一、选择题
1．如图，在△ABD中，分别以点A和点D为圆心，大于
1AD的长为半径画弧，两弧相交2于点M、N，作直线MN分别交BD、AD于点C、E．若AE=5cm，△ABC的周长=15cm，则△ABD的周长是（ ）
A．35cm 解析：C 【分析】
B．30cm C．25cm D．20cmC
利用线段的垂直平分线的性质即可解决问题． 【详解】
解：∵MN垂直平分线段AD， ∴AC=DC，AE+ED=AD=10cm， ∵AB+BC+AC=15cm， ∴AB+BC+DC=15cm，
∴△ABD的周长=AB+BC+DC+AD=15+10=25cm， 故选：C． 【点睛】
本题考查了作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质． 2．已知A1、A2、A3An中，A1与A2关于x轴对称，A2与A3关于y轴对称，A3与A4关于x轴对称，A4与A5关于y轴对称……，如果A1在第二象限，那么A100在（ ） A．第一象限 解析：A 【分析】
根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，以及循环的规律就可以得到． 【详解】
解：A1与A2关于x轴对称，A2与A3关于y轴对称，A3与A4关于x轴对称，A4与A5关于y轴对称，
A1与A5是同一个点， 四次一循环，
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限A
100÷4=25， A100与A4重合， 即第一象限， 故选：A． 【点睛】
本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
3．如图，在ABC中，C90,B30 ，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交
AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于
1MN的长为半径画弧，两弧交2于点P，连接AP，并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（ ）
①AD是BAC的平分线；②ADC60；③点D在AB的垂直平分线上﹔④若
AD2，则点D到AB的距离是1，SDAC:SABC1:2
A．2 解析：B 【分析】
先根据三角形内角和计算出∠BAC=60°，再利用基本作图对①进行判断；利用
∠BAD=∠CAD=30°得到∠ADC=60°，则可对②进行判断；利用∠B=∠BAD得到DA=DB，根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可对③进行判断．利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式即可得出两个三角形的面积之比． 【详解】
解：由作法得，AD平分∠BAC，所以①正确； ∵∠C=90°，∠B=30°， ∴∠BAC=60°， ∴∠BAD=∠CAD=
B．3
C．4
D．5B
1×60°=30°， 2∴∠ADC=90°-∠CAD=60°，所以②正确； ∵∠B=∠BAD， ∴DA=DB，
∴点D在AB的垂直平分线上，所以③正确； 在直角△ACD中，∠CAD=30°， ∴CD=
1AD， 2∴BC=CD+BD=∴SABC3111AD+AD=AD，SDACACCDACAD． 22421133ACBCACADACAD， 222413ACAD:ACAD1:3，故④错误． 44所以，正确的结论有3个 故选：B． 【点睛】
∴SDAC:SABC本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图-基本作图．解题时需要熟悉等腰三角形的判定与性质．
4．三个等边三角形的摆放位置如图所示，若12100，则3的度数为（ ）
A．80 解析：A 【分析】
B．70 C．45 D．30A
由平角的性质可得∠3＋∠6＋60°＝180°，∠2＋∠4＋60°＝180°，∠1＋∠5＋60°＝180°，可得∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝540°−180°，将∠1＋∠2＝100°代入可求解． 【详解】
