【重点高中绝密资料】 对数函数(解析版)

一、课程标准

1、通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，理解对数函数的概念。 2、体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象。 3、探索并了解对数函数的单调性与特殊点。

4、知道指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a＞0，a≠1)。 二、基础知识回顾

1、对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象与性质

底数 图 象 定义域：(0，＋∞) 值域：R 性 质 图象过定点(1，0)，即恒有loga1＝0 当x>1时，恒有y>0； 当01和02、反函数

指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． 对数函数的图象与底数大小的比较

3、如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数． 故0＜c＜d＜1＜a＜b.

当x>1时，恒有y<0； 当00 在(0，＋∞)上是减函数 a>1 0由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．

三、自主热身、归纳总结

1、函数f(x)＝log2(－x2＋22)的值域为(B ) 33

A. －∞，2 B. －∞，2

33C. 2，＋∞ D. 2，＋∞

【答案】B

3

【解析】 由题意可得－x＋22>0，即－x＋22∈(0，22]，得所求函数值域为－∞，2.故选B.

2

2

2、若loga2＜logb2＜0，则下列结论正确的是(B ) A. 0＜a＜b＜1 B. 0＜b＜a＜1 C. a＞b＞1 D. b＞a＞1 【答案】B

log2b－log2a11

【解析】(方法1)由loga2＜logb2＜0，得 0＜a、b＜1，且log2a(方法2)在同一直角坐标系xOy中作出满足条件的函数 y＝logax与y＝logbx的图像，如图所示．B正确，故选B.

23、函数f(x)log2(x3x4)的单调减区间为（ ）

A．(,1) 【答案】A

B．(,)

32C．(,)

32D．(4,)

2【解析】函数fxlog2x3x4,所以 x3x40(x4)(x1)0x4或x1，所

2以函数fx的定义域为x4或x1，yx23x4当(,)时，函数是单调递减，而x1，所以函数fxlog2x3x4的单调减区间为,1，故本题选A。

2324、（2019秋•菏泽期末）已知函数f(x)loga(x1)，g(x)loga(1x)(a0，a1)，则( ) A．函数f(x)g(x)的定义域为(1,1)

B．函数f(x)g(x)的图象关于y轴对称 C．函数f(x)g(x)在定义域上有最小值0 D．函数f(x)g(x)在区间(0,1)上是减函数 【答案】AB．

【解析】f(x)g(x)loga(x1)loga(1x) x10所以，解得1x1，

1x0

函数f(x)g(x)的定义域为(1,1)，故A正确， f(x)g(x)loga(x1)loga(1x)，

所以f(x)g(x)f(x)g(x)，

所以函数f(x)g(x) 是偶函数，图象关于y轴对称，故B正确，

f(x)g(x)loga(x1)loga(1x)loga(x1)(1x)loga(x21) 令tx21，则ylogat，

在x(1,0)上，tx21单调递增， 在x(0,1)上，tx21单调递减， 当a1时，ylogat单调递增，

所以在x(1,0)上，f(x)g(x)单调递增， 在x(0,1)上，f(x)g(x)单调递减， 所以函数f(x)g(x)没有最小值， 当0a1时，ylogat单调递减， 所以在x(1,0)上，f(x)g(x)单调递减， 在x(0,1)上，f(x)g(x)单调递增，

所以函数f(x)g(x)有最小值为f(0)g(0)0，故C错． f(x)g(x)loga(x1)loga(1x)logax12loga(1) 1x1x令t12，ylogat 1x2单调递增， 1x在x(1,1)上，t1当a1时，f(x)g(x)在(1,1)单调递增，

当0a1时，f(x)g(x)在(1,1)单调递减，故D错．

5、(2018苏州期末）已知4a＝2，logax＝2a，则正实数x的值为________． 1

【答案】2

11111

【解析】由4＝2，得2＝2，所以2a＝1，即a＝2.由log2x＝1，得x＝2＝2.

a

2a

1

6、(2018盐城三模）．函数f(x)ln(13x)的定义域为 ▲ ． 【答案】(2,3]

【解析】由题意，13x0，即3x1，即03x1，解得2x3.

四、例题选讲

考点一对数函数的性质及其应用 例1、（1）函数A．C．

的定义域为（ ）

B．D．

1

1（2）已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝log3，则a，b，c的大小关系为( ) 2A．a＞b＞c C．c＞b＞a

B．b＞a＞c D．c＞a＞b

logx，x＞0，2

（3）设函数f(x)＝log1（－x），x＜0.若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是( )

2A．(－1，0)∪(0，1) C．(－1，0)∪(1，＋∞)

B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0，1)

【答案】（1）B（2）D（3）C 【解析】（1）由已知得

，解得

.故选B

1

1（2） 因为c＝log3＝log23>log2e＝a， 2所以c＞a.

