近世代数第一章练习题

一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填

在题干的括号内。每小题3分，共15分) 1.设A=R（实数域）， B=R+（正实数域）

:a→10a a∈A

则是从A到B的( )。 A.满射而非单射 C.一一映射

B.单射而非满射

D.既非单射也非满射

2.设A={所有实数x}，A的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A到A的一个子集A的同态满射的是( )。 A.x→10x B.x→2x C.x→|x| D.x→-x 3.设S3={（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S中与元（1 2 3）不能交换的元的个数是( )。 A.1 B.2 C.3 D.4 4.整数环Z中，可逆元的个数是( )。 A.1个 B.2个 C.4个 D.无限个 5.剩余类加群Z18的子群有( )。 A.3个 B.6个 C.9个 D.12个 二、填空题(每空3分，共27分)

1.设A是n元集，B是m元集，那么A到B的映射共有____________个. 2.n次对称群Sn的阶是____________.

3.一个有限非可换群至少含有____________个元素. 4.设G是p阶群，（p是素数），则G的生成元有____________个. 5.除环的理想共有____________个.

6.剩余类环Z6的子环S={［0］,［2］,［4］}，则S的单位元是____________. 7.设I是唯一分解环，则I［x］与唯一分解环的关系是____________. 8.在2, i+3, π2, e-3中，____________是有理数域Q上的代数元. 9.2+

3在Q上的极小多项式是____________.

三、解答题(第1、2小题各12分，第3小题10分，共34分)

1.设G是6阶循环群，找出G的全部生成元，并找出G的所有子群. 2.求剩余类环Z6的所有子环，这些子环是不是Z6的理想？

3.设Z是整数环，则(2)∩(3)、(2,3)是Z的怎样一个理想？(2)∪(3)是Z的理想吗？为什么？

四、证明题(每小题8分，共24分)

1.设a、b是群G的元素，a的阶为2，b的阶为3，且ab=ba，证明ab的阶是6. 2.证明：在n阶群G中每个元都满足xn=e. 3.设A=ab0c a、b、c∈关于矩阵的加法和乘法构成一个环，证明

A01=0

0xA到Ax∈是A的子环，找出1的一个同态满射f,求f的核N.