2021届高三数学新高考“8+4+4”小题狂练(24)(解析)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若复数zA. 第一象限 【答案】B 【解析】 【分析】

先利用复数的四则运算得到z1i，从而得到复数对应的点，故可得正确的选项.

2i（i为虚数单位），则复数z在复平面上对应的点所在的象限为（ ） 1i3B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

2i1i2i2i1i， 【详解】z1i31i1i(1i)复数z在复平面上对应的点为1,1，该点在第二象限，

故复数z在复平面上对应的点所在的象限为第二象限， 故选：B.

【点睛】本题考查复数的四则运算以及复数的几何意义，注意复数的除法是分子分母同乘以分母的共轭复数，本题属于基础题.

2.已知全集UR，集合MxRxx0，集合NyRycosx,xR，则（ ） A. 1,0 【答案】A

B. 0,1

C. ,0

D. 

2UMN【解析】 【分析】

化简集合M，N，根据集合的交集、补集运算求解即可.

【详解】

MxRx2x0[0,1],NyRycosx,xR[1,1],

UM(,0)(1,),

UMN1,0,

故选：A

【点睛】本题主要考查了集合的交集、补集运算，考查了一元二次不等式，余弦函数，属于容易题. 3.如图是一个22列联表，则表中a、b处的值分别为（ ）

y1 y2 总计 x1 b 21 e x2 c 25 33 总计 a d 106

A. 96，94 【答案】B 【解析】

B. 60，52

C. 52，54

D. 50，52

【分析】

根据表格中的数据可先求出d、c的值，再结合总数为106可分别求得a和b的值.

【详解】由表格中的数据可得c33258，d212546，a1064660，b60852. 故选：B.

【点睛】本题考查列联表的完善，考查计算能力，属于基础题.

4.若直线l1:ax3y20，l2:2ax5ya0．p:a0，q:l1与l2平行，则下列选项中正确的（ ） A. p是q的必要非充分条件 C. p是q的充分非必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】

根据l1与l2平行，得到a0或a22B. q是p的充分非必要条件 D. q是p的非充分也非必要条件

6，再根据集合的关系判断充分性和必要性得解. 56. 5【详解】因为l1与l2平行，所以a5(3)2a0,a0或a经检验，当a0或a6时，两直线平行. 565设A{a|a0}，B{a|a0或a}，

因为AB,

所以p是q的充分非必要条件. 故选：C.

【点睛】本题主要考查两直线平行应用，考查充分必要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

5.在ABC中，如果cos2BCcosC0，那么ABC的形状为（ ） A. 钝角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】

结合ABC以及两角和与差的余弦公式，可将原不等式化简为2cosBcosA0，即cosBcosA0，又A，B(0,)，所以cosB与cosA一正一负，故而得解. 【详解】解：

B. 直角三角形

C. 锐角三角形

D. 等腰三角形

ABC，

cos(2BC)cosC

cosBBCcos[(BA)] cos[B(A)]cos[(BA)] cos[(BA)]cos[(BA)] cos(BA)cos(BA)

cosBcosAsinBsinAcosBcosAsinBsinA 2cosBcosA0，

cosBcosA0，即cosB与cosA异号，

又A，B(0,)， cosB与cosA一正一负，

ABC为钝角三角形．

故选：A.

【点睛】本题考查三角形形状的判断，涉及到三角形内角和、两角和与差的余弦公式，考查学生的逻辑推

理能力和运算能力，属于基础题.

6.中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，已知甲同学喜欢牛、马和猴，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢，让甲乙丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏，若各人所选取的礼物都是自己喜欢的，则不同的选法有（ ） A. 50种 【答案】C 【解析】 【分析】

根据题意，按甲的选择不同分成2种情况讨论，求出确定乙，丙的选择方法，即可得每种情况的选法数目，由分类加法计数原理，即可求出答案.

【详解】解：根据题意，按甲的选择不同分成2种情况讨论： 若甲选择牛，此时乙的选择有2种，丙的选择有10种， 此时有21020种不同的选法；

若甲选择马或猴，此时甲的选法有2种，乙的选择有3种，丙的选择有10种， 此时有231060种不同的选法； 则一共有206080种选法. 故选：C.

【点睛】本题考查分步乘法和分类加法的计数原理的应用，属于基础题.

7.在三棱柱ABCA1B1C1中，ABBCAC，侧棱AA1底面ABC，若该三棱柱的所有顶点都在同一个球O的表面上，且球O的表面积的最小值为4，则该三棱柱的侧面积为（ ） A. 63 【答案】B

B. 3B. 60种

C. 80种

D. 90种

3 C. 32 D. 3

【解析】 【分析】

设三棱柱的上、下底面中心分别为O1、O2，则O1O2的中点为O，设球O的半径为R，则OAR，设

3在Rt△OO2A中，根据勾股定理和基本不等式求出R2的最小值为ABBCACa，AA1h，ah，

3

结合已知可得ah3，从而可得侧面积.