1

因为b＝ln 2＝log2e＜1＜log2e＝a， 所以a＞b. 所以c＞a＞b.

a＞0，

（3）由题意得

log2a＞－log2aa＜0，

或logaloga－（－）＞（－），22

解得a＞1或－1＜a＜0.故选C.

(1)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x变式1、

－m|

b＝f(log25)，c＝f(2m)，－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，

则a，b，c的大小关系为 ；

3，x≤0，

(2)已知函数f(x)＝log1x，x>0，则不等式f(x)>1的解集为 ；

3

(3)若函数f(x)＝log(a23)(ax＋4)在[－1，1]上是单调增函数，则实数a的取值范围是 ． 1

【答案】（1）c【解析】 (1)由f(x)＝2|x－m|－1是偶函数可知m＝0，∴f(x)＝2|x|－1.∴a＝f(log0.53)＝2log0.53－1＝2＝2，b＝f(log25)=2log23－1＝2log25－1＝4，c＝f(0)＝2|0|－1＝0，∴c(2)若x≤0，则不等式f(x)>1可转化为3x＋1>1⇒x＋1>0⇒x>－1，∴－10，则不等式f(x)>1可转化11logx1>1⇒x<3，∴02log23x＋1

－1

1

综上，不等式f(x)>1的解集是－1，3.

(3)首先由a2－3>0，可得a>3或a<－3.

1]上是x的增函数，当a>3时，函数g(x)＝ax＋4在[－1，则需a2－3>1，故a>2.又函数g(x)＝ax＋4>0在[－1，1]上恒成立，故g(－1)＝4－a>0，即2当a<－3时，函数g(x)＝ax＋4在[－1，1]上是x的减函数，则需00在[－1，1]上恒成立，故g(1)＝a＋4>0，即－2方法总结：对数函数的性质有着十分广泛的应用，常见的有：比较大小，解不等式，求函数的单调区间和值域、最值等等．

(1)对数值大小比较的主要方法：①化为同底数后利用函数的单调性；②化为同真数后利用图像比较；③借用中间量(0或1等)进行估值比较．

(2)在利用指数函数的性质解决与指数函数相关的问题时，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时须分底数01两种情形进行分类讨论，防止错解．

考点二 对数函数的图像及其应用

例1、（1） [2019·潍坊一模]若函数f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)在R上为减函数，则函数y＝loga(|x|－1)的图像

，∴

，函数为增函数，

是偶函数，

B．D．

是偶函数，则（ ）

可以是(D )

A B C D

1

（2）已知f(x)＝|lgx|，若c>a>b>1，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系是 ． 【答案】（1）D、 （2） f(c)＞f(a)＞f(b)．

【解析】 (1)由f(x)在R上是减函数，知0(－∞，－1)∪(1，＋∞)．∴当x>1时，y＝loga(x－1)的图像由y＝logax的图像向右平移一个单位得到．∴选项D正确．故选D.

（2）先作出函数y＝lgx的图像，再将图像在x轴下方的部分沿x轴翻折到上方，这样，我们便得到了y＝|lgx|的图像．

由图可知，

1f(x)＝|lgx|在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，于是fc＞f(a)＞

11f(b)，而fc＝|lgc|＝|－lgc|＝|lgc|＝f(c)．∴f(c)＞f(a)＞f(b)． 变式1、(1)函数y＝ln(2－|x|)的大致图象为( )

1

(2)当0＜x≤2时，4x＜logax，则a的取值范围是( )

2

A.0，2 C．(1，2)

【答案】（1）A（2）B

2

B.2，1

D．(2，2)

【解析】(1)令f(x)＝ln(2－|x|)，易知函数f(x)的定义域为{x|－2＜x＜2}，且f(－x)＝ln(2－|－x|)＝ln(2－|x|)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，排除选项C、D.由对数函数的单调性及函数y＝2－|x|的单调性知A正确． 11

(2)易知0＜a＜1，函数y＝4x与y＝logax的大致图象如图，则由题意可知只需满足loga2＞42，

22

解得a＞2，∴2＜a＜1，故选B.

