坐标与参数方程题型解题方法

Ⅰ复习提问

1、 极坐标系和直角坐标系有什么区别？学校老师课堂如何讲解极坐标参数方程的？ 2、 如何把极坐标系转化为直角坐标系？

答：将极坐标的极点O作为直角坐标系的原点，将极坐标的极轴作为直角坐标系x轴的正半轴。如果点P在直角坐标系下的坐标为（x，y），在极坐标系下的坐标为(,), 则有下列关系成立：

cos

xsiny

3、 参数方程xrcosyrsin表示什么曲线？

4、 圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程是什么？ 5、 极坐标系的定义是什么？

答：取一个定点O，称为极点，作一水平射线Ox，称为极轴，在Ox上规定单位长度，这样就组成了一个极坐标系设OP=，又∠xOP=.

和的值确定了，则P点的位置就确定了。叫做P点的极半径，

叫做P点的极角，(,)叫做P点的极坐标（规定写在前，写在后）。显然，每一对实数(,)决定平面上一个点的位置 6、参数方程的意义是什么？

Ⅱ 题型与方法归纳

1、 题型与考点（1）

极坐标与普通方程的互相转化极坐标与直角坐标的互相转化

（2）

参数方程与普通方程互化参数方程与直角坐标方程互化

利用参数方程求值域参数方程的几何意义 (3) 

2、解题方法及步骤 （1）、参数方程与普通方程的互化

化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t，先确定一个关系xft（或yg(t)，再代入普通方程Fx,y0，求得另一关系yg(t)（或xft）.一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标）

ttx22（t为参数）例1、方程表示的曲线是（ ） tty22A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆

解析：注意到2与2互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含t的项，

tt

tx2y22t2t2t2t4，22即有

y2x24，又注意到

.显4y2）2t0，2t2t22t2t2，即y2，可见与以上参数方程等价的普通方程为y2x2（然它表示焦点在y轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B

练习1、与普通方程xy10等价的参数方程是（ ）（t为能数）

2xsintxtgtxcostx1tA.B.C.D. 222ycosty1tgtysintyt2解析：所谓与方程xy10等价，是指若把参数方程化为普通方程后不但形式一致而且x,y的变

化范围也对应相同，按照这一标准逐一验证即可破解.

对于A化为普通方程为x2y10，x11，，，y01； 对于B化为普通方程为x2y10，xR，y(，1]； 对于C化为普通方程为x2y10，x[0，)，y(，1]; 对于D化为普通方程为x2y10，x11，，，y01.

而已知方程为x2y10，xR，y(，显然与之等价的为B. 1]，练习2、设P是椭圆2x23y212上的一个动点，则x2y的最大值是 ，最小值为 . 分析：注意到变量x,y的几何意义，故研究二元函数x2y的最值时，可转化为几何问题.若设（对于t取不同的值，方程表示不同的直线），显然x,y既x2yt，则方程x2yt表示一组直线，

2x23y212满足2x3y12，又满足x2yt，故点x,y是方程组的公共解，依题意得直线

x2yt与椭圆总有公共点，从而转化为研究消无后的一元二次方程的判别式0问题.

解析：令x2yt，对于x,y既满足2x23y212，又满足x2yt，故点x,y是方程组

222x23y2122222的公共解，依题意得11y8ty2t120，由64t4112t120，x2yt解得：22t22，所以x2y的最大值为22，最小值为22.

（2）、极坐标与直角坐标的互化

利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，这二者互化的前提条件是（1）极点与原点重合；（2）极轴与x轴正方向重合；（3）取相同的单位长度.设点P的直角坐标为x,y，它的极坐标

2x2y2xcos为,，则 ；若把直角坐标化为极坐标，求极角时，应注意判断点或yysintgxP所在的象限（即角的终边的位置），以便正确地求出角.

例2、极坐标方程4sin225表示的曲线是（ ）

A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线的一支 D. 抛物线

分析：这类问题需要将极坐标方程转化为普通方程进行判断.

