第二章检测
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍,那么它的顶角的余弦值为( ) A.18
5
B.4 3
C.2
√3D.8 (2𝑎)2+(2𝑎)2-𝑎2
cos θ=
2×2𝑎×2𝑎7
解析:由题意,设底边长为a,则腰长为2a,设顶角为θ,由余弦定理,得答案:D =.
782.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2+c2-b2=√3ac,则角B的正切值为( ) A.3 √3B.√3 C.-3 √3D.-√3 解析:由a2+c2-b2=√3ac,
得
𝑎2+𝑐2-𝑏
cos B=2𝑎𝑐1
2
=2𝑎𝑐=2, sin𝐵
√3√3𝑎𝑐√3∴sin B=2,∴tan B=cos𝐵=
答案:A 3,故选A.
3.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(√3b-c)·cos A=acos C,则cos A的值等于( ) A. 2√3B.
3√3C.
4√3D. 6√3解析:由正弦定理,
得√3sin Bcos A=sin Ccos A+cos Csin A,
∴√3sin Bcos A=sin(A+C)=sin B. ∵sin B≠0,∴√3cos A=1.∴cos A=3.
答案:B 4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=2,b=3,C=135°,则△ABC的面积等于( ) A.2 3√2√3B.3√2 1
1
C.3
√2D. 2 3√23√3解析:△ABC的面积等于2absin C=2×2×3×2=2.
最新中小学教案、试题、试卷
答案:A 5.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,b=2√2,且三角形有两解,则A的范围是( ) A.(0,6) C.(0,)
2ππ
B.(0,4) D.(,) 63𝑎
√2π
ππ
解析:由题设知a>bsin A,∴sin A<𝑏=2.
∵a B.锐角三角形 D.不确定 = 𝑏sin𝐵= 𝑐, sin𝐶∴sin Bcos C+sin Ccos B=sin Asin A, 即sin(B+C)=sin2A,即sin A=1.∴A=2.故选A. 答案:A 7.已知△ABC的面积为2,AC=√3,∠ABC=3,则△ABC的周长等于( ) A.3+√3 C.2+√3 B.3√3 D. 3√3 2√3π π 解析:由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos B,即a2+c2-ac=3. ∵△ABC的面积为2acsin3=∴a2+c2+2ac=9,∴a+c=3, 即a+c+b=3+√3,故选A. 答案:A 1π√32,即ac=2. 8.已知△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,设向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a).若p∥q,则C的大小为( ) A.6 π B.3 π C.2 π D.3 2π 最新中小学教案、试题、试卷 解析:∵p∥q,∴(a+c)(c-a)=b(b-a). ∴c2-a2=b2-ab,∴ab=b2+a2-c2. 2 由余弦定理,得 cos C= 𝑎2+𝑏-𝑐2 12𝑎𝑏=2, ∴C=π 3. 答案:B 9.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若acos A=bsin B,则sin Acos A+cos2B等于( ) A.-1 1 2 B.2 C.-1 D.1 解析:由正弦定理,得 𝑎sin𝐴= 𝑏 sin𝐵=2R, ∴a=2Rsin A,b=2Rsin B, ∴acos A=bsin B可化为sin Acos A=sin2 B. ∴sin Acos A+cos2B=sin2B+cos2B=1. 答案:D 10.在△ABC中,B=60°,AC=√3,则AB+2BC的最大值为 ( A.2 B.2√7 C.√7 D.7√2 解析:由正弦定理,得𝐴𝐵 √3𝐵𝐶 sin𝐶=sin60°=sin𝐴, ∴AB=2sin C,BC=2sin A.∵A+C=120°, ∴AB+2BC=2sin C+4sin(120°-C) =2(sin C+2sin 120°cos C-2cos 120°sin C) =2(sin C+√3cos C+sin C) =2(2sin C+√3cos C)=2√7sin(C+α), 其中tan α=√32,α是第一象限角. ∵0° ) 最新中小学教案、试题、试卷 A.2√3 C. 3√17 4 B.3 D. 2√21 3 1 4√6解析:如图,设AB=a,则由已知,得AD=3a. 在△ABD中,由余弦定理, 知 1 cos A=212 = 𝐴𝐵2+𝐴𝐷2-𝐵𝐷2 . 2𝐴𝐵·𝐴𝐷√3𝑎2 ① √3𝑎2 由S△ABC=BD·3= 4 ,得BD= 6 , 代入①式,得a=3. 答案:D 12.在△ABC中,A=60°,且最大边长和最小边长是方程x2-7x+11=0的两个根,则第三边的长为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 2√21解析:由A=60°,不妨设△ABC中最大边与最小边分别为b,c,故b+c=7,bc=11. 由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos 60° =(b+c)2-3bc=72-3×11=16. ∵a>0,∴a=4. 答案:C 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上) 13.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,若cos B=5,a=10,△ABC的面积为42,则b+sin𝐴的值等于 . 答案:16√2 14.已知△ABC的三边长成公比为√2的等比数列,则其最大角的余弦值为 . 4 𝑎 最新中小学教案、试题、试卷 解析:依题意,设△ABC三边长分别为a,√2a,2a(a>0),则最大边 √2𝑎2+(√2𝑎)2-(2𝑎)2 2a所对角的余弦值为=-2𝑎·√2𝑎4. √2答案:-4 15.