（1）求该抛物线的解析式；
（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t(s)．问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？
（3）若OCOB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t(s)，连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长．
y D M C
P A O Q B x
2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）． （1）当t = 2时，AP =_____ ，点Q到AC的距离是_____ ；
（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）
（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由； （4）当DE经过点C时，请直接写出t的值．
解：（1）1，AQ = CP= t， ∴．由△AQF∽△ABC，
；
（2）作QF⊥AC于点F，如图3，
，
得．∴．
∴
，即
．
（3）能．
①当DE∥QB时，如图4． ∵DE⊥PQ，
∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形． 此时∠AQP=90°． 由△APQ∽△ABC，
得，
即．解得．
②如图5，当PQ∥BC时，DE⊥BC， 四边形QBED是直角梯形． 此时∠APQ =90°．
由△AQP∽△ABC，得，
即．解得．
（4）
或
．
【注：①点P由C向A运动，DE经过点C． 连接QC，作QG⊥BC于点G，如图6．
，
．
由
，得
，
解得．
②点P由A向C运动，DE经过点C，如图7．
，】
3. 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8） 抛物线y=ax2+bx过A、C两点．
（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；
（2）动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．
①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．当t为何值时，线段EG最长？
②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形？请直接写出相应的t值．
4. 如图，已知直线l1：y=（1）求△ABC的面积；
与直线l2：y=-2x+16相交于点C，l1、l2分别交x轴于A、B两点，矩形DEFG
的顶点D、E分别在直线l1、l2上，顶点F、G 都在x轴上，且点G与点B重合。 （2）求矩形DEFG的边DE与EF的长；
（3）若矩形DEFG从原地出发，沿x轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t（0≤t≤12）秒，矩形DEFG与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围。
解：（1）由=0，得x=-4，
∴A点的坐标为（-4，0） 由-2x+16=0，得x=8
∴B点的坐标为（8，0） ∴AB=8-（-4）=12
由，解得，
∴C点的坐标为（5，6），
∴
；
（2）∵点D在l1上且xD=xB=8，
∴
，
∴D点的坐标为（8，8）， 又∵点E在l2上且yE=yD=8， ∴-2xE+16=8， ∴xE=4，
∴E点的坐标为（4，8）， ∴DE=8-4=4，EF=8；
（3）①当0≤t<3时，如图（1），矩形DEFG与△ABC重叠部分为五边形CHFGR（当t=0时，为四边形CHFG） 过C作CM⊥AB于M，则Rt△RGB∽Rt△CMB， ∴
，即
，∴RG=2t，
∵Rt△AFH∽Rt△AMC，∴，即
，
∴
，
∴S=S△ABC-S△BRG-S△AFH=，
即
；
②当3≤t<8时，如图（2），矩形DEFG与△ABC重叠部分为梯形HFGR，过C作CM⊥AB于M，则Rt△ARG∽Rt△ACM， ∴
，∴
，∴
，
又∵Rt△AHF∽Rt△ACM，
∴，∴
，∴，
∴
=
，
即
；
③当8≤t≤12时，如图（3），矩形DEFG与△ABC重叠部分为三角形AGR（当t=12时为一个点），过C作CM⊥AB于M， 则Rt△ARG∽Rt△ACM，
∴，∴，∴，
∴
-8t+48。
5. 如图（1），在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，过点E作EF∥BC交CD于点F，AB=4，BC=6，∠B=60°。
（1）求点E到BC的距离；
（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM⊥EF交BC于点M，过M作MN∥AB交折线ADC于点N，连接PN，设EP=x。
①当点N在线段AD上时（如图（2）），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由；
②当点N在线段DC上时（如图（3）），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由。
解：（1）如图（1），过点E作EG⊥BC于点G ∵E为AB的中点， ∴
∴∠BEG=30°， ∴
，
，即点E到BC的距离为
；
，