1cos22c，os化为5直角坐标系方程为

22252x2y22x5，化简得y25x.显然该方程表示抛物线，故选D.

42练习1、已知直线的极坐标方程为sin，则极点到该直线的距离是

42解析：由4sin42

222sincos解析：极点的直角坐标为o0,0，对于方程sin22，可得42sincos1，化为直角坐标方程为xy10，因此点到直线的距离为

2 2练习2、极坐标方程2cos0转化成直角坐标方程为（ ）

A．x2y20或y1 B．x1 C．x2y20或x1 D．y1 分析：极坐标化为直解坐标只须结合转化公式进行化解. 解析：(cos1)0,练习3、点M的直角坐标是(1,x2y20,或cosx1，因此选C.

3)，则点M的极坐标为（ ）

2) D．(2,2k),(kZ) A．(2,) B．(2,) C．(2,33332),(kZ)都是极坐标，因此选C. 解析：(2,2k3（3）、参数方程与直角坐标方程互化

x210cos例题3：已知曲线C1的参数方程为（为参数），曲线C2的极坐标方程为

y10sin2cos6sin．

（1）将曲线C1的参数方程化为普通方程，将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）曲线C1，C2是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由．

x210cos解：（1）由得

y10sin

(x2)2y210

∴曲线C1的普通方程为(x2)y10 ∵2cos6sin ∴2cos6sin

∵xy,xcos,ysin

∴xy2x6y，即(x1)(y3)10 ∴曲线C2的直角坐标方程为

2222222222(x1)2(y3)210

（2）∵圆C1的圆心为(2,0)，圆C2的圆心为(1,3) ∴C1C2∴两圆相交

(21)2(03)232210

设相交弦长为d，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段C1C2 ∴()(

d22322)(10)2 2

∴d22

∴公共弦长为22 练习1、坐标系与参数方程.

x32cos(为参数，0≤<2π)， 已知曲线C：y12sin（Ⅰ）将曲线化为普通方程；

（Ⅱ）求出该曲线在以直角坐标系原点为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系下的极坐标方程． 解析：（Ⅰ）x2y223x2y0

（Ⅱ）23cossin

（4）利用参数方程求值域



1x22tx1cos2(t为参数）例题4、在曲线C1：的(为参数）上求一点，使它到直线C2：1ysiny1t2距离最小，并求出该点坐标和最小距离。 解：直线C2化成普通方程是x+y-22-1=0

C设所求的点为P（1+cos,sin) 则C到直线C2的距离d=

|1cossin221|2

AEOBD =|sin(+

)+2| 4F35当时，即=时，d取最小值1

424此时，点P的坐标是（1-

22，-）

22练习1、在平面直角坐标系xOy中，动圆x2+y2-8xcos-6ysin+7cos2+8=0（R）的圆心为P(x,y) ，求2x-y的取值范

x4cos, （为参数，R） 于是.解：由题设得y3sin

2xy8cos3sin73cos()，

所以 73≤2xy≤73.

3x5t2练习2、已知曲线C的极坐标方程是2sin，设直线L的参数方程是． ,（t为参数）

4yt5 （Ⅰ）将曲线C的极坐标方程转化为直角坐标方程；

（Ⅱ）设直线L与x轴的交点是M，N曲线C上一动点，求MN的最大值.

解：（1）曲线C的极坐标方程可化为：

22sin

又 x2y22,xcos,ysin.

所以，曲线C的直角坐标方程为：

x2y22y0.

（2）将直线L的参数方程化为直角坐标方程得：y 令 y0 得 x2即M点的坐标为(2,0)

又曲线C为圆，圆C的圆心坐标为(0,1)，半径r1， 则MC4(x2) 35

51

∴MNMCr

（5）直线参数方程中的参数的几何意义

例5、已知直线l经过点P(1,1),倾斜角①写出直线l的参数方程;

②设l与圆xy4相交与两点A,B，求点P到A,B两点的距离之积.