∵∠3＋∠6＋60°＝180°，∠2＋∠4＋60°＝180°，∠1＋∠5＋60°＝180°， ∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝540°−180°=360°， ∵∠4＋∠5＋∠6＝180°， ∴∠1＋∠2＋∠3=360°-180°=180°， ∴∠3＝180°−（∠1＋∠2）＝80°， 故选：A．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，平角的性质，三角形内角和定理，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
5．如图，C是线段AB上的一点，△ACD和BCE都是等边三角形，AE交CD于M，BD交CE于N，交AE于O，则①DBAE；②AMCDNC；③AOB60；④DNAM；⑤△CMN是等边三角形．其中，正确的有（ ）
A．2个 解析：C 【分析】
B．3个 C．4个 D．5个C
易证△ACE≌△DCB，可得①正确；即可求得∠AOB＝120°，可得③错误；再证明△ACM≌△DCN，可得②④正确和CM＝CN，即可证明⑤正确；即可解题． 【详解】
解：∵△ACD和BCE都是等边三角形 ∵∠ACD＝∠BCE＝60°， ∴∠DCE＝60°， 在△ACE和△DCB中，
ACDCACEDCB， CBCE∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴∠BDC＝∠EAC，DB＝AE，①正确； ∠CBD＝∠AEC，
∵∠AOB＝180°−∠OAB−∠DBC，
∴∠AOB＝180°−∠AEC−∠OAB＝120°，③错误； 在△ACM和△DCN中，
BDCEAC， DCACACDDCN60∴△ACM≌△DCN（ASA）， ∴AM＝DN，④正确； ∠AMC＝∠DNC，②正确； CM＝CN，
∵∠ACD＝∠BCE＝60°，
∴∠MCN＝180°-∠ACD-∠BCE =60°， ∴△CMN是等边三角形，⑤正确； 故有①②④⑤正确． 故选：C． 【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△ACE≌△DCB和△ACM≌△DCN是解题的关键．
6．若海岛N位于海岛M北偏东30°的方向上，则从海岛N出发到海岛M的航线可能是（ ）
A． B．
C． D．D
解析：D 【分析】
根据题意画出图形，再利用“上北下南”求出方向角即可． 【详解】 解：如图：
∵海岛N位于海岛M的北偏东30°方向上，∴海岛N在海岛M上方，故排除A､B选项， 根据直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半，排除选项C， 故选D． 【点睛】
本题考查了方向角，解题的关键是熟练掌握方向角的概念．
7．如图，ABC中，ACADBD，CAD80，则B等于（ ）
A．25 B．30 C．35 D．40A
解析：A 【分析】
利用AD=AC，求出∠ADC=∠C=50，利用AD=AB，即可求得∠B=∠BAD【详解】 ∵AD=AC， ∴∠ADC=∠C， ∵CAD80， ∴∠ADC=∠C=50， ∵AD=AB， ∴∠B=∠BAD故选：A． 【点睛】
此题考查等边对等角的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
8．如图，在ABC中，DE是AC的垂直平分线，交AC边于E，交BC边于D，连接AD，若AE3，△ABD的周长为13，则ABC的周长（ ）
1ADC25． 21ADC25， 2
A．16 解析：B 【分析】
B．19 C．20 D．24B
根据线段垂直平分线性质得出 AD = DC ，求出和 AB + BC 的长，即可求出答案． 【详解】
DE 是 AC 的垂直平分线,AE=3cm,.
AC=2AE=6cm，AD = DC ,
△ ABD 的周长为13cm，
AB + BD +AD=13cm，
AB + BD + DC = AB +BC=13cm
△ ABC 的周长为 AB + BC +AC=13cm+6cm=19cm，
故选 B． 【点睛】
本题考查了线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
9．如图，在锐角ABC中，ABAC，D，E是ABC内的两点，AD平分BAC，EBCE60，若BE6cm，DE2cm，则BC的长度是（ ）
A．6cm 解析：D 【分析】
B．6.5cm C．7cm D．8cmD
延长ED交BC于点M，延长AD交BC于点N，过点D作DF//BC交BE于点F，根据等腰三角形的性质得出ANBC，BNCN，根据EBCE60，得出
△EBM是等边三角形，进而得到EBEMBM6cm，通过DF//BC，证明
△EFD是等边三角形，进而得到EFFDED2cm，所以求出DM4cm，根据直角三角形的性质得到MN的长度，从而得出BN的长度，最后求出BC的长度． 【详解】
