求离心率的取值范围方法总结

求离心率的取值范围

椭圆的离心率

，双曲线的离心率

，抛物线的离心率

。求椭圆与双曲线离

心率的范围是圆锥曲线这一章的重点题型。求离心率的取值范围涉及到解析几何、平面几何、代数等多个知识点，综合性强方法灵活,解题关键是挖掘题中的隐含条件，构造不等式。 下面从几个方面浅谈如何确定椭圆、双曲线离心率e的范围. 一、利用曲线的范围，建立不等关系

例1． 设椭圆的左右焦点分别为

、

,如果椭圆上存在点P,

使,求离心率e的取值范围.

例2．已知椭圆

x22a2yb21(ab0)右顶为A，点P在椭圆上,O为坐标原点，且OP垂直于PA，求椭圆的离心率e的取值范围。

二、利用曲线的平面几何性质，建立不等关系

例1．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足

的点P总在椭圆内部，则椭圆离心率

的取值范围是（ ）

Ａ．(0,1) Ｂ．(0,1] Ｃ．(0,22) Ｄ．[222,1) 例2．直线L过双曲线的右焦点，斜率k=2。若L与双曲线的两个交点分别在左、右

两支上，求双曲线离心率的取值范围。

例3。 已知F1、F2分别是双曲线

的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲

线交于A、B两点。若△ABF2是锐角三角形,求双曲线的离心率的取值范围。

例4.设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2,使|A1B1|＝|A2B2｜，其中A1,B1和A2，B2分别是这对直线与双曲线C的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是（ )．

23，223，223，23，A．3 B．3 C．3 D．

3 例5。 过双曲线的左焦点F1且与双曲线的实轴垂直的直线交双曲线于A、B两点,若在双曲线的虚轴所在直线上存在一点C，使得ACB900，双曲线的离心率e的取值范围为_______________

三、利用曲线的定义和焦半径范围,建立不等关系

例1．已知双曲线的左右焦点分别为

、

，点P在双曲线的右支上,

且,求此双曲线的离心率e的取值范围。

22例2．已知双曲线

xa2yb21(a0,b0)的左、右焦点分别为F1(c,0),F2(c,0)．若双曲线上存在点P使

sinPF1F2sinPFa，求该双曲线的离心率的取值范围。 2F1c

四、利用点与圆锥曲线的位置关系，建立不等关系

x2y2例1.已知ABC的顶点B为椭圆a2b21(ab0)短轴的一个端点，另两个顶点也在椭圆

上，若ABC的重心恰好为椭圆的一个焦点F(c,0)，求椭圆离心率的范围.

五、利用判断式,建立不等关系

例1.在椭圆x2y2a2b21(ab0)上有一点M，F若MF21,F2是椭圆的两个焦点，1MF22b,

求椭圆的离心率。的范围。

例2．设双曲线

与直线

相交于不同的点A、B。求双曲线的离心率e

的取值范围。

六、利用均值不等式，建立不等关系。

例1. 已知点P在双曲线x2y2|PF1|2a2b21(a0,b0)的右支上，双曲线两焦点为F1、F2，

|PF2|最小值是8a，求双曲线离心率的取值范围.

七、利用函数的值域，建立不等关系

1。设a1,则双曲线x2y2例a2(a1)21的离心率e的取值范围是（ ） Ａ．(2,2) Ｂ．(2,5) Ｃ．(2,5) Ｄ．(2,5)

x2y2例2.椭圆a2b21(ab0)与直线xy10相交于A、B两点，且OAOB0（O为

原点）,若椭圆长轴长的取值范围为

5,6，求椭圆离心率的范围.

八、利用三角函数有界性，建立不等关系

x2y2例1。双曲线a2b21(a0,b0)的两个焦点为F1,F2，若P为其上一点，且PF12PF2，

则双曲线离心率的取值范围是（ ） Ａ．(1,3) Ｂ．(1,3] Ｃ．(3,) Ｄ．[3,)