第２７卷第３期 ２０１３年９月 黑龙江工程学院学 报（自然科学版） Ｖｏ１．２７，Ｎｏ．３ Ｓｅｐ．，２０１３ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｈｅｉｌｏｎｇｊ ｉａｎｇ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ 是转 不同缓和曲线坐标计算方法 徐卫国，龙振华，余周武 （湖北水利水电职业技术学院，湖北武汉４３００７０） 摘耍：在公路、铁路、桥梁等工程中，缓和曲线应用较多。用全站仪或ＲＴＫ放样时，有大量的坐标需要编程计算。 但在现代线路设计中，由于应用了较多复杂的缓和曲线，传统的坐标计算方法变得困难。结合实际情况，分析不同 缓和曲线的特点，提出对每一段线元，一律基于起始切点建立坐标系，计算坐标，统一计算方法。 关键词：缓和曲线；连接方式；曲线坐标系；坐标计算 中图分类号：Ｐ２１５ 文献标志码：Ａ 文章编号：１６７１—４６７９（２０１３）０３—００２０—０４ Ｍｅｔｈｏｄｓ ｏｆ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｉｏｎ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｓｐｉｒａｌ ｃｕｒｖｅｓ ＸＵ Ｗｅｉ—ｇｕｏ。ＬＯＮＧ Ｚｈｅｎ－ｈｕａ．ＹＵ Ｚｈｏｕ—ｗｕ （Ｈｕｂｅｉ Ｗａｔｅｒ Ｒｅｓｏｕｒｃｅｓ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｉｃａｌ Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｗｕｈａｎ ４３００７０，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｓｐｉｒａｌ ｃｕｒｖｅｓ ａｒｅ ａｐｐｌｉｅｄ ｆｒｅｑｕｅｎｔｌｙ ｔｏ ｔｈｅ ｐｒｏｊ ｅｃｔ ｏｆ ｈｉｇｈｗａｙ，ｒａｉｌｒｏａｄ，ｂｒｉｄｇｅ，ａｎｄ ＳＯ ｏｎ．Ａ ｌａｒｇｅ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｉｏｎｓ ｎｅｅｄ ｔｏ ｂｅ ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ ｆｏｒ ｐｏｓｉｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｔｏｔａｌ ｓｔａｔｉｏｎ ｉｎｓｔｒｕｍｅｎｔ ｏｒ ＧＰＳ－ＲＴＫ．Ｂｕｔ ｓｉｎｃｅ ｍｏｒｅ ｃｏｍｐｌｉｃａｔｅｄ ｓｐｉｒａｌ ｃｕｒｖｅｓ ａｒｅ ａｐｐｌｉｅｄ ｔｏ ｔｈｅ ｍｏｄｅｒｎ ｒｏｕｔｅ ｄｅｓｉｇｎ，ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ ｍｅｔｈｏｄｓ ｏｆ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｉｏｎ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｂｅｃｏｍｅ ｍｏｒｅ ａｎｄ ｍｏｒｅ ｄｉｆｆｃｕｌｔ．