人教A版高中数学必修五第二章章末检测(B).docx

第二章 章末检测 (B)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．在等差数列{an}中，a3＝2，则{an}的前5项和为( ) A．6 B．10 C．16 D．32

2．设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3＝a4－2,3S2＝a3－2，则公比q等于( ) A．3 B．4 C．5 D．6 3．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为( ) A．5 B．4 C．3 D．2

4．在等比数列{an}中，Tn表示前n项的积，若T5＝1，则( ) A．a1＝1 B．a3＝1 C．a4＝1 D．a5＝1

5

5．等比数列{an}中，a1＋a3＝10，a4＋a6＝，则数列{an}的通项公式为( )

4

－－－－

A．an＝24n B．an＝2n4 C．an＝2n3 D．an＝23n

6．已知等比数列{an}的前n项和是Sn，S5＝2，S10＝6，则a16＋a17＋a18＋a19＋a20等于( )

A．8 B．12 C．16 D．24

1

7．在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a10－a12的值为( )

2

A．10 B．11 C．12 D．13 8．已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和，若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中5

项为，则S5等于( )

4

A．35 B．33 C．31 D．29

9．已知等差数列{an}中，Sn是它的前n项和．若S16>0，且S17<0，则当Sn最大时n的值为( )

A．8 B．9 C．10 D．16

1

10．已知方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四个根组成一个首项为的等比数列，则

2

|m－n|等于( )

359

A．1 B. C. D.

222

11．将正偶数集合{2,4,6，…}从小到大按第n组有2n个偶数进行分组：{2,4}，{6,8,10,12}，

桑水

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{14,16,18,20,22,24}，….则2 010位于第( )组．

A．30 B．31 C．32 D．33

12．a1，a2，a3，a4是各项不为零的等差数列且公差d≠0，若将此数列删去某一项得到

a1的数列(按原来的顺序)是等比数列，则的值为( )

d

A．－4或1 B．1 C．4 D．4或－1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 题号 答案 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{an}是等和数列，且 a1＝－1，公和为1，那么这个数列的前2 011项和S2 011＝________.

14．等差数列{an}中，a10<0，且a11>|a10|，Sn为数列{an}的前n项和，则使Sn>0的n的最小值为__________．

15．某纯净水厂在净化过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质的20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为________．(lg 2≈0.301 0)

16．数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则它的通项公式是________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分)

11＋

17．(10分)数列{an}中，a1＝，前n项和Sn满足Sn＋1－Sn＝()n1(n∈N*)．

33

(1)求数列{an}的通项公式an以及前n项和Sn；

(2)若S1，t(S1＋S2)，3(S2＋S3)成等差数列，求实数t的值．

18．(12分)已知点(1,2)是函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)的图象上一点，数列{an}的前n项和Sn＝f(n)－1.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若bn＝logaan＋1，求数列{anbn}的前n项和Tn.

11111

19．(12分)设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知S3，S4的等比中项为S5；S3，S4

34534

的等差中项为1，求数列{an}的通项公式．

桑水

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20．(12分)设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝nan－2n(n－1)． (1)求数列{an}的通项公式an；

111

(2)设数列{}的前n项和为Tn，求证：≤Tn<.

54anan＋1

21．(12分)设等差数列{an}的前n项和为Sn，公比是正数的等比数列{bn}的前n项和为Tn，已知a1＝1，b1＝3，a2＋b2＝8，T3－S3＝15.

(1)求{an}，{bn}的通项公式；

＋

(2)若数列{cn}满足a1cn＋a2cn－1＋…＋an－1c2＋anc1＝2n1－n－2对任意n∈N*都成立，求证：数列{cn}是等比数列．

22．(12分)甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额为a万元，由于经营方式不

a

同，甲超市前n年的总销售额为(n2－n＋2)万元，乙超市第n年的销售额比前一年销售额多

2

桑水

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2n－1a3万元．

(1)求甲、乙两超市第n年销售额的表达式；

(2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，将会出现在第几年？

第二章 数 列 章末检测(B) 答案

5a1＋a5

1．B [S5＝＝5a3＝10.]