变式2、关于函数f(x)|ln|2x||下列描述正确的有( ) A．函数f(x)在区间(1,2)上单调递增

B．函数yf(x)的图象关于直线x2对称

C．若x1x2，但f(x1)f(x2)，则x1x24 D．函数f(x)有且仅有两个零点 【答案】ABD．

【解析】函数f(x)|ln|2x||的图象如下图所示：

由图可得：

函数f(x)在区间(1,2)上单调递增，A正确； 函数yf(x)的图象关于直线x2对称，B正确； 若x1x2，但f(x1)f(x2)，则x1x24，C错误； 函数f(x)有且仅有两个零点，D正确． 故选：ABD．

方法总结： (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．

(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解． 考点三 对数函数的综合及应用 例3、已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)． (1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；

(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． [解] (1)因为f(1)＝1，所以log4(a＋5)＝1，因此a＋5＝4，即a＝－1， 这时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)． 由－x2＋2x＋3＞0，得－1＜x＜3， 即函数f(x)的定义域为(－1，3)．

令g(x)＝－x2＋2x＋3，则g(x)在(－1，1)上单调递增，在(1，3)上单调递减． 又y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，

所以f(x)的单调递增区间是(－1，1)，单调递减区间是(1，3)． (2)假设存在实数a，使f(x)的最小值为0， 则h(x)＝ax2＋2x＋3应有最小值1， a＞0，13a1－因此应有解得a＝2. a＝1，1

故存在实数a＝2，使f(x)的最小值为0. 变式1、 在函数f(x)＝

log1(x2－2ax＋3)中．

2(1)若其在[－1，＋∞)内有意义，求实数a的取值范围； (2)若其在(－∞，1]内为增函数，求实数a的取值范围．

【解】 (1)命题等价于“u＝g(x)＝x2－2ax＋3>0对x∈[－1，＋∞)恒成立”．对函数g(x)的对称轴x0＝a进行

a<－1，a≥－1，

讨论有：或2

g1>0（－）Δ＝4a－12<0，

a<－1，a≥－1，

解得或a>2－－3(2)令g(x)＝x2－2ax＋3，原命题等价于

g（x）在(－∞，1]上为减函数，于是有 ∞1－，(]恒成立，g（x）>0对x∈

x0＝a≥1，a≥1，[1，2). a解得故得实数的取值范围是g（1）>0，a<2，

1－mx

变式2、已知f(x)＝lgx－1是奇函数． (1)求m的值及函数f(x)的定义域；

(2)根据(1)的结果判断f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并证明．

1－mx1＋mx1－m2x2

【解】 (1)∵f(x)为奇函数，∴f(x)＋f(－x)＝0，即lgx－1＋lg－x－1＝lg1－x2＝0， ∴m2x2－1＝x2－1，∴m2＝1.

1＋x1＋x

又当m＝1时，f(x)无意义，∴m＝－1，即f(x)＝lgx－1.由x－1>0，得x<－1或x>1，即函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．

(2)f(x)在(1，＋∞)上单调递减．证明如下：

1＋x1＋x11＋x22（x2－x1）

设g(x)＝x－1，任取12（x2－x1）

∵10，x2－1>0.∴g(x1)－g(x2)＝（x1－1）（x2－1）>0，∴g(x1)>g(x2)． ∴lg[g(x1)]>lg[g(x2)]，即f(x1)>f(x2)． ∴f(x)在(1，＋∞)上单调递减．

方法总结：高考对对数函数的考查多以对数与对数函数为载体，考查对数的运算和对数函数的图像和性质的应用，且常与二次函数、方程、不等式等内容交汇命题．解决此类问题的关键是根据已知条件，将问题转化为(或构造)对数函数或对数型函数，再利用图像或性质求解．

五、优化提升与真题演练

1、已知f(x)lg(10x)lg(10x)，则f(x)是（ ）

A．偶函数，且在(0,10)是增函数 C．偶函数，且在(0,10)是减函数 【答案】C 【解析】由B．奇函数，且在(0,10)是增函数 D．奇函数，且在(0,10)是减函数

10x0，得x(10,10)，

10x0故函数fx的定义域为10,10，关于原点对称，

又fxlg10xlg(10x)f(x)，故函数fx为偶函数， 而fxlg(10x)lg(10x)lg100x22，

因为函数y100x在0,10上单调递减，ylgx在0,上单调递增， 故函数fx在0,10上单调递减，故选C. 2、已知函数

（其中

）的图象如图所示，则函数

的图象大致是( )

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】法一：结合二次函数的图象可知，C，D；把函数

的图象向左平移

个单位，得到函数

，所以

，在

，所以函数

单调递增，排除

的图象，排除A，选B.