【详解】如图：设三棱柱上、下底面中心分别为O1、O2，则O1O2的中点为O，

设球O的半径为R，则OAR，设ABBCACa，AA1h，

则OO21233h，O2AABa， 23231212133ha2haah， 43233则在Rt△OO2A中，ROAOO2O2A2222当且仅当h3a时，等号成立， 3所以S球4R24343ah，所以ah4，所以ah3， 33所以该三棱柱的侧面积为3ah33. 故选：B.

【点睛】本题考查了球的表面积公式，基本不等式求最值，考查了求三棱柱的侧面积，属于基础题.

2x6,7x58.已知函数fx，若函数gxfxkx1有13个零点，则实数k的取

f(x2),x5值范围为（ ）

A. ,11 86B. ,

8611C. ,6811111111, D. ,, 688686【答案】D 【解析】 【分析】

由题可知，设hx|k||x1|，且hx恒过定点1,0，转化为函数yf(x)与函数hx|k||x1|的图象有13个交点，画出函数yg(x)与函数hx|k||x1|的图象，利用数形结合法，即可求出k的取值范围.

【详解】解：由题可知，函数g(x)f(x)|k(x1)|有13个零点，

令g(x)0，有f(x)|k||x1|，

设hx|k||x1|，可知hx恒过定点1,0， 画出函数f(x)，hx的图象，如图所示：

则函数yf(x)与函数hx|k||x1|的图象有13个交点，

h51k·(51)111(71)1，即|k|由图象可得：h71，则k·86h71k·711，

11解得：k(，)6811(，). 86故选：D.

【点睛】本题考查将函数零点的个数转化为函数图象交点问题，从而求参数的范围，考查转化思想和数形结合思想，属于中档题.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9. 设函数f(x)sin2xcos2x，则f(x)( ) 44A. 偶函数

B. 在区间0,上单调递增 2C. 最大值为2

【答案】AD 【解析】 【分析】

利用辅助角公式、诱导公式化简函数f(x)的解析式，然后根据余弦函数的性质对四个选项逐一判断即可.

【详解】f(x)sin2x是D. 其图象关于点,0对称 4cos2x2sin2x2cos2x. 4444选项A：f(x)2cos(2x)2cos(2x)f(x)，它是偶函数，正确；

选项B：x0,，所以2x0,，因此f(x)是单调递减，错误； 22cos2x的最大值为2，错误；

选项C：f(x)选项D：函数的对称中心为(k,0)，kZ，当k0，图象关于点,0对称， 244错误. 故选：AD

【点睛】本题考查了辅助角公式、诱导公式、考查了余弦型函数的性质，属于基础题. 10. 在平面直角坐标系xOy中，动点P与两个定点F13,0和F213,0连线的斜率之积等于，记点P3的轨迹为曲线E，直线l：ykx2与E交于A，B两点，则（ ）

x2A. E的方程为y21(x3)

3C. E的渐近线与圆x2y21相切 【答案】AC 【解析】 【分析】

2B. E的离心率为3

D. 满足AB23的直线l仅有1条

根据已知求得曲线E的方程，求得曲线E的离心率，其渐近线与圆x2y21的位置关系，以及弦长AB，逐一判断选项即可.

2yy1x，整理得y21，所以点P的轨迹为曲线E的方【详解】设点Px,y，由已知得x+3x3332x2程为y21(x3)，故A正确；

3又离心率e223，故B不正确； 333x的距离为30到曲线E的渐近线为y圆x2y21的圆心2，2d212321，

又圆x2y21的半径为1，故C正确；

2ykx2222213kx+12kx12k30， 直线l与曲线E的方程联立x2整理得2y1(x3)3设Ax1,y1，Bx2,y2， 144k413k4212k2312k2+1>0，且13k20，

12k212k23有x1+x2，所以,x1x22213k13kAB1+k2x1+x2222231+k231+k4x1x21+k2， 2213k13k要满足AB23，则需231+k213k223，解得k0或k1或k1，当k0,此时

A3,0，B3,0，而曲线E上x3，所以满足条件的直线有两条，故D不正确，

故选：AC.

【点睛】本题考查求点的轨迹方程，双曲线的几何性质，直线与圆的位置关系，以及直线与双曲线相交的弦长，属于中档题.

11. 若a0，b0，ab2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是（ ） A. ab1 【答案】ABCD 【解析】 【分析】

B.

ab2 C. a2b22

D.