2

2．B [∵3S3＝a4－2,3S2＝a3－2. ∴3(S3－S2)＝a4－a3，∴3a3＝a4－a3. ∴a4＝4a3.∴q＝4.]

n

3．C [当项数n为偶数时，由S偶－S奇＝d知

2

30－15＝5d，∴d＝3.]

4．B [T5＝a1a2a3a4a5＝(a1a5)(a2a4)a3 ＝a53＝1.∴a3＝1.]

a4＋a611

5．A [q3＝＝，∴q＝.

2a1＋a38

5

∵a1＋a3＝a1(1＋q2)＝a1＝10，∴a1＝8.

41－－－

∴an＝a1·qn1＝8·()n1＝24n.]

2

6．C [∵S10＝6，S5＝2，S10＝3S5.∴q≠1.

∴S

a11－q5S5＝

1－q

a11－q1010＝1－q

∴a16＋a17＋a18＋a19＋a20＝(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)q15 ＝S5·q15＝2×23＝16.]

7．C [a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝(a4＋a12)＋(a6＋a10)＋a8＝5a8＝120，a8＝24.

11

∴a10－a12＝(2a10－a12)

2211

＝[2(a1＋9d)－(a1＋11d)]＝(a1＋7d) 221

＝a8＝12.] 2

8．C [设公比为q(q≠0)，则由a2a3＝2a1知 a1q3＝2，∴a4＝2.

51

又a4＋2a7＝，∴a7＝.

241

∴a1＝16，q＝.

2

1

16[1－5]5

2a11－q

∴S5＝＝＝31.]

11－q

1－2

桑水

S10∴＝1＋q5＝3.q5＝2. S5

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16a1＋a16

9．A [∵S16＝＝8(a8＋a9)>0，

2

∴a8＋a9>0.

17a1＋a17

∵S17＝＝17a9<0.

2

∴a9<0，∴a8>0.

故当n＝8时，Sn最大．]

1

10．B [易知这四个根依次为：，1,2,4.

2

1

不妨设，4为x2－mx＋2＝0的根，

2

1,2为x2－nx＋2＝0的根．

19

∴m＝＋4＝，n＝1＋2＝3，

22

93

∴|m－n|＝|－3|＝.] 22

11．C [∵前n组偶数总的个数为：

2＋2nn2

2＋4＋6＋…＋2n＝＝n＋n.

2

2

∴第n组的最后一个偶数为2＋[(n＋n)－1]×2＝2n(n＋1)． 令n＝30，则2n(n＋1)＝1 860； 令n＝31，则2n(n＋1)＝1 984； 令n＝32，则2n(n＋1)＝2 112. ∴2 010位于第32组．]

12．A [若删去a1，则a2a4＝a23，

2

即(a1＋d)(a1＋3d)＝(a1＋2d)，化简，得d＝0，不合题意； 若删去a2，则a1a4＝a23，

a1即a1(a1＋3d)＝(a1＋2d)2，化简，得＝－4；

d

2

若删去a3，则a1a4＝a2，

a1即a1(a1＋3d)＝(a1＋d)2，化简，得＝1；

d

2

若删去a4，则a1a3＝a2，

即a1(a1＋2d)＝(a1＋d)2，化简，得d＝0，不合题意．故选A.] 13．1 004

解析 a1＝－1，a2＝2，a3＝－1，a4＝2，…，

∴a2 011＝－1，∴S2 011＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a2 009＋a2 010)＋a2 011＝1 005×1＋(－1) ＝1 004. 14．20

19a1＋a19

解析 ∵S19＝＝19a10<0；

2

20a1＋a20S20＝＝10(a10＋a11)>0.

2

∴当n≤19时，Sn<0；当n≥20时，Sn>0. 故使Sn>0的n的最小值是20. 15．14

解析 设原杂质数为1，各次过滤杂质数成等比数列，且a1＝1，公比q＝1－20%， ∴an＋1＝(1－20%)n，由题意可知： (1－20%)n<5%，即0.8n<0.05. 两边取对数得nlg 0.8lg 0.05

∵lg 0.8<0，∴n>，

lg 0.8

桑水

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lg 5－21－lg 2－2－lg 2－1即n>＝＝ lg 8－13lg 2－13lg 2－1－0.301 0－1≈≈13.41，取n＝14. 3×0.301 0－1

2 n＝1

16．an＝

6n－5 n≥2

解析 当n＝1时，

a1＝S1＝3－2＋1＝2. 当n≥2时， an＝Sn－Sn－1

2

＝3n2－2n＋1－[3(n－1)－2(n－1)＋1] ＝6n－5.