延长ED交BC于点M，延长AD交BC于点N，过点D作DF//BC交BE于点F，如图，
ABAC，AD平分BAC， ANBC，BNCN，
ANBANC90，
EBCE60， △EBM是等边三角形，
BE6cm，
EBEMBM6cm，
DF//BC，
EFDEBM60， △EFD是等边三角形，
DE2cm，
EFFDED2cm， DM4cm，
△EBM是等边三角形，
EMB60， NDM30， NM2cm，
BNBMNM4cm， BC2BN8cm．
故选：D． 【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，直角三角形中30角所对的直角边是斜边长的一半，求出MN的长度是解决问题的关键．
10．等腰三角形腰上的高与另一腰的夹角为30，则底角度数是（ ） A．30 解析：D 【分析】
由三角形的高可在三角形的内部，也可在三角形的外部，所以分锐角三角形和钝角三角形两种情况作出符合题意的图形，再结合等腰三角形的性质与三角形的内角和定理求解即可． 【详解】
解：如图，分两种情况：
①如图，当三角形的高在三角形的内部时，
B．60
C．40或50
D．30或60D
AB=AC，BD⊥AC，∠ABD=30°， ∴∠A=60°， ∴∠C=∠ABC=
180A =60°； 2②如图，当三角形的高在三角形的外部时，
AB=AC，BD⊥AC，∠ABD=30°， ∴∠DAB=60°，∠BAC=120°， ∴∠C=∠ABC= 故选：D． 【点睛】
180BAC30．
2本题考查了等腰三角形的性质和直角三角形的两锐角互余，三角形的内角和定理的应用，三角形的高的含义，分类讨论的数学思想，掌握分类讨论解决问题是解题的关键．
二、填空题
11．如图，点CD在线段AB的同侧，CA=6，AB=14，BD=12，M为AB中点，∠CMD=120°．则CD的最大值为____．
25【分析】作点A关于CM的对称点A作点B关于DM的对称点B证明△AMB为等边三角形在根据两点之间线段最短即可解决问题【详解】解：作点A关于CM的对称点A作点B关于DM的对称点B如下图所示：∴∠1=
解析：25 【分析】
作点A关于CM的对称点A’，作点B关于DM的对称点B’，证明△A’MB’为等边三角形，在根据两点之间线段最短即可解决问题． 【详解】
解：作点A关于CM的对称点A’，作点B关于DM的对称点B’，如下图所示：
∴∠1=∠2，∠3=∠4， ∵∠CMD=120°， ∴∠2+∠3=60°， 即∠A’MB’=120°-60°=60°， 又M为AB的中点， ∴AM=MA’=MB’=MB， ∴△A’MB’为等边三角形， ∴A’B’=AM=7，
由两点之间线段最短可知：
CD≤CA’+A’B’+B’D=CA+AM+BD=6+7+12=25， 故答案为：25． 【点睛】
本题主要考查了几何变换之折叠，等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识点，解题的关键是作点A关于CM的对称点A’，作点B关于DM的对称点B’，学会利用两点之间线段最短解决最值问题．
12．如图，ABC中，ABBC，点D在线段BC上（不与点B,C重合）． 作法如下：
①连接AD，作AD的垂直平分线分别交直线AB,AC于点P,Q，连接DP,DQ，则
△APQ≌△DPQ；
②过点D作AC的平行线交AB于点P，在线段AC上截取AQ，使AQDP，连接
PQ,DQ，则△APQ≌△DQP；
③过点D作AC的平行线交AB于点P，过点D作AB的平行线交AC于点Q，连接
PQ，则△APQ≌△DQP；
④过点D作AB的平行线交AC于点Q，在直线AB上取一点P，连接DP，使
DPAQ，连接PQ，则△APQ≌△DPQ．以上说法一定成立的是__________．（填
写正确的序号）
①②③【分析】根据题意画出图形再根据垂直平
分线的性质平行线的性质和三角形全等的判定可以得证【详解】解：①如图∵PQ为AD的垂直平分线∴PA=PDQA=QD∴在△APQ和△DPQ中∴△APQ≌△DPQ
解析：①②③ 【分析】
根据题意画出图形，再根据垂直平分线的性质，平行线的性质和三角形全等的判定可以得证． 【详解】 解：①如图，
∵PQ为AD的垂直平分线， ∴PA=PD，QA=QD， ∴ 在△APQ和△DPQ中，
PAPDPQPQ， QAQD∴△APQ≌△DPQ（SSS），①正确； ②如图，
∵PD∥AC， ∴∠DPQ=∠AQP， ∴在△APQ和△DQP 中，
AQDPAQPDPQ， QPPQ∴△APQ≌△DQP（SAS），②正确 ； ③如图，
∵PD∥AC，
∴∠DPQ=∠AQP， 同理∠DQP=∠APQ， ∴在△APQ和△DQP 中，
