正弦型函数图像及性质(学生用)

北师大版高一数学三角函数 函数yAsin(x)的图像

知识点梳理

1．A,,的物理意义

当yAsin(x)，x[0,)（其中A0，0）表示一个振动量时，A表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常称为这个振动的振幅，往复振动一次需要的时间T复振动的次数。x称为相位，x0时的相位称为初相。

2称为这个振动的周期，单位时间内往

2.图象的变换

例 ： 画出函数y3sin(2x

解：函数的周期为T3)的简图。

2，先画出它在长度为一个周期内的闭区间上的简图，再左右拓展即可，先用五点2法画图： x 3  62x0 0  122  3 0 7 123 25 62 3sin(2x) 3

3 3 0

函数y3sin(2x3)的图象可看作由下面的方法得到的：

个单位，得到ysin(x)的图象上；②再把图象上所点的横坐标缩短

331到原来的，得到ysin(2x)的图象；③再把图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍，得到y3sin(2x)332①ysinx图象上所有点向左平移

①把正弦曲线上所有点向左（当0时）或向右（当0时）平行移动||个单位长度；

1

的图象。

一般地，函数yAsin(x)，xR的图象（其中A0，0）的图象，可看作由下面的方法得到：

1倍（纵坐标不变）； ③再把所得各点的纵坐标伸长（当A1时）或缩短（当0A1时）到原来的A倍（横坐标不变）。

②再把所得各点横坐标缩短（当1时）或伸长（当01时）到原来的即先作相位变换，再作周期变换，再作振幅变换。 问题：以上步骤能否变换次序？

)3sin2(x)，所以，函数y3sin(2x)的图象还可看作由下面的方法得到的：

3631①ysinx图象上所点的横坐标缩短到原来的，得到函数ysin2x的图象；

2②再把函数ysin2x图象上所有点向左平移个单位，得到函数ysin2(x)的图象；

66 ③再把函数ysin2(x)的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍，得到y3sin2(x)的图象。

66例1：已知函数yAsin(x)（A0，0）一个周期内的函数图象，如下图

∵y3sin(2x

所示，求函数的一个解析式。

2．由已知条件求解析式 例2： 已知函数yAcos(x)（A0，0，0）的最小值是5， 图象上相邻两个最高点

5与最低点的横坐标相差，且图象经过点(0,)，求这个函数的解析式。

24

例3：已知函数yAsin(x)B（A0，0，||）的最大值为22，

最小值为2，周期为

22)，求这个函数的解析式。 ，且图象过点(0,43练习

2

1、函数ysin(2xA．x3)图像的对称轴方程可能是（ ）

B．x6

12 C．x6 D．x12

2、把函数ysinx(xR)的图象上所有的点向左平行移动

个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到3原来的

12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ） A．ysin2xx3，xR

B．ysin26，xR C．ysin2x3，xR

D．ysin2x3，xR

3、为得到函数ycosxπ3的图象，只需将函数ysinx的图像（ ）A．向左平移

π6个长度单位 B．向右平移

π6个长度单位 C．向左平移5π6个长度单位

D．向右平移5π6个长度单位

4、为得到函数ycosπ2x3的图像，只需将函数ysin2x的图像（ ）A．向左平移

5π个长度单位 B．向右平移

5π12 12个长度单位 C．向左平移5π6个长度单位

D．向右平移5π6个长度单位

5、函数y=sin(π

4

-2x)的单调增区间是（ ）

A. [kπ-3π3ππ5π

8 , kπ+8 ] (k∈Z) B. [kπ+8 , kπ+8 ] (k∈Z)C. [kπ-π8 , kπ+3π8 ] (k∈Z) D. [kπ+3π7π

8 , kπ+8 ] (k∈Z)6、函数ysin(2x3)图像的对称轴方程可能是（ ）

A．xB．x6

12

C．x6

D．x12

7、已知函数f(x)2sin(x6)(0)的最小正周期为4,则该函数的图象( )

A.关于点3,0对称 B.关于点53,0对称

3

C.关于直线x

3对称 D.关于直线x5对称 3π

8、关于函数f(x)=4sin(2x+ )，(x∈R)，有下列命题：

3

π

（1）y=f(x)的表达式可改写为y=4cos(2x- );

6（2）y=f(x)是以2π为最小正周期的周期函数； π

（3）y=f(x)的图象关于点(- ,0)对称;

6

π

（4）y=f(x)的图象关于直线x=- 对称;其中正确的命题序号是___________．

69、函数f(x)Asin(x6)1（A0,0）的最大值为3， 其图像相邻两条对称轴之间的距离为

，则函数2f(x)的解析式

10、函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f(0)的值是________．

11已知函数y=3sin（

1πx－）. 24（1）用“五点法”作函数的图象；

（2）说出此图象是由y=sinx的图象经过怎样的变化得到的； （3）求此函数的最小正周期；

（4）求此函数的对称轴、对称中心、单调递增区间.