Ｃｏｍｂｉｎｉｎｇ ｗｉｔｈ ａｃｔｕａｌ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ，ｉｔ ａｎａｌｙｚｅｓ ｔｈｅ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ｏｆ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｓｐｉｒａｌ ｃｕｒｖｅｓ ａｎｄ ｐｒｏｐｏｓｅｓ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄｓ ｏｆ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｗｈｉｃｈ ａｌｌ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｆｉｒｓｔ ｐｏｉｎｔ ｏｆ ｔａｎｇｅｎｃｙ ａｎｄ ａｌｌ ｔｈｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｕｎｉｆｉｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｓｐｉｒａｌ ｃｕｒｖｅｓ；ｌｉｎｋｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄ；ｃｕｒｖｅｓ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｓｙｓｔｅｍ；ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ 在公路、铁路、立交桥等工程中，线路的方向 不断变化的，为了保证线路从一个方向平滑地 到另一个方向，在两段不同方向的线路间要插 入一段缓和曲线来过渡。由于地形的复杂多样 性，空间位置的条件不一样，在现代线路设计中， 不同连接形式的缓和曲线及其坐 标计算方法 １．１完整型缓和曲线 缓和曲线一端和直线相连，另一端和圆曲线相 连，这种连接形式的特点是缓和曲线的曲率半径从 常常采用多种连接方式的缓和曲线来适应这种变 化。这些连接方式，有些是常用的形式，有些是非 无穷大变化到有限值，或者从有限值变化到无穷 大，如图１所示。 常用的，对于这些缓和曲线的坐标计算，传统的做 法是寻找或推算曲率为０的点建立坐标系，并计 算坐标，但对于半截缓和曲线及反向缓和曲线而 言，这种做法应用起来计算量很大，并且比较繁 琐。本文全面分析了现代线路设计中用到的缓和 曲线，提出了对于每一段线元，一律基于起始切点 建立坐标系，计算坐标，统一计算方法，这种做法 比较符合工程实际情况。 图１常见型曲线 收稿日期：２０１３－０４—１９ 作者简介：徐卫国（１９６６），男，硕士研究生，研究方向：工程测量 对这类缓和曲线坐标的计算，在很多文献上有 介绍，对于第一段缓和曲线（ＺＨ～Ｈｙ段）基本思路 是以直缓点（ＺＨ）为原点，切线方向为ｘ轴，过切点 第３期 徐卫国，等：不同缓和曲线坐标计算方法 ・２１ ・ 的法线为ｙ轴，建立曲线坐标系，见图２。在该坐标 系中，按式（１）计算缓和曲线各点的坐标，再根据切 线的方位角及切点的施工坐标，将曲线坐标系下的 坐标转换成施工坐标。 ， Ｚ 一 一 ， 一 ， ， 一 Ｚ ｙｉ一６Ｒｌ，Ｚ ６Ｃ—・ … Ｌ１） ０ 式中：ｚ 为点ｉ至缓和曲线起点（Ｒ一∞）的曲线长 图４不同线元坐标系 度， 为缓和曲线总长，尺为圆曲线半径，Ｃ为缓和 曲线曲率半径变化率。 图２曲线坐标系 对于第二段缓和曲线（ｙＨ～ＨＺ段），传统的做 法是以ＨＺ（缓直）点为原点，另建立坐标系，计算本 部分坐标。这种方法不利于按里程顺序计算，本文 提出以第一个切点ＹＨ（圆缓）点为原点建立坐标 系，按式（５）计算。 １．２圆曲线一缓和曲线一圆曲线连接 两不同半径圆曲线之间通过一段缓和曲线直 接连接，缓和曲线为半截曲线，如图３所示。这种线 型，外形美观，变向快，能够适应特殊地形。 