DPQAQP， PQPQDQPAPQ∴△APQ≌△DQP（ASA），③正确 ； ④如图，
△APQ≌△DPQ不成立，④错误； 故答案为①②③． 【点睛】
本题考查三角形与平行线的综合应用，熟练掌握垂直平分线的性质，平行线的性质和三角形全等的判定是解题关键．
13．如图，在ABC中，AB的垂直平分线DE分别与AB,BC交于点D,E，AC的垂直平分线FG分别与BC,AC交于点F,G，BC10,EF3，则AEF的周长是________．
16【分析】根据线段的垂直平分线的性质得
到EB＝EAAF＝FC根据三角形的周长公式计算得到答案【详解】解：∵DE是AB边的垂直平分线∴EB＝EA∵FG是AC边的垂直平分线∴AF＝FC∴△AEF的周长
解析：16 【分析】
根据线段的垂直平分线的性质得到EB＝EA、AF＝FC，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】
解：∵DE是AB边的垂直平分线， ∴EB＝EA，
∵FG是AC边的垂直平分线， ∴AF＝FC，
∴△AEF的周长=AF+AE+EF =FC+BE+EF=EC+EF+BE+EF =BC+2EF =10+6 =16， 故答案为：16． 【点睛】
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，P是BC上一点，且∠BAP＝90°，CP＝4cm．则BP的长＝________．
8cm【分析】先根据已知条件求得PA=PC再含
30度直角三角形的性质求得BP的长即可【详解】解：
∵AB=AC∠BAC=120°∴∠B=∠C=30°∵∠BAC=120°∠BAP=90°∴∠PAC=30
解析：8cm 【分析】
先根据已知条件求得PA=PC，再含30度直角三角形的性质求得BP的长即可． 【详解】
解：∵AB=AC，∠BAC=120°， ∴∠B=∠C=30°，
∵∠BAC=120°，∠BAP=90°， ∴∠PAC=30°， ∴∠C=∠PAC， ∴PA=PC=4cm， ∵∠BAP=90°，∠B=30°， ∴BP=2AP=8cm． 故答案为：8cm 【点睛】
本题考查了含30度直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解题关键是根据已知条件求得PA=PC=4cm，再根据含30度直角三角形的性质求得BP的长． 15．如图，等边△ABC的边长为4，点D在边AC上，AD＝1． （1）△ABC的周长等于_____；
（2）线段PQ在边BA上运动，PQ＝1，BQ＞BP，连接QD，PC，当四边形PCDQ的周长取得最小值时，请在如图所示的矩形区域内，用无刻度的直尺和圆规，画出线段PC，QD，
并简要说明点P和点Q的位置是如何找到的（保留作图痕迹，不要求证明）_____．
见解析过点C作CE∥AB且CE=1作点D关于AB的对称点
F连接EF交AB于一点为Q在AB上BQ之间截取PQ=1连接CPDQ则四边形PCDQ为所求的周长最小的四边形【分析】（1）根据三角形周长公式计算
解析：见解析，过点C作CE∥AB，且CE=1，作点D关于AB的对称点F，连接EF交AB于一点为Q，在AB上BQ之间截取PQ=1，连接CP、DQ，则四边形PCDQ为所求的周长最小的四边形 【分析】
（1）根据三角形周长公式计算；
（2）过点C作CE∥AB，且CE=1，作点D关于AB的对称点F，连接EF交AB于一点为Q，在AB上BQ之间截取PQ=1，连接CP、DQ，则四边形PCDQ为所求的周长最小的四边形． 【详解】
（1）△ABC的周长等于4312， 故答案为：12； （2）如图：
故答案为：过点C作CE∥AB，且CE=1，作点D关于AB的对称点F，连接EF交AB于一点为Q，在AB上BQ之间截取PQ=1，连接CP、DQ，则四边形PCDQ为所求的周长最小的四边形．
．
【点睛】
此题考查等边三角形的性质，三角形周长计算公式，轴对称的性质，综合掌握各知识点是解题的关键．
16．如图，E是腰长为2的等腰直角ABC斜边上一点，且BEBC，P为CE上任意一点，PQBC于点Q，PRBE于点R，则PQPR的值是___________．
【分析】连接BP过点E作EF⊥BC根据可得
PQ+PR=EF结合等腰直角三角形三边长的关系即可求解【详解】连接BP过点E作EF⊥BC∵∴=BC×PQ+BE×PR=BC×(PQ+PR)=BC×EF∴PQ 解析：2
【分析】
连接BP，过点E作EF⊥BC，根据S【详解】
连接BP，过点E作EF⊥BC，
BCESBPESBPC，BEBC，可得PQ+PR=EF，结合
等腰直角三角形三边长的关系，即可求解．
∵BEBC， ∴S===
