用粒子群算法解决01背包问题

背包问题( Knapsack Problem)是著名的NP问题，也是一个典型的组合优化问题。这里要解决的背包问题的描述如下：

ai：第i个物品的体积；

ci：第i个物品的价值；

b：背包的重量限制；

背包问题就是在总的体积有限的条件下,追求总价值最大的有效资源分配问题。有界的整数背包问题可转化成等价的0-1背包问题，定义变量

0xi1携带第i个物品i1,2,,n不携带第i个物品

目标函数转化为：nmaxcixii1约束条件：naixibs.t.i1xi0,1

粒子群算法速度和位置的迭代公式为：

Vit1wVitc1rand()PiXitc2rand()PjXitXit1XitVit1

其中，c1，c2为正常数，称为加速因子；rand()为0,1之间的随机数；w为惯性因子；t表示某一次迭代；Pi为粒子的最优位置；Pj为种群最优位置 背包问

题中的X是一个0-1序列，每一个粒子的位置可以用向量X来表示，粒子的位置就表示一个可行解，粒子的适应值函数就可以表示为

fXvixi（背包内物品的价值总,和）i1n

粒子群算法的寻优可以表示为求取使得f (X)值最大的X

粒子群中的速度定义为物品选择的变换集，即为两次位置的距离，用V表示，则|V|表示速度所含的交换的数目，从而该速度可定义为

VX1X2vi|vi0,1,i1,2,,n,其中0:x1ix2ivi1:x1ix2i

以此作为用粒子群算法解决背包问题的切入点，待解决的背包问题如下所示：

0-1背包问题:对于n个体积为aj、价值分别为cj的物品，如何将它们装入总体积为b的背包中，使得所选物品的总价值最大。

n＝10

aj=[95, 4, 60, 32, 23, 72, 80, 62, 65, 46]

cj=[55, 10, 47, 5, 4, 50, 8, 61, 85, 87]

b=269

使用MATLAB编辑如下程序：

a=[95 4 60 32 23 72 80 62 65 46];%物品的体积

c=[55 10 47 5 4 50 8 61 85 87];%物品的价值

b=269;%背包的重量限制

%

%

%初始化程序:

Dim=10;%粒子的维数

xSize=20;%种群数

MaxIt=30;%最大迭代次数

c1=0.7;

c2=0.7;%定义加速因子

w=0.8;%定义惯性因子

%

A=repmat(a,xSize,1);%将a扩展成一个30*10的矩阵

C=repmat(c,xSize,1);%将c扩展成一个30*10的矩阵

x=round(rand(xSize,Dim));%随机取一个30*10的0/1矩阵作为粒子的初始位置

v=rand(xSize,Dim);%粒子的初始速度

xbest=zeros(xSize,Dim);%单个粒子的初始最佳位置

fxbest=zeros(xSize,1);%xbest的适应度

gbest=zeros(1,Dim);%粒子群的初始最佳位置

fgbest=0;%gbest的适应度

%

%

%粒子群最优位置和单个粒子最优位置的选定

%迭代循环算法:

iter=0;

while iteriter=iter+1;

fx=sum((C.*x)');%计算粒子群的适应度,即背包内物品的价值

sx=sum((A.*x)');%限制函数,背包内物品的体积

for i=1:xSize

if sx(i)>269

fx(i)=0;%当被包内物品的体积超过限制时,将期适应度设置为1

end

end

for i=1:xSize

if fxbest(i)fxbest(i)=fx(i);

xbest(i,:)=x(i,:);

end%当粒子的适应度fx(i)大于其最佳适应度时fxbest(i),用其替代原来粒子的最佳适应度,并记下此解

end

if fgbest[fgbest,g]=max(fxbest);

gbest=xbest(g,:);%当存在粒子的最佳适应度fxbest(i)大于种群的最佳适应度时,用其替代原来种群的最佳适应度,并记下此解

end

for i=1:xSize

if x(i,:)==gbest

x(i,:)=round(rand(1,Dim));%为防止算法陷入局部最优，若某个粒子的位置等于种群最佳位置，将对该粒子的位置重新初始化赋值

end

end

R1=rand(xSize,Dim);

R2=rand(xSize,Dim);

v=v*w+c1*R1.*(xbest-x)+c2*R2.*(repmat(gbest,xSize,1)-x);%用速度迭代公式产生新的速度

x=x+v;%更新粒子群的位置

for i=1:xSize

for j=1:Dim

if x(i,j)<0.5

x(i,j)=0;

else x(i,j)=1;

end

end

end%由于粒子的位置只有(0,1)两种状态,此处以0.5为分界点对函数值进行调整

end

%

%

fgbest

sgbest=sum((a.*gbest)')

Gbest

迭代10次，最有结果为：

fgbest =295

sgbest =269

gbest =

0 1 1 1 0 0 0 1 1 1

即在背包问题的最优解决方案是：往背包中放第2、3、4、8、9、10只物品时，总价值为295。

由于这次背包问题的解维数较少，运算量小，修改参数、改变种群数和迭代次数对最

终结果影响不大，得到的最终结果不变。

此程序存在的主要问题有：

粒子群算法适用于解决连续函数的优化问题，而0-1背包问题是离散的NP问题，在求解过程中需要将所求的解转化成0-1的形式，在程序中只用了最简单离散化的手段，不利于寻找到精确的最优解。

尽管在程序中采取了一定的方法避免寻优陷入局部最优化，在运行中出现这种情况的比例还是很高。