关于周期数列的重要性质与结论的探究 广东省广州市广雅中学（５１０１６０） 徐广华 周期数列司看作是 期函数的特例，其定义域为正整数 集．灵活利用数列的周期性，可以巧妙地解决一些特殊数列 １．若数歹０｛０ｎ’满足ａｎ＋ａｎ＋ ＝Ｃ（Ｃ为常数），则｛ｎｎ， 是周期为２ｋ的周期数列． 的指定项及求和问题． 一特别地，若。ｎ＋ｋ＝一ｎ （即Ｃ：０时），则｛０ ）是周 、周期数列的概念 对于数列｛０ｎ），如果存在确定的正整数 及ｎ０，使得对 期为２ｋ的周期数列． 推广：若数列ａ ）满足。 ＋。ｎ＿１＋…＋ｎ ＋ｋ＝ｃ（ｃ 一切ｎ≥ｎｏ，恒有ａｎｑ－Ｔ＝ａｎ成立，则称｛ｎｎ）是从第？ＺＯ项 时，称｛。ｎ）为纯周期 ２．为常数）则ａ ｝是周期为ｋ＋１的周期数列． ，起的周期为 的周期数列·当ｎｏ 若数列ｆｎ 满足。 ．ｎ ＋ｋ： （常数Ｃ≠０），则 数歹１１；当ｎｏ≥２时，称｛ｎｎ）为混周期数列‘ ｛ａ 是周期数列，且２ 是它的周期． 二、周期数列的重要性质 １．周期数列是无穷数列，其值域为有限集． ２．若 是数列ｆｎ ）的周期，则对 ∈Ｎ＋，ｋＴ也是数 列｛ｎ ）的周期．即若ａｎ＋Ｔ：ｎ ，则ｎ ＋ Ｔ：ｎ ． ３．周期数列必有最小正周期． ４·若 是周期数列｛。ｎ）的最小正周期， 是数列｛ｎｎ） 的任一周期，则必有ＴＩＴ ． 另 地若。 ＋ ： 或 ．凡＋ ：一 （即ｃ：士１ 时），则｛０ ）是周期为２ｋ的周期数列． 推广：若数列｛０ｎ）满足ｎ ‘０ｎ＋１…·‘０ ＋ 数 ≠０），则｛０ｎ）是周期为ｋ＋１的周期数列· ３·若非零数列｛ｎｎ）满足ｎｎ＋。ｎ＋１＋…＋。叶 ａ ．ａｎ＋１．．…ａｎ＋ ，则｛０ ｝是周期为ｋ＋１的周期 数列． （常 ５．若｛。 ）是周期为 的周期数列，Ｓｎ是数列｛。ｎ）的 前竹项和，若ｍ ｑ ＋ｒ（０≤ｒ＜ ，ｒ∈Ｎ ），则 ｎｍ＝。ｒ， ｑＳＴ＋ ‘ １ ４．若数列｛ｎ ）满足ｎｎ＋ ＝Ｔ— －，则｛ｎ ）是周期为 ３ 的周期数列 ．． 特别地，若ａｎ＋ｌ：＿ 一（即 ：１时），则｛。 ）是 周期为３的周期数歹 一。” 三、有关数列周期性的重要结论 以下结论中，ｎ为一切正整数， 为某个确定的正整数． ￣￣￣～￣￣￣￣￣￣～～ ￣￣￣～￣￣￣￣￣￣￣￣￣～ ～～类似：若数列｛。 ）满足。 ＋ ＝一 周期为３ｋ的周期数列． ～～～～ ～ ～～～～～～～～～，则｛ｎ ）是 ～～～ｒ、 ～ 《中学数学研究》编辑委员会 名誉主编：柳柏濂 顾问：（以姓氏笔划为序）王林全，柳柏濂 社长：黎稳 主编：吕杰 副主编：苏洪雨，吴有昌 编委：（以姓氏笔划为序）尤利华，邓春源，叶远灵，吕伟泉，吕杰，刘名生，刘秀湘， 孙道椿，苏洪雨，李健全，吴有昌，何小亚，张敏，陈小山，陈奇斌，林少杰， 林长好，姚静，袁平之，袁汉辉，耿堤，徐志庭，徐勇，章绍辉，曾辛金，谢明初 ２０１８年第２期（上） 中学数学研究 １０．若数列｛。ｎ）满足口ｎ＋ ＝ 则ｆ０ 是周期为２ 的周期数列． １ （Ａ２＋ＢＣ≠０）， 特别地，若。 ＋１＝一 １：（即 ＝１时），则｛。