图３ 圆一缓一圆连接形式 建立以其起始切点为原点、切线方向为Ｘ轴、 法线方向为ｙ轴的曲线坐标系，如图４所示。 坐标计算方法根据曲率半径变化不同分两种 情况：一种随里程增大而减小，称为顺延式缓和曲 线；另一种随里程增加而增大，称为逆延式缓和曲 线，它们的坐标计算公式不一样。 １．２．１顺延型缓和曲线 曲率半径随里程增加而减小情况，缓和曲线上 任一点在曲线系下的坐标为 ｚ —Ａｃｏｓ／／１ ４－Ｂｓｉｎ／￣ｌ， ｙｉ＝＝＝一Ａｓｉｎ／？￣＋ＢｃＯＳｐ１． （２） 其中， Ａ一［（ 一ｚ ）一 ］， Ｂ一 ６ｃ一 ６ｃ． ㈤ ３ 式（３）是通过定积分推导的，其中Ｚ ，Ｚ 分别为曲线 起点和点ｉ到缓和曲线首点（Ｒ—ｏｏ）的曲线长度， Ｚ 一Ｒ。Ｃ，Ｃ为缓和曲线曲率半径变化率 ｃ—ｌ １． ㈤ 式中：Ｒ ，Ｒ 为缓和曲线起点和终点的曲率半径， ｚ ， 为起点和终点至缓和曲线首点（Ｒ一。。）的曲线 长度，Ｐｌ一譬 为起点的缓和曲线倾角。 １．２．２逆延型缓和曲线 曲率半径随里程增大而增大情况： ｚ…ＡｃＯｓｐｌ Ｂｓｉｎ／？￣・ 一一Ａｓｉｎ／？￣＋Ｂｃｏｓ／？￣． （５） 式中：各符号的意义与１．１中相同。 １．３两段缓和曲线直接相连 一段缓和曲线和另一段缓和曲线同向（或反 向）直接连接，如图５所示。这种连接形式变向快， 需要的过渡空间小，线型美观，在现代高速公路及 立交桥上应用较广。 图５缓和曲线一缓和曲线 这种连接形式的曲线，看似比较复杂，实际上 有一个特点，就是两曲线在连接点处有共同的切 线，而且在切点处，两缓和曲线的半径都是无穷大， 这个特征和缓和曲线与直线相连本质是一样的，因 此，坐标计算方法和情况一相同。 以切点为原点，切线方向为Ｘ轴，法线方向为 黑龙江工程学院学报（自然科学版） 第２７卷 Ｙ轴，建立如图６所示的曲线坐标系。 』 便，计算方法参照式（５）。 以上各种情况下曲线系的坐标公式是以曲线 左偏（曲线位于切线左边）为基础推导的，对于曲线 右偏情况，只要将计算的“ｙ”值前加负号就可以通 ／／—一０ 用了。 ２ 施工坐标的转换 计算了曲线系下的坐标后，根据切点 在施丁 图６曲线坐标系 坐标系下的坐标Ｏ（ｘ ， ）及切线Ｘ轴的方位角ａ， 将曲线坐标系下的坐标转换到施Ｔ坐标系下的坐标 Ｘ 一，２７ 一 ｓｉｎ（ａ一９０）＋ ｓｉｎ（ａ一９０）， Ｙ ＝＝＝ ＋ ＣＯＳ（＠一９０）＋ ，ｓｉｎ（ａ ９０）．（７） 对于ｙ轴右边部分的曲线，其坐标计算方法和 第一种情况相同，设其上任一点的里程为Ｓ 的里程为Ｓ。，任一点坐标计算公式为 Ｘｉ一（ｓ。一Ｓｏ）一 ， ０ ３ 计算实例 下面是“武汉左岭至鄂州花湖公路Ｔ程”平面 ㈦Ｏ 一— 一 ・ ． 元素表节选（见表１），应用式（７）计算几段缓和曲线 的细部坐标，验算了公式的正确性。 应用ＣＡＣＩＳＯｆｘ－４５００计算器，将前面的公式编 程，计算各部分坐标见表２。从结果可以看出，坐标 计算完全正确。 ｙ轴左边部分曲线是曲率半径从有限值到无穷 大的一段缓和曲线，其坐标虽然可以在此坐标系下 计算，但按起始切点为原点的坐标系下计算更方 表１线路曲线元素 表２曲线细部点坐标 第３期 徐卫国，等：不同缓和曲线坐标计算方法 ・２３・ ４００ ２５３． ９０３ ３０９． ９０５ ３．１４４ ５．７２ ８ ９３４．７１ ７ ３９８．４１８ ７ ４２５．０２５ ４５６．０６２ ８ ８８５．３６４ （比较） 略 网曲线 缓和曲线 ｋ１＋ ７２３．３０８ ７５０ ８００ ９００ ７ ９４９．２４６ ２６． ６９２ ７６． ６８５ １７６． ５９８ ０．１ｌ７ ０．９９３ ５．０９３ ８ ２６３．１ ８ ２８４．９８ ８ ３２６．３３７ （已知） ７ ９３３．９５６ ７ ９０５．８５６ ７ ８５１．６１７ 左偏 ８ ４１０．