2020届 二轮(理科数学) 三角函数的周期性 专题卷(全国通用)

1.若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝( ) A．1 B．－1 C．3 B [∵f(x＋5)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)， ∴f(3)＝f(3－5)＝f(－2)＝－f(2)＝－2， ∴f(4)＝f(4－5)＝f(－1)＝－f(1)＝－1， ∴f(3)－f(4)＝－2＋1＝－1.]

D．－3

kπ

2.函数y＝sinx＋的周期不大于4，则正整数k的最小值为( )

23

A．2 B．3 C．4 2π2π4π

C [由T＝得T＝＝. D．5

ωkk2

4π

∵T≤4，∴≤4，∴k≥π，

k∴正整数k的最小值为2.]

π

3.设函数f(x)(x∈R)是以π为最小正周期的周期函数，且当x∈0，时，f(x)＝sin x；当

2

x∈，π时，f(x)＝cos x，则f

π2



11

π＝( ) 3

D．－

3

2

113A．－ B. C.

222

π

A [∵T＝π，x∈，π时，f(x)＝cos x，

2

2π2π2π11

∴fπ＝f3π＋＝f＝cos 3333π1π

＝cosπ－＝－cos ＝－.] 323二、填空题

4.对于任意的x∈R都有f(x＋2)＝f(x)，则f(x)的一个周期为________． 2(答案不唯一) [由周期函数的定义知f(x)的一个周期为2.]

π

5.若函数f(x)＝2cosωx＋的最小正周期为T，且T∈(1,3)，则正整数ω的最大值是

3________．

2π2π

6 [T＝，又T∈(1,3)，∴1<<3，又ω∈N*，则ω＝3,4,5,6，∴ω的最大值为4.]

ωω11

6.已知函数f(x)对于任意x∈R满足条件f(x＋3)＝，且f(1)＝，则f(2 020)＝________.

fx21

2 [∵f(x＋3)＝，

fx

1

∴f(x＋6)＝＝f(x)，∴f(x)的周期T＝6，

fx＋3∴f(2 020)＝f(336×6＋4)＝f(4)． 又f(4)＝f(1＋3)＝∴f(2 020)＝2.] 三、解答题

7.已知函数y＝f(x)是定义在R上周期为4的奇函数． (1)求f(4)的值；

πx(2)若－2≤x≤－1时，f(x)＝sin＋1，求2≤x≤3时，f(x)的解析式．

2

[解] (1)∵函数y＝f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，∴f(0)＝0，∴f(4)＝f(4＋0)＝

1

＝2， f1

f(0)＝0.

(2)设2≤x≤3，则－2≤－4＋x≤－1， ππ

∴f(－4＋x)＝sin－4＋x＋1＝sinx＋1，

22π

∴f(x)＝f(－4＋x)＝sinx＋1.

2

8.若单摆中小球相对静止位置的位移x(cm)随时间t(s)的变化而周期性变化，如图所示，请回答下列问题：

(1)单摆运动的周期是多少？

(2)从O点算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动？如从A点算起呢？ (3)当t＝11 s时，单摆小球相对于静止位置的位移是多少？

[解] (1)从图象可以看出，单摆运动的周期是0.4 s.

(2)若从O点算起，到曲线上的D点表示完成了一次往复运动；若从A点算起，到曲线上的E点表示完成了一次往复运动．

(3)11＝0.2＋0.4×27，所以小球经过11 s相对于静止位置的位移是0 cm.

[等级过关练]

1．已知函数f(x)＝sin

πx，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018)＝( ) 3

D．－3

A．1 B．－1 C.3

2ππ2π

C [f(x)的周期T＝＝6，f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝sin ＋sin ＋sin π＋

π3334π5π

sin ＋sin ＋sin 2π＝0.

33

原式＝336[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)]＋f(1)＋f(2)＝3.]

ππαπ2．设函数f(x)＝3sinωx＋，ω>0，x∈(－∞，＋∞)，且以为最小正周期．若f＋624129

＝，则sin α的值为( ) 5

3A. 54C. 5

33B.或－ 5544D.或－ 55

π2π

D [∵f(x)的最小正周期为，ω>0，∴ω＝＝2.

2π

2π

∴f(x)＝3sin4x＋.

6

9απππ

由f＋＝3sinα＋＋＝3cos α＝，

5412363

∴cos α＝.

5

4

∴sin α＝±1－cos2α＝±.]

5

π

1.函数y＝2cos－ωx(ω＜0)的最小正周期为4π，则ω＝________.

3

12π11

－ [由周期公式可知4π＝⇒|ω|＝，由ω＜0，可知ω＝－.] 2|ω|22

2.欲使函数y＝Asin ωx(A>0，ω>0)在闭区间[0,1]上至少出现50个最小值 ，则ω的最小值为________．

199π2π

[函数y＝Asin ωx的最小正周期为，因为在每一个周期内， 函数y＝Asin ω2ωx(A>0，ω>0)都只有一个最小值，要使函数y＝Asin ωx在闭区间[0,1]上至少出现50个最小

2π

T＝，ω3

值，则y在区间[0,1]内至少含49个周期，即43

494T≤1，199π

小值为.] 2

3.已知函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝－(1)求证：函数f(x)是周期函数； (2)若f(1)＝－5，求f(f(5))的值． 1

[解] (1)证明：∵f(x＋2)＝－，

fx1

∴f(x＋4)＝－

fx＋21＝－＝f(x)，

1－fx

∴f(x)是周期函数，4就是它的一个周期． (2)∵4是f(x)的一个周期， ∴f(5)＝f(1)＝－5， ∴f(f(5))＝f(－5)＝f(－1)

1

(f(x)≠0)． fx

解得ω≥

199π

，所以ω的最2

＝－

111

＝－＝. f－1＋2f15