求二面角方法——3垂面法

垂面法：

作一与棱垂直的平面，该垂面与二面角两半平面相交，得到交线，交线所成的角为二面角的平面角.

1.设P是二面角α－l－β内一点，P到面α、β的距离PA、PB分别为8和5，且AB＝7，求这个二面角的大小。 解：作AC⊥l于c，连结BC

∵PA⊥α，lα∴PA⊥l 又AC⊥l，AC∩PA＝A ∴l⊥平面PAC∴l⊥PC ∵PB⊥β，lβ∴PB⊥l 又PB∩PC＝P∴l⊥平面PBC

∴平面PAC与平面PBC重合，且l⊥BC ∴∠ACB就是所求的二面角

△PAB中，PA＝8，PB＝5，AB＝7∴∠P＝600 ∴∠ACB＝1200

1.如图三棱锥P－ABC中，PC⊥平面ABC，PC＝点，且△ADC是边长为2的正三角形，求二面角P－AB－C的大小。

A

B

C P 23，D是BC的中

D 解：由已知条件，D是BC的中点

∴CD＝BD＝2又△ADC是正三角形 ∴AD＝CD＝BD＝2

∴D是△ABC之外心又在BC上 ∴△ABC是以∠BAC为直角的三角形， ∴AB⊥AC，又PC⊥面ABC ∴PA⊥AB(三垂线定理)

∴∠PAC即为二面角P－AB－C之平面角， 易求∠PAC＝30°

2．如图， PA=BC=6，AB=8，PB=AC=10，

PC234，CFF是线段PB上一点，

点E在线段AB上，且EF⊥PB （I）求证：PB⊥平面CEF

（II）求二面角B—CE—F的大小

1534，17（I）证明：∵PA2AC23664100PC2

∴△PAC是以∠PAC为直角的直角三角形，同理可证

△PAB是以∠PAB为直角的直角三角形，△PCB是以∠PCB为直角的直角三角形。

故PA⊥平面ABC 又∵SPBC11|AC||BC|10630 22而

111534|PB||CF|23430SPBC 2217故CF⊥PB,又已知EF⊥PB ∴PB⊥平面CEF

（II）由（I）知PB⊥CE, PA⊥平面ABC ∴AB是PB在平面ABC上的射影，故AB⊥CE

在平面PAB内，过F作FF1垂直AB交AB于F1，则FF1⊥平面ABC， EF1是EF在平面ABC上的射影，∴EF⊥EC 故∠FEB是二面角B—CE—F的平面角。

AB105 AP635二面角B—CE—F的大小为arctan

3tanFEBcotPBA