1．当动点A在圆x＋y＝1上移动时，它与定点B(3,0)连线的中点M的轨迹方程是( )
22
A．(x＋3)＋y＝4
22
B．(x－3)＋y＝1
22
C．(2x－3)＋4y＝1 3221D.x＋＋y＝
22
2．已知椭圆的焦点为F1，F2，P是椭圆上一个动点，延长F1P到点Q，使|PQ|＝|PF2|，则动点Q的轨迹为( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线的一支 D．抛物线
2
2
x2y2
3．若AB是过椭圆2＋2＝1(a>b>0)中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM，BM与
ab两坐标轴均不平行，kAM，kBM分别表示直线AM，BM的斜率，则kAM·kBM＝( )
c2b2c2a2
A．－2 B．－2 C．－2 D．－2 aabb22xy2
4．已知双曲线C1：2－2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，若抛物线C2：x＝2py(p>0)的
ab焦点到双曲线C1 的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为( )
22
A．x＝4y B．x＝8y
22
C．x＝4 2y D．x＝8 2y
5．记点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆C的距离与到定点A的距离相等的点的轨迹不可能是( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线的一支 D．直线
2
6．(2017年天津)设抛物线y＝4x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为____________．
→→
7．长为3的线段AB的端点A，B分别在x，y轴上移动，动点C(x，y)满足AC＝2CB，则动点C的轨迹方程为________________．
33
8．已知A，B分别是直线y＝x和y＝－x上的两个动点，线段AB的长为2 3，
33
P是AB的中点，则动点P的轨迹C的方程为____________．
9．设F1，F2分别是椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左右焦点． (1)设椭圆C上的点
32
，到F1，F2两点距离之和等于2 2，写出椭圆C的方程； 22
xa2
yb2
(2)设过(1)中所得椭圆上的焦点F2且斜率为1的直线与其相交于A，B，求△ABF1的面积；
(3)在(1)的条件下，设点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线l与椭圆相交于M，N两点，直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN，试探究kPM·kPN的值是否与点P及直线l有关，并证明你的结论．
1
2
10．(2016年新课标Ⅲ)已知抛物线C：y＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．
(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；
(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．
2
第8讲 轨迹与方程
1．C
2．A 解析：|QF1|＝|PF1|＋|PQ|＝|PF1|＋|PF2|＝2a， ∴动点Q的轨迹是以F1为圆心，2a为半径的圆．
3．B 解析：方法一(直接法)：设A(x1，y1)，M(x0，y0)，则B(－x1，－y1)，kAM·kBM＝
2
y0－y1y0＋y1y20－y1
· ＝2 x0－x1x0＋x1x20－x1
＝
22－b2x2－b2x2
＋b0－aa1＋b
2
x20－x1
2
2
b2
＝－2.
a方法二(特殊值法)：因为四个选项为确定值，取A(a,0)，B(－a,0)，M(0，b)，可得kAM·kBMb2
＝－2.
ax2y2b4．D 解析：由题意，可得双曲线C1：2－2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，
abaca2＋b2222
即bx±ay＝0.由e＝＝＝2，得b＝a，∴c＝a＋b＝2a.又抛物线C2：x＝
aaapap4cp2py(p>0)的焦点坐标为0，，故焦点到渐近线的距离d＝＝＝2.∴p＝＝4 22
a22a＋b2c2
2.∴抛物线C2的方程为x＝8 2y. 5．D 解析：若点A在圆C内，如图D135(1)，有|PA|＝|PB|，|PA|＋|PC|＝|PB|＋|PC|＝|BC|(为定值)，其轨迹为椭圆；
(1) (2)
(3) 图D135
若点A在圆C外，如图，有|PA|＝|PB|，|PC|－|PA|＝|PC|－|PB|＝|BC|(为定值)，其轨迹为双曲线的一支；
若点A与圆C的圆心重合，如图，其轨迹为圆； 若点A在圆C上，其轨迹为射线．故选D.
22
6．(x＋1)＋(y－3)＝1 解析：如图D136，圆心C的坐标设为(－1，b)，显然半径r＝1，又∠FAC＝120°，则∠FAO＝30°，OF＝1，则OA＝b＝3.所以圆的方程为(x＋1)2
2
＋(y－3)＝1.