226，

3x1tcosx1t62 解 （1）直线的参数方程为，即．

y1tsiny11t623x1t222 （2）把直线代入xy4， y11t2得(1321t)(1t)24,t2(31)t20，t1t22， 22则点P到A,B两点的距离之积为2．

4x1t5练习1、求直线（t为参数）被曲线2cos()所截的弦长. 4y13t54x1t5，解：将方程y13t52cos(4)分别化为普通方程：

3x4y10，x2y2xy0,

1121117圆心C（，－），半径为圆心到直线的距离d＝，弦长＝2r2d22.

2221021005（6）、参数方程与极坐标的简单应用

参数方程和极坐标的简单应用主要是：求几何图形的面积、曲线的轨迹方程或研究某些函数的最值问题.

例6、已知ABC的三个顶点的极坐标分别为A5，，B5，，C43，,判断三角形ABC

623的三角形的形状，并计算其面积.

分析：判断△ABC的形状，就需要计算三角形的边长或角，在本题中计算边长较为容易，不妨先计算边长.

55解析：如图，对于AOB，BOC， ，AOC366又OAOB5,OC43，由余弦定理得：

B A O x C 2ACOAOC2OAOCcosAOC54322222543cos5 6133，AC133，同理，BC133，ACBC，ABC为等腰三角形，又ABOAOB5，所

以AB边上的高hAC211336531133AB5, SABC

222422练习1、如图，点A在直线x=5上移动，等腰△OPA的顶角∠OPA为120°（O，P，A按顺时针方向排列），

求点P的轨迹方程.

解析：取O为极点，x正半轴为极轴，建立极坐标系，则 y 直线x5的极坐标方程为cos5，设A（0，0），P,，因点 P A cos5上，0cos051 OPA为等腰三角 O x A形

在直线，

且

OPA120，而OP，OA0，以及POA30

03，且0302，把<2>代入<1>，得点P的轨迹的极坐标方程为：

3cos305.

1．把方程xy1化为以t参数的参数方程是（ ）

1xsintxcostxtantxt2A． B． C． D．1 111yyyyt2tantsintcost解析：D xy1，x取非零实数，而A，B，C中的x的范围有各自的限制

2．曲线x25t(t为参数)与坐标轴的交点是（ ）

y12t2512151259(,0) B．(0,)、(,0) C．(0,4)、(8,0) (8,0) D．(0,)、A．(0,)、解析：B 当x0时，t211，而y12t，即y，得与y轴的交点为(0,)； 555111当y0时，t，而x25t，即x，得与x轴的交点为(,0)

2223．直线A．

x12t(t为参数)被圆x2y29截得的弦长为（ ）

y2t1212995 D．10 5 C． B．5555x15tx12t解析：B y2ty15t2x12t5，把直线代入 1y2t5x2y29得(12t)2(2t)29,5t28t40

12816125 t1t2(t1t2)24t1t2()2，弦长为5t1t25555

x4t2(t为参数)上， 4．若点P(3,m)在以点F为焦点的抛物线y4t则PF等于（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

解析：C 抛物线为y4x，准线为x1，PF为P(3,m)到准线x1的距离，即为4

2x2pt25．已知曲线(t为参数,p为正常数)上的两点M,N对应的参数分别为t1和t2,，且t1t20，

y2pt那么MN=_______________。

解析：4pt1 显然线段MN垂直于抛物线的对称轴。即x轴，MN2pt1t22p2t1

6．圆的参数方程为x3sin4cos(为参数)，则此圆的半径为_______________。

y4sin3cos解析： 由x3sin4cos得x2y225 故半径为5

y4sin3cos1ttx(ee)cos27．分别在下列两种情况下，把参数方程化为普通方程：

y1(etet)sin2（1）为参数，t为常数；（2）t为参数，为常数； 解：（1）当t0时，y0,xcos，即x1,且y0； 当t0时，cosx1tt(ee)2,siny1tt(ee)2y2