112 abA.由ab22ab判断；B.由

ab2ab2ab2ab判断；C.由

abab2222ab判断；D.由

111111baab1判断. ab2ab2ab【详解】因为a0，b0，ab2，

所以ab22ab，所以ab1，故A正确；

因为

ab2ab2ab2ab4，所以ab2，故B正确；

2因为a2b2ab2ab422，故C正确；

111111ba1ab1122，故D正确. 因为ab2ab2ab2故选：ABCD

【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.

12. 近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，

2种植销售红玫瑰和白玫瑰.若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布N(,30)和

N(280,402)，则下列选项正确的是（ ）

2附：若随机变量X服从正态分布N(,)，则P(X)0.6826.

A. 若红玫瑰日销售量范围在(30,280)的概率是0.6826，则红玫瑰日销售量的平均数约为250 B. 红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中 C. 白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中

D. 白玫瑰日销售量范围在(280,320)的概率约为0.3413 【答案】ABD 【解析】

【分析】

利用正态分布的知识点，代表平均数，图像关于X=对称，代表标准差，越小图像越集中，选出正确答案.

【详解】对于选项A：+30=280，=250，正确；

对于选项B C：利用越小越集中，30小于40，B正确，C不正确； 对于选项D：P(280X320)=P(X)0.6826故选：ABD.

【点睛】本题主要考查利用正态分布曲线解决实际问题.属于较易题.

10.3413，正确. 2三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.

13. 在疫情防控常态化条件下，各地电影院有序开放，某影院一排共有10个座位，选出3个用于观影，防疫要求选出座位的左右两边都是空位，则不同的选法有_______种（用数字回答）. 【答案】20 【解析】 【分析】

先将其中的7个空位排成一排，其中有6个空隙，再把三个座位放在其中的3个空隙中，结合组合数的运算公式，即可求解.

【详解】由某影院一排共有10个座位，选出3个用于观影，要求选出座位的左右两边都是空位， 可先将其中的7个空位排成一排，其中有6个空隙，

3再把三个座位放在其中的3个空隙中，共有C620种不同方法.

故答案为：20

【点睛】本题主要考查了组合的应用，其中解答中熟记组合的概念，以及组合数的计算公式，合理应用插空法求解是解答的关键，其中本题的解答中注意座位是相同元素，防止出错，着重考查分析问题和解答问

题的能力.

14. 棱长均为6的直三棱柱的外接球的表面积是 _________． 【答案】84 【解析】 【分析】

首先确定外接球半径，然后求解其表面积即可.

1616r23， 【详解】由正弦定理可知底面三角形的外接圆半径为2sin60232则外接球的半径R3223291221，

则外接球的表面积为S4R242184.

【点睛】本题主要考查三棱柱的空间结构特征，多面体与球的外接问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

15. 已知直线l：ykx1与抛物线C：y2pxp0在第一象限的交点为A，l过C的焦点F，

2AF3，则抛物线的准线方程为_______；k_______.

【答案】 (1). x1 (2). 22 【解析】 【分析】

由直线方程求得焦点坐标，得准线方程，利用焦半径公式得A点横坐标，结合图形可得直线斜率， 【详解】易知直线l与x轴的交点为(1,0)，即抛物线的焦点为F(1,0)，∴准线方程为x1，

设A(x1,y1)，则AFx1px113，x12，作ACx轴于点C，如图， 2则C(2,0)，FC1，∴AC321222，

∴直线l的斜率为ktanAFC2222． 1故答案为：x1；22．

【点睛】本题考查抛物线的准线方程和焦半径公式，掌握抛物线的定义是解题关键．涉及到抛物线 上的点到焦点的距离时利用焦半径公式可以很快的求解．

16. 把数列2n1中的各项依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数，…，进行排列，得到如下排列：（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27），（29，31，33），（35，37，39，41），（43），…，则第100个括号内各数之和为_______. 【答案】1992 【解析】 【分析】

先由题意得到从括号内的数字个数来说，每四个括号循环一次，得到前99个括号内的数字个数，再由所有括号内的数字构成等差数列an，首项为3，公差为2；即可求解.

【详解】根据题意得到，从括号内的数字个数来说，每四个括号循环一次，因此第100个括号内共4个数； 故前99个括号内共有数字个数为25(1234)4246；

又因为所有括号内的数字构成等差数列an，首项为3，公差为2； 因此第100个括号内的数字分别为a247,a248,a249,a250，

所以a247a248a249a25043(246247248249)21992. 故答案为：1992.

【点睛】本题主要考查数列的应用，熟记等差数列的通项公式即可，属于中档题.