在Rt△ABC中,C=90°,且A,B,C所对的边a,b,c满足a+b=cx,则实数x的取值范围 是 . 解析:x=𝑐= 𝑎+𝑏 sin𝐴+sin𝐵 sin𝐶π =sin A+cos A=√2sin(𝐴+4). ∵A∈(0,2),∴4 3π , 4∴2 16.已知a,b,c是△ABC的三边,S是△ABC的面积,若a=4,b=5,S=5√3,则c的值 是 . 解析:由题意得S=absin C, 所以5√3=×4×5sin C,即sin C=, 212√3π 12 所以cos C=±2. 因为c2=a2+b2-2abcos C, 所以c2=42+52-2×4×5×2或c2=42+52+2×4×5×2.所以c=√21或√61. 答案:√21或√61 1 1 1 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin Asin B+sin Bsin C+cos 2B=1. (1)求证:a,b,c成等差数列; (2)若C=,求的值. (1)证明:由题意得sin Asin B+sin Bsin C=2sin2B. 因为sin B≠0,所以sin A+sin C=2sin B. 由正弦定理,得a+c=2b,即a,b,c成等差数列. 2π3𝑎𝑏最新中小学教案、试题、试卷 (2)解:由C=,c=2b-a及余弦定理,得(2b-a)2=a2+b2+ab,即5ab-3b2=0,所以=. 18.(12分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(a+b+c)(a-b+c)=ac. (1)求B的大小; (2)若sin Asin C=4,求C的大小. 解:(1)因为(a+b+c)(a-b+c)=ac, 所以a2+c2-b2=-ac. 由余弦定理,得 𝑎2+𝑐2-𝑏 cos B=2𝑎𝑐2 2π3𝑎𝑏35√3-1 =-2, 1 所以B=120°. (2)由(1)知A+C=60°, 所以cos(A-C)=cos Acos C+sin Asin C =cos Acos C-sin Asin C+2sin Asin C =cos(A+C)+2sin Asin C =2+2×4=2. 故A-C=30°或A-C=-30°, 所以C=15°或C=45°. 19.(12分)△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知cos B=3,sin(A+B)=9,ac=2√3,求sin A和c的值. 解:在△ABC中,由cos B=,得sin B=. 3 3 √3√6√3√61√3-1√3因为A+B+C=π, 所以sin C=sin(A+B)=. 9√6因为sin C 𝑎由sin𝐴5√3√3√62√2= 𝑐 ,可得sin𝐶𝑐sin𝐴a=sin𝐶= 2√23𝑐=2√3c, √69最新中小学教案、试题、试卷 又ac=2√3,所以c=1. 20.(12分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btan A,且B为钝角. (1)证明:B-A=2; (2)求sin A+sin C的取值范围. (1)证明:由a=btan A及正弦定理,得 π2π2sin𝐴cos𝐴 π == π2π 𝑎𝑏sin𝐴 ,所以sin𝐵 π2sin B=cos A,即sin B=sin(+𝐴). π2 又B为钝角,因此+A∈(,π),故B=+A,即B-A=. (2)解:由(1)知,C=π-(A+B)=π-(2𝐴+)=-2A>0,所以A∈(0,),于是sin A+sin C=sin 224 π122 A+sin(2-2𝐴)=sin A+cos 2A=-2sinA+sin A+1=-2(sin𝐴-4) π π +8. 9 因为0 √2π√212 99 2,]. 821.(12分)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度(如图所示),A,B,C三地位于同一水平面上,在C处进行该仪器的垂直弹射,观测点A,B两地相距100 m,∠BAC=60°,在A地听到弹射声音的时间比B地晚 s.在A地测得该仪器至最高点H时的仰角为30°,求该仪器的垂直弹射高度CH(声音的传播速度为340 m/s). 217 解:由题意,设AC=x m,则BC=x-17×340=(x-40)m. 在△ABC中,由余弦定理,得BC2=BA2+CA2-2BA·CA·cos∠BAC, 即(x-40)2=x2+10 000-100x,解得x=420. 在△ACH中,AC=420 m,∠CAH=30°,∠ACH=90°,所以CH=AC·tan∠CAH=140√3(m). 答:该仪器的垂直弹射高度CH为140√3 m. 22.(12分)如图所示,某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道.赛道的前一部分为曲线段OSM,该曲线段为函数y=Asin ωx(A>0,ω>0),x∈[0,4]的图像,且图像的最高点为S(3,2√3);赛道的后一部分为折线段MNP,为保证参赛运动员的安全,限定∠MNP=120°. 2 最新中小学教案、试题、试卷 (1)求A,ω的值和M,P两点间的距离; (2)应如何设计,才能使折线段MNP最长? 解:(1)由题意,得A=2√3,=3. 𝑇4∵T=𝜔,∴ω=6. ∴y=2√3sin6. 当x=4时,y=2√3sin=3,∴M(4,3). 2π3π𝑥 2ππ ∵P(8,0),∴MP=√42+32=5(km). (2)如图所示,连接MP,在△MNP中,∠MNP=120°,MP=5 km. 设∠PMN=θ,则0°<θ<60°. 由正弦定理,得sin120°=sin𝜃=sin(60°-𝜃), 𝑀𝑃 𝑁𝑃 𝑀𝑁 ∴NP= 10√310√3sin θ,MN=sin(60°-θ), 33 10√31 (2sin𝜃3∴MN+NP= = +2cos𝜃) √310√3sin(θ+60°). 3∵0°<θ<60°,∴当θ=30°时,折线段赛道MNP最长,故将∠PMN设计为30°时,折线段赛道 MNP最长. 最新中小学教案、试题、试卷 最新中小学教案、试题、试卷 最新中小学教案、试题、试卷 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容