而sin2cos1，即

2x21t(eet)241t(eet)241

（2）当k,kZ时，y0，x1t(eet)，即x1,且y0； 21tt当k,kZ时，x0，y(ee)，即x0；

222x2x2ytttee2ekcoscossin,kZ时，得当，即

2etet2y2et2x2ysincossin得2e2ett(2x2y2x2y)() cossincossinx2y21。 即

cos2sin2

8．过点P(10,0)作倾斜角为的直线与曲线x212y21交于点M,N， 2求PMPN的值及相应的的值

10tcosx解：设直线为(t为参数)，代入曲线并整理得 2ytsin(1sin2)t2(10cos)t30 232则PMPNt1t2 1sin232所以当sin1时，即，PMPN的最小值为，此时

2429．参数方程xcos(sincos)(为参数)表示什么曲线？

ysin(sincos)yy2112,cos解：显然tan，则21 22yxxcos12x xcossincos2y1x即xy2212x2112tan2sin2cos2cos 2221tany11y2yx,x(1)1 222yyxx1212xxy2y1，即x2y2xy0 得xxxⅣ 温故强化

1．下列在曲线xsin2(为参数)上的点是（ ）

ycossin31,) C．(2,3) D．(1,3) 42312解析：B 转化为普通方程：y1x，当x时，y

42A．(,2) B．(2x2sin(为参数)化为普通方程为（ ） 2．将参数方程2ysin12A．yx2 B．yx2 C．yx2(2x3) D．yx2(0y1) 解析：C 转化为普通方程：yx2，但是x[2,3],y[0,1]

3. 若A3，，B3，，则|AB|=___________，SAOB___________。（其中O是极点）

36解析：在极坐标系中画出点A、B，易得AOB150

AOB中，由余弦定理，得：AB2OA2OB22OAOBcosAOB AB3232233cos15018933233262

S12OAOBsinAOB19OAB233sin1504

4．直线x212t(t为参数)被圆x2y24截得的弦长为______________ y112t解析：

14 直线为xy10，圆心到直线的距离d1222，22(22)2142，得弦长为14 5. 直线xx0ty（t为参数）上任一点P到P0x0，y0的距离为__________

y03t解析：所求距离为2|t|（把直线的参数方程化为标准形式）

6. 若Fx2y21、F2是椭圆25161的焦点，P为椭圆上不在x轴上的点，则PF1F2的重心G 的轨迹方程为____________。

解析：设Gx，y，P5cos，4sin，而F13，0，F23，0 5cos3 由重心坐标公式，得：x35cos33sin（为参数） y4sin00343 消参，得点G的轨迹方程为9x29y225161

7. 若方程mcos23sin26cos0的曲线是椭圆，求实数m的取值范围。

弦长的一半为解析：将方程两边同乘以，化为： mcos3sin6cos0

即mx23y26x03xm 整理，得：9222y21 3mm2若方程表示椭圆，则m须满足：9m203 0m0且m3m0，33，

m39m2mx2y21上一点P与定点（1，0）之间距离的最小值 8. 求椭圆94解析：（先设出点P的坐标，建立有关距离的函数关系）

设P3cos，2sin，则P到定点（1，0）的距离为

d3cos12sin0223165cos6cos55cos5522

当cos345时，d)取最小值 55x2y21上找一点，使这一点到直线x2y120的距离的最小值。 9．在椭圆

16124cos43sin12x4cos解析：设椭圆的参数方程为，d

5y23sin 4545cos3sin32cos()3 553 当cos(

3)1时，dmin45，此时所求点为(2,3)。 5x1t(t为参数)和直线l2:xy230的交点P的坐标，及点P 10．求直线l1:y53t与Q(1,5)的距离。

解析：将x1t代入xy230得t23，

y53t22得P(123,1)，而Q(1,5)，得PQ(23)643