中，取

，

法二：结合二次函数的图象可知，得故选:B.

，只有选项B符合，

3、【2019年浙江06】在同一直角坐标系中，函数yy＝1og（，ax）（a＞0且a≠1）的图象可能是（ ）

A． B．

C． D．

【答案】D． 【解析】由函数y

，y＝1oga（x

），

当a＞1时，可得y是递减函数，图象恒过（0，1）点，

函数y＝1oga（x），是递增函数，图象恒过（，0）；

当1＞a＞0时，可得y是递增函数，图象恒过（0，1）点，

函数y＝1oga（x），是递减函数，图象恒过（，0）；

∴满足要求的图象为：D

4、(多选)已知函数f(x)＝ln(x－2)＋ln(6－x)，则( ) A．f(x)在(2，6)上单调递增 B．f(x)在(2，6)上的最大值为2ln 2 C．f(x)在(2，6)上单调递减

D．y＝f(x)的图象关于直线x＝4对称 【答案】BD

【解析】f(x)＝ln(x－2)＋ln(6－x)＝ln[(x－2)(6－x)]，定义域为(2，6)．令t＝(x－2)(6－x)，则y＝ln t．因为

二次函数t＝(x－2)(6－x)的图象的对称轴为直线x＝4，又f(x)的定义域为(2，6)，所以f(x)的图象关于直线x＝4对称，且在(2，4)上单调递增，在(4，6)上单调递减，当x＝4时，t有最大值，所以f(x)max＝ln(4－2)＋ln(6－4)＝2ln 2，故选B、D.

5、(多选)在同一坐标系中，f(x)＝kx＋b与g(x)＝logbx的图象如图，则下列关系不正确的是( )

A．k＜0，0＜b＜1 B．k＞0，b＞1

1

C．fxg(1)＞0(x＞0)

D．x＞1时，f(x)－g(x)＞0 【答案】ABC

【解析】由直线方程可知，k＞0，0＜b＜1，故A、B不正确；而g(1)＝0，故C不正确；而当x＞1时，g(x)＜0，f(x)＞0，所以f(x)－g(x)＞0.所以D正确．

11

6、(2019·浙江高考)在同一直角坐标系中，函数 y＝ax，y＝logax＋2(a>0，且a≠1)的图象可能是( )

【答案】D

11111

【解析】对于函数y＝logax＋2，当y＝0时，有x＋2＝1，得x＝2，即y＝logax＋2的图象恒过定点2，0，11x排除选项A、C；函数y＝a与y＝logax＋2在各自定义域上单调性相反，排除选项B，故选D. 7、【2018年江苏05】函数f（x）【答案】[2，+∞）．

【解析】由题意得：log2x≥1， 解得：x≥2，

∴函数f（x）的定义域是[2，+∞）．

的定义域为 ．

8、函数fx【答案】1 【解析】 函数fx11axlog2为奇函数，则实数a__________． x1x11axlog2为奇函数 fxfx x1x即fxfx0 则11ax11ax1ax1axlog2log20，即log20 1x1xx1xx1x1ax1ax1a2x22222 ，则：1a1 1ax1x21x1x1x则：a1

当a1时，fx11xlog2，则fx定义域为：xx0且x1 x1x此时定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，不满足题意 当a1时，fx11xlog2，满足题意 x1xa1

9、已知函数f(x)＝loga(3－ax)(a>0，且a≠1)．

(1)当x∈[0，2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；

(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．

解：(1)∵a>0且a≠1，设t(x)＝3－ax，则t(x)＝3－ax为减函数，当x∈[0，2]时，t(x)的最小值为3－2a， ∵当x∈[0，2]时，f(x)恒有意义，即x∈[0，2]时，3－ax>0恒成立． 3

∴3－2a>0，∴a<2.

3

又a>0且a≠1，∴03∴实数a的取值范围为(0，1)∪1，2.

(2)由(1)知函数t(x)＝3－ax为减函数．

∵f(x)在区间[1，2]上为减函数， ∴y＝logat在[1，2]上为增函数， ∴a>1，

当x∈[1，2]时，t(x)的最小值为3－2a，f(x)的最大值为f(1)＝loga(3－a)， 3a<2，3－2a>0，

∴即3 loga（3－a）＝1，

a＝2.

故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1.