BCESBPESBPC
11BC×PQ+BE×PR 221BC×(PQ+PR) 21 BC×EF， 2∴PQ+PR=EF，
ABC是等腰直角三角形， ∴∠B=45°，
∴△EFB是等腰直角三角形，且BE=BC=2，
∵
∴EF=BE÷2=2÷2=2， ∴PQPR=2， 故答案是：2． 【点睛】
本题主要考查等腰直角三角形的性质，掌握“等积法”是解题的关键． 17．在△ABC中，按以下步骤作图：
1AC的同样长为半径画弧，两弧相交于两点M，N； 2②作直线MN交AB于点D，连结CD．
①分别以A，C为圆心，以大于
请回答：若BC=DC，∠B=100°，则∠ACB的度数为____．30°【分析】依据等腰三角形
的性质即可得到∠BDC的度数再根据线段垂直平分线的性质即可得出∠A的度数进而得到∠ACB的度数【详解】解：根据题意如图：∵BC=DC∠ABC=100°∴∠BDC=∠CBD
解析：30° 【分析】
依据等腰三角形的性质，即可得到∠BDC的度数，再根据线段垂直平分线的性质，即可得出∠A的度数，进而得到∠ACB的度数． 【详解】
解：根据题意，如图：
∵BC=DC，∠ABC=100°， ∴∠BDC=∠CBD=180°-100°=80°， 根据题意得：MN是AC的垂直平分线， ∴CD=AD， ∴∠ACD=∠A， ∴∠A=
1(18080)50， 2∴∠ACB=∠CBD-∠A=80°-50°=30°． 故答案为：30°． 【点睛】
此题主要考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．解题时注意线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
18．如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=24，点M，N在边OB上，PM=PN，若NM=6，则OM=______________．
9【分析】过P作PD⊥OB交OB于点D在直角三角
形POD中求出OD的长再由PM=PN利用三线合一得到D为MN中点根据MN求出MD的长由OD-MD即可求出OM的长【详解】解：过P作PD⊥OB交OB于点
解析：9 【分析】
过P作PD⊥OB，交OB于点D，在直角三角形POD中，求出OD的长，再由PM=PN，利用三线合一得到D为MN中点，根据MN求出MD的长，由OD-MD即可求出OM的长． 【详解】
解：过P作PD⊥OB，交OB于点D， ∵∠AOB=60°， ∴∠OPD=30°， ∴OD=
1OP=12． 21MN=3， 2∵PM=PN，PD⊥MN， ∴MD=ND=
∴OM=OD﹣MD=12﹣3=9． 故答案为：9．
【点睛】
本题考查的是含30度直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，根据题意添加适当辅助线是解本题的关键．
19．如图，在22的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的ABC为格点三角形，在图中最多能画出______个不同的格点三角形与ABC成轴对称．
5【分析】画出所有与成轴对称的三角形【详解】解：
如图所示：和对称和对称和对称和对称和对称故答案是：5【点睛】本题考查轴对称图形解题的关键是掌握画轴对称图形的方法
解析：5 【分析】
画出所有与ABC成轴对称的三角形． 【详解】 解：如图所示：
ABC和ADC对称，
ABC和△EBD对称，
ABC和DEF对称，
ABC和DCB对称，
ABC和CDA对称，
故答案是：5． 【点睛】
本题考查轴对称图形，解题的关键是掌握画轴对称图形的方法．
20．如图，△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、CA边上，且BE＝CF，BD＝CE，如果∠A＝44°，则∠EDF的度数为__．
56°【分析】根据可求出根据△DBE≌△ECF利用三角形内角和
定理即可求出的度数【详解】解：∵AB＝AC∴∠ABC＝∠ACB在△DBE和△CEF中∴△DBE≌△ECF（SAS）∴DE＝EF∴△DEF
解析：56°
【分析】
根据A44可求出ABCACB68，根据△DBE≌△ECF，利用三角形内角和定理即可求出 EDF的度数． 【详解】 解：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， 在△DBE和△CEF中
BECFABCACB， BDCE∴△DBE≌△ECF（SAS）， ∴DE＝EF，
∴△DEF是等腰三角形，
