512。问这天该机器工作是否正常（=0.05）？ 39 2习题十五 双正态总体参数的假设检验与-检验 15.1 对两种羊毛织品的强度进行试验所得结果如下（磅 / 平方英寸）： 第一种：138, 127, 134, 125；第二种：134, 137, 135, 140, 130, 134； 设两种羊毛织品的强度服从方差相同的正态分布。问是否可得结论：一种羊毛较另一种羊毛好（=0.05）？ 15.2 有两箱灯泡，从第一箱中取9只测试，算得其平均寿命为1532小时，标准差为423小时；从第二箱中取18只测试，算得其平均寿命为1412小时，标准差为380小时。设两箱灯泡寿命都服从正态分布，且方差相等。试判断是否可以认为这两箱灯泡是同一批生产的？（=0.05） 15.3 两台机床加工同一种零件，分别取其6个和9个，量其长度计算得 2s12=0.345,s2=0.357。假定零件长度服从正态分布，问是否可以认为这两台机床加工的零件长度的方差无显著差异（=0.05）？ 15.4 有甲、乙两台机床加工同一种产品，从这两台机床加工的产品中抽取若干产品，测得直径（单位：mm）为： 机床甲：20.5,19.8,19.7,20.4,20.1,20.0,19.0,19.9；机床乙：19.7, 20.8,20.5,19.8,19.4,20.6,19.2 假定产品直径均服从正态分布，试比较甲、乙两机床加工的精度有无显著差异（=0.05）？ 40 15.5 设总体X~N(1,2),X1,,Xn1为来自总体X的一个样本，总体Y~N(2,2),Y1,,Yn2为来自总体Y的一个样本，两样本相互独立，参数均未知。试构造出原假设H0:1=C2的一个水平为的检验，这里C为不为零的已知常数。 15.6 从甲、乙两校的高考英语试卷中各抽27份和26份，其英语平均成绩分别为甲校67分，乙校71分，样本标准差分别为甲校8分，乙校6分。假定学生的英语成绩均服从正态分布，试问两校英语成绩有无显著差异（=0.05）？ 15.7* 对某汽车零件制造厂所生产的汽缸螺栓口径进行100次抽样检查，得100个数据，分组列表如下： 组 限 频 数 组 限 频 数 10.93~10.95 10.95~10.97 10.97~10.99 10.99~11.01 5 8 20 34 11.01~11.03 11.03~11.05 11.05~11.07 11.07~11.09 17 6 6 4 试检验螺栓口径是否服从正态分布（=0.05）。 41 “数理统计”测验题 一、1．设总体X~N(0,)，X1,X2,X3,X4为来自X的样本，则统计量 2(X1+X2)2(X3−X4)2的分布为_ _。 2．若总体X的一个样本值为0,0,1,1,0,1, 则总体均值的矩估计值为_ _，总体方差的矩估计值为_ __。 3．对正态总体若方差未知，H0:=20，应选取统计量______ _，在______ _条件下，统计 量服从自由度为______ _的______ _分布。 二、选择题 1．设总体X~N(0,1)，X1,X2,,Xn(n1)为来自该总体的一个简单随机样本，X、S分别是样本均值和样本方差，则有（ ）。 （A）X~N(0,1) （B）nX~N(0,1) （C）Xi2~2(n) （D）XS~t(n−1) i=1n22．为总体X的未知参数，的估计量为ˆ，则有（ ）。 （A）ˆ是一个数，近似等于 （B）ˆ是一个随机变量 （C）ˆ是一个统计量，且E(ˆ)= （D）当n越大，ˆ的值可任意靠近 3．对正态总体N(,2)（未知）的假设检验问题：H0:1，H1:1，若取显著性水平则其拒绝域为（ ）。 （A）|X−1|z0.05 （B）X1+t0.05(n−1)SnSn2=0.05， Sn （C）|X−1|t0.05(n−1) （D）X1−t0.05(n−1) 三、1．在测量反应时间中，一名心理学家估计的标准差为0.05s，为了以95%的置信水平使他对平均反应时间的估计误差不超过0.01s，应取多大的样本容量？ 2．设6x(−x),0x为总体X的未知参数，其密度函数为f(x;)=3。又设X1,X2,,Xn是来自总 0,其它体X的样本，试求：（1）的矩估计量ˆ；（2）ˆ的方差D(ˆ)。 42 3．从自动机床加工的同类零件中抽取16个，测得长度值为（单位：mm）：12.15, 12.12, 12.01, 12.28, 12.09, 12.16, 12.03, 12.06, 12.01, 12.13, 12.07, 12.11, 12.08, 12.03, 12.01, 12.13，若可认为这是来自正态总体的样本观测值。求总体标准差的置信水平位0.99的置信区间。 4．某纯净水生产厂用自动灌装纯净水，该自动灌装机正常灌装量X~N(18,0.4)，现测量某厂9个灌装样品的灌装量（单位：L）为：18.0, 17.6, 17.3, 18.2, 18.1, 18.5, 17.9, 18.1, 18.3。在显著性水平0.05下，试问该天灌装是否合格？ 5．某项考试要求成绩的标准差为12分，现从考试成绩单中任取15份，计算样本标准差为16分。设成绩服从正态分布，问此次考试的标准差是否不合要求（=0.05）？ 6．设总体X的数学期望为，方差为2，(X1,X2,,Xn)和(Y1,Y2,,Ym)分别是来自X的两个独立样本。 nm122[(Xi−X)+(Yi−Y)2]是的无偏估计。 证明S=m+n−2i=1i=122 43 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容