在Rt△EBG中，∠B=60°，
（2）①当点N在线段AD上运动时，△PMN的形状不发生改变， ∵PM⊥EF，EG⊥EF， ∴PM∥EG， ∵EF∥BC，
∴EP=GM，PM=EG=过点P作PH⊥MN于H， ∵MN∥AB，
∴∠NMC=∠B=60°，则∠PMH=30°， ∴
，则
，
，
同理，MN=AB=4，如图（2），
， ；
∴MH=PM·cos30°=在Rt△PNH中，
，
∴△PMN的周长=PM+PN+MN=
②当点N在线段DC上运动时，△PMN的形状发生改变，但△MNC恒为等边三角
形，当PM=PN时，如图（3） 作PR⊥MN于R，则MR=NR， 类似①，，
∴MN=2MR=3， ∵△MNC是等边三角形， ∴MC=MN=3，
此时，x=EP=GM=BC-BG-MC=6-1-3=2， 当MP=MN时，如图（4）， 这时MC=MN=MP=，
此时．x=EP=GM=6-1-=5-，
当NP=NM时，如图（5），∠NPM=∠PMN=30°， 则∠PNM=120°，又∠MNC=60°， ∴∠PNM+∠MNC=180°，
因此点P与F重合，△PMC为直角三角形， ∴MC=PM·tan30°=1， 此时，x=EP=GM=6-1-1=4， 综上所述，当x=2或4或
时，△PMN为等腰三角形。
6. 如图，二次函数y=x2+px+q（p<0）图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-1），△ABC的面积为（1）求该二次函数的关系式；
（2）过y轴上的一点M（0，m）作y轴的垂线，若该垂线与△ABC的外接圆有公共点，求m的取值范围； （3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ACBD为直角梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。
解：（1）由点C的坐标为（0，-1），得OC=1， 又∵△ABC的面积为， ∴
，即
，
由抛物线与y轴交于（0，-1）， 得y=x2+px+g（p<0）中的q=-1，
则当y=0时，0=x2+px-1，设它的两个根为x1、x2，
则x1+x2=-p，x1x2=-1，且A、B两点的坐标为（x1，0）、（x2，0）， 由直角坐标系上两点间的距离公式可得x2-x1=AB=， ∴
∴x12+x22-2x1x2=
，
， ，即p2+4=
，解得
，
，
∴x12+x22+2x1x2-4x1x2=∴（x1+x2）2-4x1x2=
∵p<0，∴p=，
∴该抛物线的关系式为
；
（2）设△ABC的外接圆交y轴于另一点D，如图
由
得x1=2，，
∴连接AD，
在△ABC的外接圆中， ∵
∴△AOD∽△COB，
，
，
∴∠ADC=∠ABC，∠DAB=∠DCB，
∴，∴，
∴DO=1，∴CO=DO=1， 又∵AB⊥CD，
∴AB过△ABC外接圆的圆心，即AB为△ABC外接圆的直径， ∴△ABC外接圆的直径为， ∴直线∴（3）存在
∵AB是△ABC外接圆的直径，
∴∠ACB=90°，这时抛物线上必有点D，且当AD∥BC或BD∥AC时使四边形ACBD为直角梯形， 当AD∥BC时，可求得直线BC的关系式为∴直线AD的关系式为
，
，
；
与△ABC的外接圆相切，
则它与抛物线此时点D的坐标为
，
的交点坐标为，
当BD∥AC时，可求直线AC的关系式为y=-2x-1， ∴直线BD的关系式为y=-2x+4， 则它与抛物线此时点D的坐标为∴当点D在
或
，
的位置时，四边形ACBD为直角梯形。
的交点坐标为
，
7. 如图（1），在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（-3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H。
（1）求直线AC的解析式；
（2）连接BM，如图（2），动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位长度／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）； （3）在（2）的条件下，当t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值。
解：（1）过点A作AE⊥x轴，垂足为E（如图（1））， ∵A（-3，4），∴AE=4，OE=3， ∴
，
∵四边形ABCO为菱形， ∴OC=CB=BA=OA=5， ∴C（5，0），
设直线AC的解析式为：y=kx+b，
则有，∴，
； ，
∴直线AC的解析式为：（2）由（1）得M点坐标为∴
，
如图（1），当P点在AB边上运动时，由题意得OH=4， ∴，
∴=
，
∴
，
当P点在BC边上运动时，记为P1， ∵∠OCM=∠BCM，CO=CB，CM=CM， ∴△OMC≌△BMC，
∴OM=BM=，∠MOC=∠MBC=90°， ∴，
∴S=
；
（3）设OP与AC相交于点Q，连接OB交AC于点K，
∵∠AOC=∠ABC， ∴∠AOM=∠ABM，
∵∠MPB+∠BCO=90°，∠BAO=∠BCO，∠BAO+∠AOH= 90°，∴∠MPB=∠AOH， ∴∠MPB=∠MBH，
当P点在AB边上运动时，如图（2） ∵∠MPB=∠MBH， ∴PM=BM， ∵MH⊥PB， ∴PH=HB==
=2，
∴PA=AH-PH=1， ∴t=， ∵AB∥OC， ∴∠PAQ=∠OCQ ∴∠AQP=∠CQO， ∴A△QP∽△CQO， ∴
，
在Rt△AEC中，，
∴
，
，
在Rt△OHB中，
，
∵AC⊥OB，OK=KB，AK=CK， ∴
，
∴∴
，
，