∵△DBE≌△ECF， ∴∠1＝∠3，∠2＝∠4， ∵∠A＋∠B＋∠C＝180°， ∴B11804468， 2∴1218068， ∴3218068， ∴∠DEF＝68°，
1806856． 2故答案为：56°． 【点睛】
∴EDF此题主要考查全等三角形的判定与性质的理解和掌握，主要应用了三角形内角和定理和平角是180，根据等腰三角形的性质得出BC是解题的关键．
三、解答题
21．如图，网格中小正方形的边长为1，
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1（其中A1、B1、C1分别为A、B、C的对应点）； （2）△ABC的面积为 ；点B到边AC的距离为 ；
（3）在x轴上是否存在一点M，使得MA＋MB最小，若存在，请直接写出MA＋MB的最小值；若不存在，请说明原因
解析：（1）见解析；（2）【分析】
111134，；（3）存在，17 234（1）根据对称点的坐标规律，关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，找出对称点，顺次连接即可；
（2）利用△ABC所在矩形面积减去周围三角形面积，计算后即可得出答案，点B到边AC的距离即为△ABC的AC边上的高，利用勾股定理求得AC的长，再根据已求得的△ABC的面积从而求解结果；
（3）根据两点之间线段最短，利用轴对称的性质先作点A关于x轴的对称点A＇，连接A＇B与x轴相交于点M，此时MA＋MB最小，且最小值为线段A＇B的长度，利用勾股定理计算即可． 【详解】
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．
11111123534． 2222设点B到边AC的距离为h， ∵网格中小正方形的边长为1，
（2）S△ABC＝45∴AC＝325234，
∵S即
ABC111hAC， 22111h34， 221134． 34解得h故答案为：
111134，． 234（3）如图，在x轴上存在一点M，使得MA＋MB最小，
作点A关于x轴的对称点A＇，连接A＇B与x轴相交于一点，此交点即为点M，由两点之间线段最短可得，此时MA＋MB最小． 根据轴对称的性质可得：MA＝MA＇， ∴MAMBA'B421217． 【点睛】
此题考查了轴对称变换、三角形面积的计算等知识，掌握轴对称与坐标变换并根据题意得出对应点位置是解题关键．
22．如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1．在方格纸内将ABC经过一次轴对称变换后得到A'B'C'，图中标出了点C的对应点C'
1在给定方格纸中画出变换后的A'B'C'；
2画出AC边上的中线BD和BC边上的高线AE； 3求A'B'C'的面积．
解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）【分析】
（1）连接CC′，作CC′的垂直平分线l，然后分别找A、B关于直线l的对称点A′、B′，连接A′、B′、C′，即可得到ABC；
（2）作AC的垂直平分线找到中点D，连接BD，BD就是所求的中线；从A点向BC的延长线作垂线，垂足为点E，AE即为BC边上的高； （3）根据三角形面积公式即可求出ABC的面积． 【详解】
解：（1）如图，ABC即为所求； （2）如图，线段BD和线段AE即为所求；
15 2
（3）SABCSABC【点睛】
1115BCAE53． 222本题主要考查几何变换作图，作已知图形关于某直线的对称图形的一般步骤：（1）找：在原图形上找特殊点（如线段的端点、线与线的交点等）；（2）作：作各个特殊点关于已知直线的对称点；（3）连：按原图对应连接各对称点．熟练掌握作图步骤是解题的关键． 23．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A，B，C的坐标分别为4,5,2,1,1,3 （1）作出ABC关于y轴对称的ABC，并写出点B'的坐标
（2）点P是x轴上的动点，当ABP周长最小时，找出点P，并直接写出点P的坐标
解析：（1）见解析，B'2,1；（2）见解析，P1,0 【分析】
（1）分别作出A，B，C关于y轴对称的对应点A′，B′，C′，即可得到答案． （2）作点B关于x轴的对称点B″，连接A′B″交x轴于P，点P即为所求． 【详解】
解：1如图A'B'C'即为所求， 由图可知，B'2,1；
2如图所示，点P1,0即为所求点．
【点睛】
本题考查作图——轴对称变换，轴对称——最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