ｎ）是 周期为３的周期数列． 类似：若数列｛。 ）满足。 ＋ ＝１一 １则｛ｎｎ）是周 ，特别地，若ｎ ＋ｌ：Ａａｎ＋Ｂ（Ａ。＋ＢＣ≠０）（即ｋ＝１ 时），则｛０ ，是周期为２的周期数列． 上述结论的简略证明 期为３ｋ的周期数列． 特别地，若０ ＋１＝１一 （即ｋ＝１时），则｛ｎ ）是周 期为３的周期数列． １． 由ａｎ＋ａ ＋ ＝Ｃ，得ａｎ＋ ＋０ｎ＋２ｋ＝Ｃ，贝４ ，５．若数列｛ｏ ）满足ｎ ＋ ＝ 旦 则｛ｎ ）是周期 ０ｎ＋ ＋ａ ＋２ｋ＝ａ ＋ａｎ＋ ，故ａｎ＋２ｋ＝ａｎ，｛０ｎ）是周 为３ 的周期数列． 特别地，若ｎ ＋ ： 兰 （即 ＝１时），则ａ ） 是周期为３的周期数列． 类似：若数列｛‰）满足口几＋ ，则（０ｎ） 是周期为３七的周期数列． 特别地，若０ ＋１： （即 ＝１时），则｛０ ｝ 是周期为３的周期数列． ６．若数列｛ｏ ）满足ｎ ＋ ：｝ ，则ａ ｝是周期为 ４尼的周期数列． 特别地，若０ ＋１＝ ＿＝！ （即ｋ＝１时），则｛ｎ ）是周 期为４的周期数列． 类似：若数列｛ａ ）满足０ ＋ ＝竿 ，则｛ｎ ）是 周期为４ 的周期数列． 特别地，若ｎ ＋ ＝ （即ｋ＝１时），则｛０ ）是周 期为４的周期数列． ７．若数列｛ｎ ）满足。 ＋ｋ： ，则｛。 ）是周期 为６ 的周期数列． 特别地，若。 ＋ ： （即ｋ：１时），则｛ｎ ） 是周期为６的周期数列． 类似：若数列｛‰）满足‰＋ｋ＝ ，则｛‰） 是周期为６ 的周期数列． 特别地，若０ ＋１： （即 ＝１时），则是周期 为６的周期数列． ８．若数列｛０ ｝满足ａｎ＋２ｋ＝ａｎ＋ｋ—ａ ，则｛０ ）是周 期为６ 的周期数列． 特别地，若ａ ＋２＝ａ ＋ 一ａｎ（即ｋ＝１时），则｛ｎ ｝ 是周期为６的周期数列． ９．若数列｛０ ）满足０ ＋２％＝—ａｎ—＋ｋ，则｛０ ｝是周期为 ６ｋ的周期数列． 特别地，若ｎｎ＋２＝ ａｎ ＋ｌ（即 ＝１时），则｛。ｎ）是周 期为６的周期数列． 期为２ 的数周期数列． 推广：由ａｎ＋ａｎ＋１＋…＋ｎ ＋ｋ＝Ｃ，得０ ＋１＋ ａ礼＋２＋．．．＋ａｎ＋ ＋１：Ｃ，则０札＋１＋０ｎ＋２＋…＋０ｎ＋ ＋１： ０ ＋ｎ ＋ｌ＋…＋ａ ＋％，故ａｎ＋ ＋１＝ａ ，ａ ）是周期为 ＋１的周期数列． ２．ａ ．ａｎ＋ ＝ ０忆＋ ·ａｎ＋２ｋ＝Ｃ，则ａｎ＋ ·ｎｎ＋２ｋ： 口 ．ａ ＋ ，故ａ ＋２ ＝ａ ，｛０ ＞是周期为２ 的数周期数列． 推广：由ａｎ．ａ札＋１．－…ａｎ＋ｋ＝ ，得０ｎ＋１·０ｎ＋２…－· ａｎ＋ ＋ｌ＝Ｃ，贝０ ａｎ＋１·０ｎ＋２…·－ａｎ＋南＋１＝ａｎ＂ａｎ＋１。···。ｎ竹＋ ， 故ａ ＋ｋ＋１＝ａ ，｛ｎ ）是周期为 ＋１的周期数列． ３．由ａ礼＋ａｎ＋ｌ＋．＋ａ礼＋ ＝ａｎ．ａ忆＋１…··０ｎ＋南①，得 ｎｎ＋１＋ｎ ＋２＋．＋ 扎＋知＋１＝ａ札＋１．