３４７ ７ Ｏ Ｏ Ｏ Ｏ ７ Ｏ Ｏ Ｏ Ｏ ７ ｍ 籼 娜 ９４，３．３０８ ２１９． ８２５ ７．７４ ７ ８２８．８６５ ８ ４４７．１９６ （比较） 圆曲线 略 缓和曲线 ｋ４＋ １８６．２２８ ７ ２４４．５１３ １０ ５８２．３３６ （已知） ２００ １３． ７７２ ０．Ｏ２３ ７ ２４４．７１８ １Ｏ ５９６．１０６ ３００ １１３． ７６０ １．４４２ ７ ２４７．４５７ １Ｏ ６９６．０６７ 左偏 ４００ ２１３． ７１１ ４．５４８ ７ ２５１．８８３ １０ ７９５．９６８ ５００ ３ｌ３． ６２８ ８．６２７ ７ ２５７．２８ｌ １０ ８９５．８２３ ５３６．２２８ ３４９． ８２１ １０．２０５ ７ ２５９．３３８ １Ｏ ９３１．９９２ （比较） 缓和曲线 ｋ４＋ ５５０ １３． ７７２ ｎ ７ ２６０．１２３ １０ ９４５．７４２ ６００ ６３． ７７２ ０．０２７ ７ ２６２．９￣３ １Ｏ ９９５．６６２ 右偏 ７００ １６３． ７７１ Ｏ．４５２ ７ ２６８．２１１ １１ Ｏ９５．５２３ Ｂ００ ２６３． ７６０ １．８８８ ７ ２７２．４６９ ｌ１ ｌ９５．４３２ ８９６．２２８ ３５９． ９４２ ４．８００ ７ ２７５．Ｏ３７ ｌ１ ２９１．６２４ （比较） 圆曲线 略 缓和曲线 ｋ７＋ ５８９ ６ ７７４．０４２ １３ ４３２．６６６ （已知） ３２． ４１１ ０．１１３ ６ ７５９．０７１ １３ ４６１．４１２ ８２． ４０７ ０．６９７ ６ ７３５．６１２ １３ ５０５．５６７ １８２． ３７８ ３．０７２ ６ ６８７．６３２ １３ ５９３．３０４ 右偏 ２８２． ３１７ ６．５４３ ６ ６３８．６９３ １３ ６８０．５１０ ５８６ ３５９． ８４６ ９．５９８ ６ ６００．４０６ １３ ７４７．９９４ （比较） 缓和曲线 ｋ７＋ ２２． ４１４ ０．Ｏ０１ ６ ５８９．３３４ １３ ７６７．４８３ １２２． ４１４ ０．１６１ ６ ５４０．０７４ １３ ８５４．５０８ ２２２． ４１０ ０．９６５ ６ ４９１．３７６ １３ ９４１．８４９ 左偏 ３２２． ３９０ ２．９４０ ６ ４４３．７０３ １４ ０２９．７５３ ５８９ ３７９． ９４５ ４．８１３ ６ ４１６．９００ １４ ０８０．７２１ （比较） ４ 结束语 ［３］聂让．全站仪与高等级公路测量ＥＭ］．北京：人民交通出 版社，１９９９：３０１ ３０５． 在线路工程中，当有大量的缓和曲线时，要仔 Ｆ－４］常砚阁．简明道路路线设计与设计手册［Ｍ］．北京：人民 细分析每段缓和曲线的连接形式，根据不同的形 交通出版社，１９９６：２－３． 式，选用对应的公式，计算以起始切点为原点的曲 ［５］同济大学数学系．高等数学ＥＭ３．上海：同济大学出版社， ２００９：６５ ６８． 线系下的坐标，然后转换成施工坐标。计算公式尽 Ｅ６］徐卫国，肖伦波．立交匝道中线坐标的计算［Ｊ］．工程地球 管有多个，但应用编程型计算器，利用条件转移功 物理学报，２００８，５（６）：７４９． 能，可以在一个程序中完成全部计算，计算很简便， ［７］刘家祥．几种缓和曲线的计算方法［Ｊ］．城市勘察，１９９９ 在实际工作中很适用。 （３）：４６—４８． 参考文献 ｒ－８］殷海峰，白征东．缓和曲线坐标计算新法ＥＪ］．测绘科学， ２００９，３４（５）：２３８—２３９． ［１］李青岳，陈永奇．工程测量学ＥＭＪ．北京：测绘出版社， ［９］潘宝玉，李宏伟．ＲＴＫ技术的特点及提高成果精度的技 ２００８：１８２—１８３． 术关键＿Ｊ］．测绘工程，２００３，１２（４）：４６—４７． Ｅ２］张正禄．工程测量学ｒ－Ｍ］．武汉：武汉大学出版社，２００５： ［责任编辑：郝丽英］ １６５ ｌ６６．