24．在平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴上，以OA为边在x轴上方作等边OAC． （1）如图1，在AC的右上方作线段AD，点D在y轴正半轴上，DAC10，以AD为边在AD右侧作等边ADE，则AEC______．
（2）如图2，点P是x轴正半轴上且在点A右侧的一动点，△PAM为等边三角形，
OM与PC交于点F．
求证：AFMFPF．
（3）如图3，点P是x轴正半轴上且在点A右侧的一动点，△CPM为等边三角形，MA的延长线交y轴于点N，请直接写出线段AM、AP、AN的数量关系______．
解析：（1）20°；（2）证明见解析；（3）AM【分析】
1ANAP． 2（1）借助等边三角形的性质可证明△CAE≌△OAD，再利用直角三角形两锐角互余即可得出结论；
（2）在OM上截取EM=PF，证明△FAP≌△EAM，得出AE=AF，∠EAM=∠FAP，再利用角的和差可得∠EAF=∠MAP=60°，即△AEF为等边三角形，继而得出结论；
（3）证明△CAM≌△COP可得AM=OP=OA+AP，利用三角形内角和定理和对顶角相等可得∠OAN=60°，∠ONA=30°，根据直角三角形30°角所对边是斜边的一半可得OA继而可得AM【详解】
解：（1）∵△AOC和△DAE是等边三角形， ∴AC=AO，AE=AD，∠OAC=∠EAD=60°， ∵DAC10，
1AN，21ANAP． 2CAEDAO60DAC70， 在△CAE和△OAD中 ACAO∵CAEOAD AEAD∴△CAE≌△OAD（SAS）， ∴∠AEC=∠ADO， ∵∠ADO=90°-∠DAO=20°， ∴∠AEC=20°， ∴故答案为：20°；
（2）与（1）同理可证，△OAM≌△CAP，
∴∠OMA=∠CPA，AM=AP， 如下图，在OM上截取EM=PF，
在△FAP和△EAM中，
PFME∵OMACPA， APAM∴△FAP≌△EAM（SAS）， ∴∠EAM=∠FAP，EA=FA，
∵∠EAF=∠EAM-∠FAM，∠MAP=∠FAP-∠FAM， ∴∠EAF=∠MAP=60°， ∴△AEF为等边三角形，EF=AF，
∴AFMFEFMFEMPF，即AFMF（3）与（1）同理可证△CAM≌△COP，∠MCP=60°，
PF；
∴AM=OP=OA+AP，∠AMC=∠OPC， ∵OP=OA+AP， ∴AM=OA+AP，
∵∠CEM=∠AEP，∠AMC=∠OPC， ∴∠PAM=∠MCP=60°， ∴∠OAN=60°，∠ONA=30°， ∴OA1AN， 21ANAP， 2∴AM故答案为：AM【点睛】
1ANAP． 2本题考查全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定．（1）中理解等边三角形三边相等，三角都等于60°是解题关键；（2）能根据“截长补短”作出辅助线构造全等三角形是解题关键；（3）中根据三角形内角和定理和对顶角相等得出∠OAN=60°是解题关键． 25．如图，BADCAE90，ABAD，AEAC，AFCB，垂足为F．
（1）求证：△ABC≌△ADE； （2）求FAE的度数．
解析：（1）见解析；（2）FAE135． 【分析】
（1）根据题意和题目中的条件可以找出△ABC≌△ADE的条件；
（2）根据（1）中的结论和等腰直角三角形的定义可以得到∠FAE的度数． 【详解】
证明：（1）∵∠BAD=∠CAE=90°， ∴∠BAC+∠CAD=90°，∠CAD+∠DAE=90°， ∴∠BAC=∠DAE， 在△BAC和△DAE中，
ABADBACDAE， ACAE∴△BAC≌△DAE（SAS）； （2）∵∠CAE=90°，AC=AE， ∴∠E=45°，
由（1）知△BAC≌△DAE， ∴∠BCA=∠E=45°， ∵AF⊥BC， ∴∠CFA=90°， ∴∠CAF=45°，
∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+90°=135°． 【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找
出全等所需要的条件．
26．如图，△ABC为等边三角形，直线l经过点C，在l上位于C点右侧的点D满足∠BDC＝60°．
（1）如图1，在l上位于C点左侧取一点E，使∠AEC＝ 60°，求证：△AEC≌△CDB； （2）如图2，点F、G在直线l上，连AF，在l上方作∠AFH ＝120°，且AF＝HF，∠HGF ＝120°，求证：HG＋BD＝CF；
（3）在（2）的条件下，当A、B位于直线l两侧，其余条件不变时（如图3），线段HG、CF、BD的数量关系为 ．