3
图D136
2
y→→222
7．x＋＝1 解析：设A(a,0)，B(0，b)，则a＋b＝9.又C(x，y)，则由AC＝2CB，
4
x－a＝－2x，
得(x－a，y)＝2·(－x，b－y)．即
y＝2b－2y，
a＝3x，
即3
b＝y，2
代入a＋b＝9，并整
22
理，得x＋＝1.
4
8.＋y＝1 解析：设P(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 9
2
y2
2
x2
x＋xx＝2，∵P是线段AB的中点，∴y＋yy＝2.1
2
1
2
①
∵A，B分别是直线y＝∴y1＝
33
x和y＝－x上的点， 33
33
x1，y2＝－x2. 33
x1－x2＝2 3y，
代入①，得2 3
y1－y2＝x.3
2
②
→22
又|AB|＝2 3，∴(x1－x2)＋(y1－y2)＝12.
422
∴12y＋x＝12.
3∴动点P的轨迹C的方程为＋y＝1.
99．解：(1)由于点
2
x2
32
，在椭圆上， 22
2
23
22
所以a＋b＝1，
2a＝2 2.
2
2
a＝2，
解得2
b＝1.
2
故椭圆C的方程为＋y＝1.
2
(2)由(1)知椭圆C的左、右焦点分别为F1(－1,0)，F2(1，0)，|F1F2|＝2， 所以过椭圆的焦点F2且斜率为1的直线方程为y＝x－1.
x2
2
4
将其代入＋y＝1，整理，得3x－4x＝0.
2
4
解得x1＝0，x2＝.
3
41
当x1＝0时，y1＝－1；当x2＝时，y2＝.
33111114
SABF1＝SAF1F2＋SBF1F2＝|F1F2|·|y1|＋|F1F2|·|y2|＝×2×1＋×2×＝.
222233(3)过原点的直线l与椭圆＋y＝1相交的两点M，N关于坐标原点对称， 2
设M(x0，y0)，N(－x0，－y0)，P(x，y)，
得＋y＝1，＋y＝1. 22
y2－y210
两式相减，得22＝－，
x－x02y－y0y＋y0
又∵kPM＝，kPN＝，
x－x0x＋x0
y－y0y＋y0y2－y210
∴kPM·kPN＝·＝22＝－.
x－x0x＋x0x－x02
故kPM·kPN的值与点P的位置无关，同时与直线l无关．
1a2b210．(1)证明：由题设知F，0.设l1：y＝a，l2：y＝b，则ab≠0，且A，a，B，b. 222
111a＋b. 则P－，a，Q－，b，R－，2222
记过A，B两点的直线为l，
则直线l的方程为2x－(a＋b)y＋ab＝0. 由于F在线段AB上，故1＋ab＝0. 记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，
a－ba－b1－ab则k1＝＝＝＝－b＝k2. 2＝2
1＋aa－abaa所以AR∥FQ.
(2)解：设直线l与x轴的交点为D(x1,0)，
111|a－b|则S△ABF＝|b－a||FD|＝|b－a|x1－，S△PQF＝. 2222
1|a－b|1由题设可得2×|b－a|x1－＝， 222
所以x1＝0(舍去)，x1＝1.
方法一，设满足条件的AB的中点为E(x，y)． 当AB与x轴不垂直时，
2y由kAB＝kDE，可得＝(x≠1)．
a＋bx－1
a＋b2而＝y，所以y＝x－1(x≠1)．
2
当AB与x轴垂直时，E与D重合．
2
故所求轨迹方程为y＝x－1. 方法二，利用点差法，设A(x1，y1)，B(x2，y2), AB的中点为E(x，y)，直线AB过点D(1,0)．
2y1＝2x1，22由2两式相减得y1－y2＝(y1＋y2)(y1－y2)＝2(x1－x2)，当AB与x轴不垂直y2＝2x2
时，
x2
22
x2
2
x20
2
0
x2
2
5
y1－y2221y－0
＝＝＝＝kDE＝(x≠1)， x1－x2y1＋y22yyx－12
整理，得y＝x－1(x≠1)．
2
当AB与x轴垂直时，E与D重合，故所求轨迹方程为y＝x－1.
得kAB＝
6
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