当P点在BC边上运动时，如图（3） ∵∠BHM=∠PBM=90°，∠MPB=∠MBH， ∴tan∠MPB=tan∠MBH， ∴∴∴
， ，
，
，即
，
∴PC=BC-BP=5-
由PC∥OA，同理可证△PQC∽△OQA， ∴∴∴∵∴
综上所述，当
，
，
时，∠MPB与∠BCO互为余角， ， ，
，
，
直线OP与直线AC所夹锐角的正切值为3/4 当
时，∠MPB与∠BCO互为余角，
直线OP与直线AC所夹锐角的正切值为1。
8.如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=BC，E是AB的中点，CE⊥BD。 （1）求证：BE=AD；（2）求证：AC是线段ED的垂直平分线； （3）△DBC是等腰三角形吗？并说明理由。
∴∠1与∠3互余，∠2与∠3互余， ∴∠1=∠2，
∵∠ABC=∠DAB=90°，AB=AC， ∴△BAD≌△CBE， ∴AD=BE；
（2）∵E是AB中点， ∴EB=EA，
由（1）AD=BE得：AE=AD， ∵AD∥BC， ∴∠7=∠ACB=45°， ∵∠6=45°， ∴∠6=∠7，
解：（1）证明：∵∠ABC=90°，BD⊥EC，
由等腰三角形的性质，得：EM=MD，AM⊥DE， 即，AC是线段ED的垂直平分线； （3）△DBC是等腰三角（CD=BD）， 理由如下：由（2）得：CD=CE， 由（1）得：CE=BD， ∴CD=BD，
∴△DBC是等腰三角形。
9. 一次函数y=ax+b的图象分别与x轴、y轴交于点M、N，与反比例函数y=K/X的图象相交于点A，B．过点A分别作
AC⊥x轴，AE⊥y轴，垂足分别为C，E；过点B分别作BF⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为F，D，AC与BD交于点K，连结CD。
（1）若点A，B'在反比例函数y=K/X的图象的同一分支上，如图①，试证明：①S四边形AEDK=S四边形CFBK②AN=BM （2）若点A，B分别在反比例函数y=K/X的图象的不同分支上，如图②，则AN与BM还相等吗？试证明你的结论
解：（1）证明；①∵AC⊥x轴，AE⊥y轴，∴四边形AEOC为矩形， ∵BF⊥x轴，BD⊥y轴，∴四边形BDOF为矩形，
∵AC⊥x轴，BD⊥y轴，∴四边形AEDK，DCCK，CFBK均为矩形， ∵OC=x1，AC=y1，x1·y1=k，∴S矩形AEOC=OC·AC=x1·y1=k ∵OF=x2，FB=y2，x2·y2=k，∴S矩形BDOF=OF·FB=x2·y2=k，
∴S矩形AEOC=S矩形BDOF，S矩形AEDK=S矩形AEOC-S矩形CFBK=S矩形BDOF=S矩形DOCK， S矩形AEDK=S矩形CFBK；
②由①知S矩形AEDK=S矩形CFBK，AK·DK=BK·CK，
∴=，∵∠AKB=∠CKD=90°，∴△AKB∽△CKD，∴∠CDK=∠ABK，∴AB∥CD，
∵AC∥y轴，∴四边形ACDN是平行四边形，∴AN=CD同理BM=CD，∴AN=BM； （2）解：AN与BM仍然相等，∵S矩形AEDK=S矩形AEOC+S矩形ODKC， S矩形BKCF=S矩形BDOF+S矩形ODKC，
又∵S矩形AEOC=S矩形BDOF=k，∴S矩形AEDK=S矩形BKCF，∴AK·DK=BK·CK， ∴CK/AK=DK/BK，∴∠K=∠K，∴△CDK∽△ABK， ∴∠CDK=∠ABK，∴AB∥CD，
∵AC∥y轴，∴四边形ANDC是平行四边形，∴AN=CD，同理BM=CD，∴AN=BM。
3a)，对10. 如图，抛物线yax2bx3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且经过点(2，称轴是直线x1，顶点是M．
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）经过C,M两点作直线与x轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点P，使以点P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设直线yx3与y轴的交点是D，在线段BD上任取一点E（不与B，D重合），经过A，B，E三点的圆交直线BC于点F，试判断△AEF的形状，并说明理由；
（4）当E是直线yx3上任意一点时，（3）中的结论是否成立？（请直接写出结论）． y A O 1 B x 3 C
M （第10题 图）
解：（1）根据题意，得
解得∴抛物线对应的函数表达式为y=x2-2x-3；
（2）存在，
在y=x2-2x-3中，令x=0，得y=-3， 令y=0，得x2-2x-3=0，∴x1=-1，x2=3，
∴顶点M（1，-4），容易求得直线CM的表达式是y=-x-3， 在y=-x-3中，令y=0，得x=-3， ∴N（-3，0），∴AN=2，
在y=x2-2x-3中，令y=-3，得x1=0，x2=2，
∴CP=2，∴AN=CP，∴四边形ANCP为平行四边形， 此时P（2，-3）；
（3）△AEF是等腰直角三角形，
理由：在y=-x+3中，令x=0，得y=3，令y=0，得x=3， ∴直线y=-x+3与坐标轴的交点是D（0，3），B（3，0）， ∴OD=OB，∴∠OBD=45°， 又∵点C（0，-3）， ∴OB=OC， ∴∠OBC=45°，
由图知∠AEF=∠ABF=45°，∠AFE=∠ABE=45°， ∴∠EAF=90°，且AE=AF，∴△AEF是等腰直角三角形； （4）当点E是直线y=-x+3上任意一点时，（3）中的结论成立。
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