解析：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）HG=CF+BD． 【分析】
（1）先利用角的和差证明∠BCD=∠EAC，然后利用AAS即可证明△AEC≌△CDB； （2）在l上C点左侧取一点E，使∠AEC=60°，连接AE，依次证明△AEC≌△CDB和△HGF≌△FEA即可得出结论；
（3）在l上位于C点右侧取一点E，使∠AED=60°，连接AE，在l上取一点M，使BM=BD，依次证明△ACE≌△CBM和△HGF≌△FEA即可得出结论． 【详解】
解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AC=BC，∠ACB=60°， ∴∠BCD+∠ACE=120°， ∵∠AEC=60°， ∴∠ACE+∠EAC=120°， ∴∠BCD=∠EAC， 在△AEC和△CDB中
AECBDC60∵BCDEAC, ACBC∴△AEC≌△CDB（AAS）；
（2）证明：如图2，在l上C点左侧取一点E，使∠AEC=60°，连接AE， 由（1）知：△AEC≌△CDB，
∴BD=CE， ∵∠AEC=60°， ∴∠AEF =120°， ∵∠AFH ＝120°，
∴∠AFE+∠FAE=∠AFE+∠GFH=60°， ∴∠FAE=∠GFH，
∵∠HGF=∠AEF=120°，AF=FH， ∴△HGF≌△FEA（AAS）， ∴GH=EF，
∴CF=EF+CE=HG+BD； （3）解：HG=CF+BD，理由是：
如图3，在l上位于C点右侧取一点E，使∠AED=60°，连接AE，在l上取一点M，使BM=BD，
∵∠BDC=60°，
∴△BDM是等边三角形， ∴∠BMD=60°， ∵∠AED=60°， ∴∠AEC=∠CMB=120°， ∵∠ACB=60°，
∴∠ACE+∠BCE=∠ACE+∠CAE=60°， ∴∠CAE=∠BCE， ∵AC=BC，
∴△ACE≌△CBM（AAS）， ∴CE=BM=BD，
由（2）可证△HGF≌△FEA（AAS）， ∴GH=FE， ∵EF=CF+CE ∴HG=CF+BD． 故答案为：HG=CF+BD． 【点睛】
本题考查等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判断，三角形外角的性质等．掌握一线三等角的模型，能借助一线三等角证明对应角相等是解题关键．
27．已知：如图，AC//BD，AE，BE分别平分CAB和ABD，点E在CD上．用等式表示线段AB、AC、BD三者之间的数量关系，并证明．
解析：AB=AC+BD，证明见详解． 【分析】
延长AE，交BD的延长线于点F，先证明AB=BF，进而证明△ACE≌△FDE，得到AC=DF，问题得证． 【详解】
解：延长AE，交BD的延长线于点F， ∵AC//BD， ∴∠F=∠CAF， ∵AE平分CAB， ∴∠CAF=∠BAF， ∴∠F=∠BAF， ∴AB=BF， ∵BE平分ABF， ∴AE=EF，
∵∠F=∠CAF，∠AEC=∠FED， ∴△ACE≌△FDE， ∴AC=DF，
∴AB=BF=BD+DF=BD+AC．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判断与性质，全等三角形的判定与性质，根据题意添加辅助线构造等腰三角形和全等三角形是解题关键．
28．如图，ABC中，AD平分BAC，BC的垂直平分线DG交AD于D，DEAB于E，DFAC于F．求证：
（1）BECF． （2）ABAC2CF．
解析：（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】
（1）连接DB、DC，先由角平分线的性质就可以得出DE=DF，再证明△BDE≌△CDF就可以得出结论；
（2）由条件可以得出△DAE≌△DAF就可以得出AE=AF，进而就可以求出结论． 【详解】
（1）连接DB、DC，如图所示，
DG垂直平分BC，
DBDC，
AD平分BAC，DEAB，DFAC，
DEDF，DEBDFG90，DAEDAF，
又
在RtBDE和RtCDF中，
DBDC， DEDFRtBDERtCDFHL，
BECF．
（2）在RtDAE和Rt△DAF中，
DADA， DEDFRtDAERtDAFHL，
AEAF，
ABAEBE， ABAFCF，
ABACCFCF，
ABACCFCF， ABAC2CF． 【点睛】
本题考查了角平分线的性质的运用，线段垂直平分线的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
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