1π

12、知函数f(x)＝3sin2x－4，x∈R.



(1)画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图； (2)将函数y＝sin x的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象？

(3)将fx的图像作怎样的变换可得到ycosx？

6

4

π

13、已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，|φ|＜，ω＞0)的图象的一部分如图所示．

2

(1)求f(x)的表达式；

(2)试写出f(x)的对称轴方程．

π

14、已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A＞0，ω＞0,0＜φ＜2)的图象与x轴的交点中，相邻两个π2π

交点之间的距离为2，且图象上的一个最低点为M3，－2.

(1)求f(x)的解析式；

ππ

(2)当x∈12，2时，求f(x)的值域．



π

15、已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象过点P12，0，图象上与点P最近的一个最高点是

π

Q3，5. 

(1)求函数的解析式； (2)求函数f(x)的递增区间．

16、函数f(x)Asin(x6)1（A0,0）的最大值为3， 其图像相邻两条对称轴之间的距离为

， 2（1）求函数f(x)的解析式；

5

（2）设(0,

课后练习

1、函数

)，则f()2，求的值。 22ysin2xcos2x的最小正周期是（ ）

C.2 D.

A.

 B. 242、函数ycos(2x2

)的图象的一条对称轴的方程是（ ）

B．xA．x3、已知函数

24

C．x8

D．x

f(x)2sin(x6)(0)的最小正周期为4,则该函数的图象( )

A.关于点5,0对称 B.关于点,0对称 33C.关于直线x4、函数y3对称 D.关于直线x5对称 3cos2(x)的单调增区间是

2ππ(A)(kπ, kπ) kZ (B)(kπ, kππ) kZ

22(C)(2kπ, π2kπ)kZ (D)(2kππ, 2kπ2π)kZ

5、函数f(x)sinxcosx3cos2x3的一个单调递减区间是 272] C.[,] D.[,]

6333121212126、把函数ysinx(xR)的图象上所有的点向左平移个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的

6A.[2,] B.[7,2倍(纵坐标不变),得到的图象所表示的函数为( )

1),xR B.ysin(x),xR 3261C.ysin(2x),xR D.ysin(x),xR

3267、若函数ysin(x)的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍,纵坐标不变,则得到的图象所对应的函数解析

3A.ysin(2x式为

112ysin(x)ysin(x)ysin(2x)ysin(2x)26 B. 23 C. 3 D. 3 A.

6

8、为了得到函数ysin(2x)的图像,只需把函数ysin(2x)的图像 ( ) 36(A)向左平移个长度单位 (B)向右平移个长度单位

44(C)向左平移

个长度单位 (D)向右平移个长度单位 2229、已知函数ysinx(0,0)的部分图象如图所示, 则点P,的坐标为（ ）

3611(C)(,) (D)(,)

232610、如图是函数与y(A)(2,) (B)(2,)

2sin(x)(0,2)的图象，那么

1010, D．, 116116A．2,

6 B．2,6 C．11、已知函数f(x)cosxsinx23sinxcosx1.

22(Ⅰ)求f(x)的最小正周期及f(x)的最小值;

(Ⅱ)若f()2,且

12、已知函数

,,求的值. 42f(x)sin(x)(0,2)的部分图象如图所示,则__________;函数f(x)在区间

[

,]上的最大值为__________.

367

13、已知函数f(x)4cosxsin(x

6)1.

(1)求f(x)的最小正周期; (2)求f(x)在区间[

14、已知函数

,]上的最大值和最小值. 64f(x)Asin(x)(A0,0,||)的图象上的一个最高点的坐标是(2,22)，由这个最高点

到与其相邻最低点的图象与x轴相交于点（6，0）。 （1）求函数f(x)的解析式；

（2）写出由函数ysinx的图象得到yf(x)的图象的变换过程。

8