ａｎ＋２…··ａｎ＋ ＋１②，②－ ①，得ａｎ＋ｋ＋１一ａｎ＝（ａｎ＋ ＋１一ａｎ ａｎ＋ｌ ａｎ＋２一一‘ａｎ＋ｋ， 由ａ ≠０，得ａ蚪ｋ＋１：ａ ，故｛０ ｝是周期为ｋ＋１的周期 数列． ４·由 ｌ一０ｎ ，得ｎ ｋ 志工一０竹＋ｋ 一一 ：１一一１，则０ ＋３ｋ：１一 ：１一（１－ａｎ）：。 ， 故｛０ １是周期为３ 的周期数列． ｓ．由。 ： ，得ｎ州 ： Ｊｒ－ａｎ＋ｋ＝ …＝导 ， ＝ ａｎ＋ｋ － 一一 故 ｛０ ）是周期为３ 的周期数列． ６．由ｎ ＝ ，得ａｎ＋２ｋ： 一。一 ｌ—ｎ Ｉ 一 ａｎ＋Ｉ一一，则０ ＋４ ：一—三一＝ｎ ，故｛０ ）是周期为４ｋ的周 期数列． 一 ７．由。 ＋ ＝ ＝ 、／ 一 ａｎ，得ｎ ＋ ： 、／ｄ一 ａｎ＋ｋ…＝ ， 州 ＝Ｆａｎ＋ ２ｋ Ｊ［－ Ｖｆ￣＝…＝ ’取 ，故ａｎ＋６ｋ： 一．＝ ’ ‰’ｔ‰ ｛。 ） 是周期为６ 的周期数列． ８．由ａｎ＋２＝ａｎ＋１一ｎ礼（Ｄ，得ａｎ＋３＝ 忆＋２—０ｎ＋１②， ①＋②，得０ ＋３＝一０ ，贝４ ０ ＋６＝一０ ＋３＝ａｎ，故｛ｎｎ） 是周期为６的周期数列． ２ ¨ｎ ｕ，ｎ＋１ 中学数学研究 ２０１８年第２期（上） ９．由ｎ ＋２＝ａｎ ＋ｌ＠，得０ ＋３＝ａｎ＋２ Ｑ，①×②，得 ａｎ＋３＝ ，则ａ，冲６＝— 一：ａ ，故ｆｎ １是周期为６的 ａｎ ａｎ＋３ （２）（２０１７广州调研理ｌ６）数列ａ ）满足ａ１＝２，ａ２＝８， ｎ ＋２＋ａｎ＝ａｎ＋ｌ，则∑ａｎ＝——． （３）（２０１２福建卷理ｌ２）数列ａ ｝的通项公式ａ ： ． 周期数列． １０．由ｎ ＋ｌ：ａｎ＋２ ＡａＬ／。ｎ ＋Ｂ（Ａ。＋ＢＣ≠０），得 札ｃｏｓ 二 ＋１，前ｎ项和为 ，则 ｏ１２＝Ａ１ １ Ａａ ＋１＋Ｂ Ｃａ——Ａ（Ａａ ＋Ｂ）＋Ｂ（Ｃａ 一Ａ） 分析（１）由递推式得：ａ３＝２，ａ４＝１，ａ５＝ ，ａ６＝ ， ｎ＋ｌ－Ａ Ｃ———（—Ａ———ａ—ｎ——＋———Ｂ— ）———－——Ａ——（ Ｃ———ａ—，—￣——－——Ａ— ） ｆ 。＋ＢＣ）ａ ■ ａ７＝１，ａ８＝２，故｛ｎ ）是周期为６的周期数列，从而 ａ２ｏ１７ ａ６×３３６＋１ ａｌ １． ａ ，故｛ｏ ）是周期为２的周期数列 （２）由递推式得：ａｎ＋２＝ａ ＋１一ａ ，则ａ３＝６，ａ４＝一２， 例ｌ（１）在数列ａｎ）中，。１＝ １ｎ２＝百１ｎ 。 ，，＝１， ａ５＝一８，ａ６＝一６，ａ７：２，ａ８＝８，故ｆｎ ｝是周期为６的周 则ａ２ｏ１６＋ａ２ｏ１７＝（） Ａ． Ｂ． ｃ． Ｄ．５ 期数列，从而∑ａ ＝３３６∑ａ ＋ａｌ＝３３６×０＋２＝２． （３）数列｛ｃｏｓ ｝是周期为４的周期数列，先写出一个 周期内的４项．ｎ４ 一３＝１，ａ４ 一２：一４ｎ＋３，ａ４ｎ一１ １， （２）（２００５湖南卷文科第５题）已知数列ａ ）满足 ｎ ＝Ｏ，ａｎ＋ｌ＝ Ａ．０ Ｂ．一 ， ｃ． ） Ｄ． ｌ～ １，ａ４ｎ＝４ｎ＋１，则ａ４ｎ一３＋ａ４ｎ一２＋ａ４ｎ一１＋ａ４ｎ＝６，故 ￥２ｏ１￣＝．ｓ４×５０３＝５０３ ＝５０３×６＝３０１８． 例３已知数列ａ ）满足０ｌ＝２，ｎｎ＋ ： 列ｆｏ ｝的通项公式． 则数 分析，求数 （３）已知数列｛。 ）满足ｎ１＝ ３。 ＋１＝，（１）由递推式得：ａ２＝ ，ａ３＝一 ，ａ４＝一３， 列 ｝的前ｌｏ０项和 。。 （ Ａ．４９５０ Ｂ．５ｏ５０ ） Ｄ。７ ａ５＝２＝ａｌ，故｛ｏ ｝是周期为４的周期数列，因此，当 ｒ，ｔ＝４ｋ一３（ｋ∈Ｎ ）时，ａ ＝２；当７／，＝４ｋ一２（ｋ∈Ｎ ） ｃ．５１００ 分析（１）由ａｎ＋２：一１得：ａｎ＋４：—＿：。 故 ｌ，时，ｎ ＝吉；当ｎ＝４ｋ一１（ ∈ＩＶ， ）时，０ ＝一 ；当 他＝４ｋ（ｋ∈Ｎ ）时，ａ ＝－３． 例４设数列｛ｎ ）满足ａｌ＝ａ２＝１，ａ３＝２，且 ａｎａｎ＋１ａｎ＋２：≠１，ａ忆ａ竹＋１ａ礼＋２ａｎ＋３＝ａ ＋ａ忆＋１＋ａ ＋２＋ ｆｎ 是周期为４的周期数列，从而ａ２０１ａｎ ６＝ａ４×５０４＝ａａｎ＋２ ４＝ １＿３，ｎ２ 。ｚⅢ：ａ４ｘ５Ｏ４＋ｌ～＝ ，￣ａ２ｏ１６ Ｚ ＝ ， 选Ｃ． ａｎ＋３．求数列ａ 的前１００项和Ｓ１０ｏ． ，ａ４＝０＝ａ１，故 （２）由递推式得：ａ２＝一 ，ａ３＝ 分析由ａｎａｎ＋ｌａ７ ＋２ａｎ＋３＝ａｎ＋０ｎ＋１＋ｎｎ＋２＋０几＋３① 得ａｎ＋１０竹＋２ａｎ＋３ａ ＋４＝ａｎ＋１＋ａｎ＋２＋ａｎ＋３＋ａｎ＋４ ② ②一①，得（ａ ＋４一ａｎ）ｎｎ＋ｌａｎ＋２ａ ＋３＝ａｎ＋４一ａ ，由 ａｎａ卅ｌａ ＋２≠１，得ｎ ＋４＝ａ ，故｛０ ）是周期为４的 周期数歹 ．由ａｌａ２ａ３ａ４＝ａ１＋ａ２＋ａ３＋ａ４，ａ１＝ａ２＝１， ｛０ ）是周期为３的周期数列，从而ａ２ｏ＝ａ３ ６＋２＝ａ２＝ ，选Ｂ． ，（３）由递推式得：ｎ２＝１一 １＝ １。３＝１一 １ｎ ＝１一 ＝一２， １＝ ：。 ，故｛。 ）是周期为３的周期数 ，则｛ｂｎ）也是周期为３的周期数列· ，列·设ｂｎ ａ３＝２，得：ａ４＝４，故￥１００＝２５ ＝２５（１＋１＋２＋４）＝２００． 由上可见，“周期数列”这个概念尽管在目前的高中教材 而６１＝２，６２＝一 ，６３＝一 １故 。。＝３３死＋ｂ１＝ 中没有定义过，但与周期数列有关的问题却在高考和模拟试 题中屡见不鲜．记住一些有关数列周期性的重要结论，灵活 ３３（２一 一 ）＋２＝７ ． 例２（１）数列ａ ）满足ｎ１＝１，０２＝２，０ ＋２：—ａｎ—＋ｌ， 运用周期数列的重要性质解题，可以起到触类旁通、化繁为 简的效果，在复习备考中值得我们重视和研究． ａ．ｎ （上接第４３页）当抛物线Ｙ＝ｇ（ｘ）与直线相切时，Ａ＝ 立或恒有解问题的基本方法．方法１分离参数后将问题转化 为最值问题，接着用分段函数求函数值域，从而求出参数取 值范围．方法２首先画出两个函数的图象，其中一个是静态 ９—４（ｍ＋１）：０得ｍ＝ ．由图知当且仅当ｍ＜ 时，抛物线Ｙ＝ｇ（ｘ）有部分在函数Ｙ＝ｆ（ｘ）图象下方，即 ｙ（ｘ）≥ｇ（ｘ）有解，故若不等式ｙ（ｘ）≥ｘ。一ｘ＋ｍ的解集非 空，则ｍ的取值范围是（一∞， 】． 评注分离参数法和函数图象法是处理含参不等式恒成 的直线型，另一个是对称轴确定的动态抛物线，求出相切时 参数的值，再根据两个图象的位置关系求出参数的取值范围．