则当n＝1时，6×1－5＝1≠a1，

2 n＝1∴an＝.

6n－5 n≥2

1＋1＋

17．解 (1)由Sn＋1－Sn＝()n1得an＋1＝()n1(n∈N*)，

33

11

又a1＝，故an＝()n(n∈N*)．

3311×[1－n]3311

从而Sn＝＝[1－()n](n∈N*)．

1231－31413

(2)由(1)可得S1＝，S2＝，S3＝.

3927

从而由S1，t(S1＋S2)，3(S2＋S3)成等差数列得 141314

＋3×(＋)＝2×(＋)t，解得t＝2. 392739

18．解 (1)把点(1,2)代入函数f(x)＝ax得a＝2， 所以数列{an}的前n项和为Sn＝f(n)－1＝2n－1. 当n＝1时，a1＝S1＝1；

－－

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n1＝2n1，

－

对n＝1时也适合，∴an＝2n1.

(2)由a＝2，bn＝logaan＋1得bn＝n，

－

所以anbn＝n·2n1.

－

Tn＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n·2n1， ①

－

2Tn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋(n－1)·2n1＋n·2n. ② 由①－②得：

－

－Tn＝20＋21＋22＋…＋2n1－n·2n， 所以Tn＝(n－1)2n＋1.

nn－1

19．解 设等差数列{an}的首项a1＝a，公差为d，则Sn＝na＋d，依题意，有

2

3a＋3×2d×14a＋4×3d＝15a＋5×4d，1324225213×214×3

33a＋2d＋44a＋2d＝1×2，

2

3ad＋5d＝0，

整理得 5

2a＋d＝2，2

2

桑水

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12

∴a＝1，d＝0或a＝4，d＝－.

5

3212

∴an＝1或an＝－n，

55

3212

经检验，an＝1和an＝－n均合题意．

55

3212

∴所求等差数列的通项公式为an＝1或an＝－n.

55

20．(1)解 由Sn＝nan－2n(n－1)得 an＋1＝Sn＋1－Sn＝(n＋1)an＋1－nan－4n， 即an＋1－an＝4.

∴数列{an}是以1为首项，4为公差的等差数列， ∴an＝4n－3.

111

(2)证明 Tn＝＋＋…＋

a1a2a2a3anan＋1

1111＝＋＋＋…＋ 1×55×99×134n－3×4n＋111111111＝(1－＋－＋－＋…＋－) 45599134n－34n＋1111＝(1－)<. 44n＋14

又易知Tn单调递增，

111

故Tn≥T1＝，得≤Tn<. 554

21．(1)解 设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q(q>0)．

d＋3q＝7，

由题意得 2

q＋q－d＝5，

d＝1，－

解得∴an＝n.bn＝3×2n1.

q＝2.

＋

(2)证明 由cn＋2cn－1＋…＋(n－1)c2＋nc1＝2n1－n－2，

知cn－1＋2cn－2＋…＋(n－2)c2＋(n－1)c1＝2n－(n－1)－2(n≥2)． 两式相减：cn＋cn－1＋…＋c2＋c1＝2n－1(n≥2)，

－

∴cn－1＋cn－2＋…＋c2＋c1＝2n1－1(n≥3)，

－

∴cn＝2n1(n≥3)．

当n＝1,2时，c1＝1，c2＝2，适合上式．

－

∴cn＝2n1(n∈N*)， 即{cn}是等比数列．

22．解 (1)设甲、乙两超市第n年的销售额分别为an，bn.则有：a1＝a，n≥2时：

aa2

an＝(n2－n＋2)－[(n－1)－(n－1)＋2]

22＝(n－1)a.

a， n＝1，∴an＝

n－1a， n≥2.

bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)

222＋…＋a2n－1 ＝a＋a＋a3332n－1a，(n∈N*)． ＝3－23

(2)易知bn<3a，所以乙超市将被甲超市收购，

12n－1a<1(n－1)a. 由bn桑水

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2n－1

∴n＋43>7，∴n≥7.

即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购．

桑水