北师大版八年级下册数学
重难点突破
知识点梳理及重点题型巩固练习
《三角形的证明》全章复习与巩固（提高）
【巩固练习】 一.选择题
1．有一块边长为24米的正方形绿地，如图所示，在绿地旁边B处有健身器材，由于居住在A处的居民践踏了绿地，小明想在A处树立一个标牌“少走▇米，踏之何忍”请你计算后帮小明在标牌的“▇”填上适当的数字是（ ）
A． 3米 B． 4米 C． 5米 D． 6米
2.（2016秋•仙游县期中）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（ ） A．每一个内角都大于60°
B．每一个内角都小于60°
C．有一个内角大于60° D．有一个内角小于60°
3. 如图，EA⊥AB，BC⊥AB，EA=AB=2BC，D为AB中点，有以下结论：
(1)DE=AC；(2)DE⊥AC；(3)∠CAB=30°；(4)∠EAF=∠ADE。其中结论正确的是（ ） A、(1)，(3) B、(2)，(3) C、(3)，(4) D、(1)，(2)，(4)
4. 如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，且AB=6cm，则△DEB的周长为（ ）
A、4cm B、6cm C、8 cm D、10cm
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5.如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD，则∠A的度数为（ ） A、30° B、36° C、45° D、70°
6.如图，已知AC平分∠PAQ，点B，B′分别在边AP，AQ上，如果添加一个条件，即可推出AB=AB′，那么该条件不可以是（ ）
A、BB′⊥AC B、BC=B′C C、∠ACB=∠ACB′ D、∠ABC=∠AB′C
7.（2015•永州模拟）在直角坐标系中，已知A（1，1），在x轴上确定点P，使△AOP为等
腰三角形，则符合条件的点P共有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8. 在联欢晚会上，有A、B、C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（ ）
A、三边中线的交点 B、三条角平分线的交点 C、三边上高的交点 D、三边中垂线的交点 二、填空题
9. 如图，有一底角为35°的等腰三角形纸片，现过底边上一点，沿与底边垂直的方向将其剪开，分成三角形和四边形两部分，则四边形中，最大角的度数是__________ ．
35
10.用反证法证明 “三角形中至少有一个角不小于60°时，第一步为假设“ ”
11. 如图，在Rt△ABC中．∠C=90°，BC=6，AC=8，点D在AC上，将△BCD沿BD折叠，使点C恰好落在AB边的点C′处，则△ADC′的面积是_________.
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12. 如图，长方体的长为5，宽为3，高为12，点B离点C的距离为2，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是________.
13. 已知实数x，y满足
，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长
是___________.
14.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，若BD=4cm，CE=3cm，则DE= cm．
15.（2015•辽阳）如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，点E为AB的中点，AD=6，DE=5，则线
段BD的长等于 ．
16. 如图：△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件： ，使△AEH≌△CEB.
三、解答题
17.（2016秋•江都区校级期中）如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D，若BD=CD．求证：AD平分∠BAC．
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18. 如图，在长方形ABCD中，DC=5cm，在DC上存在一点E，沿直线AE把△AED折叠，使点
2
D恰好落在BC边上，设此点为F，若△ABF的面积为30cm，求折叠△AED的面积．
19. 如图1，点C为线段AB上一点，△ACM， △CBN是等边三角形，直线AN，MC交于点E,直线BM、CN交与F点.
(1)求证：AN=BM；(2)求证： △CEF为等边三角形；(3)将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明）
20.阅读下题及其证明过程：
已知：如图，D是△ABC中BC边上一点，EB=EC，∠ABE=∠ACE，求证：∠BAE=∠CAE. 证明：在△AEB和△AEC中，
EBECABEACE AEAE∴△AEB≌△AEC(第一步) ∴∠BAE=∠CAE(第二步)
问：上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理根据；若不正确，请指出错在哪一步？并写出你认为正确的推理过程.
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【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】D；
【解析】解：因为是一块正方形的绿地，所以∠C=90°，由勾股定理得，AB=25米， 计算得由A点顺着AC，CB到B点的路程是24+7=31米，而AB=25米，则少走31﹣25=6米．故选D． 2. 【答案】A；
【解析】解：用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，应先假设三
角形中每一个内角都不小于或等于60°，即都大于60°． 故选：A．
3. 【答案】D；
【解析】解：∵EA⊥AB，BC⊥AB，∴∠EAB=∠ABC=90°
Rt△EAD与Rt△ABC
∵D为AB中点，∴AB=2AD 又EA=AB=2BC ∴AD=BC
∴Rt△EAD≌Rt△ABC
∴DE=AC，∠C=∠ADE，∠E=∠FAD
又∠EAF+∠DAF=90°∴∠EAF+∠E=90° ∴∠EFA=180°-90°=90°，即DE⊥AC， ∠EAF+∠DAF=90°，∠C+∠DAF=90° ∴∠C=∠EAF，∠C=∠ADE ∴∠EAF=∠ADE,故选D．
4. 【答案】B；
【解析】∵AD平分∠CAB交BC于点D ∴CAD=∠EAD ∵E⊥AB
∴∠AED=∠C=90 ∵AD=AD
∴△ACD≌△AED．（AAS） ∴AC=AE，CD=DE ∵∠C=90°，AC=BC ∴∠B=45° ∴DE=CE
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∵AC=BC，AB=6cm，
62AB232， ∴2BC=AB，即BC= = 2222∴BD=AB-AE=AB-AC=6-32， ∴BC+BE= 32 +6- 32 =6(cm)， ∵△DEB的周长=DE+DB+BE=BC+BE=6（cm）． 另法：证明三角形全等后， ∴AC=AE，CD=DE． ∵AC=BC， ∴BC=AE． ∴△DEB的周长=DB+DE+EB=DB+CD+EB=CB+BE=AE+BE=6(cm)． 故选B．
5. 【答案】B；
【解析】解：∵AB=AC，AD=BD=BC， ∴∠A=∠ABD，∠C=∠ABC=∠CDB， 设∠A=x°，则∠ABD=∠A=x°，
∴∠C=∠ABC=∠CDB=∠A+∠ABD=2x° ∵∠A+∠C+∠ABC=180°， ∴x+2x+2x=180， ∴x=36，
∴∠A=36°，∠ABC=∠C=72°． 6. 【答案】B；
【解析】添加A选项中条件可用ASA判定两个三角形全等； 添加B选项中条件无法判定两个三角形全等； 添加C选项中条件可用ASA判定两个三角形全等； 添加D选项以后是ASA证明三角形全等． 故选B． 7. 【答案】D；
【解析】解：如图，
∵以点O为圆心，以OA为半径画弧，交x轴于点B、C；
以点A为圆心，以AO为半径画弧，交x轴于一点D（点O除外）， ∴以OA为腰的等腰三角形有3个； 作OA的垂直平分线，交x轴于一点， ∴以OA为底的等腰三角形有1个， 综上所述，符合条件的点P共有4个， 故选：D．
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8. 【答案】D；
【解析】三角形三边中垂线的运用. 二.填空题
9. 【答案】125°；
【解析】解：∵AB=AC，∠B=35°， ∴∠C=35°，∠A=110°， ∵DE⊥BC，
∴∠ADE=360°-110°-35°-90°=125°， ∵125°＞110°＞90°＞35°，
∴四边形中，最大角的度数为：125°．故选C．
10.【答案】三角形的三个内角都小于60°； 【解析】第一步应假设结论不成立，即三角形的三个内角都小于60°．反证法的步骤是：
（1）假设结论不成立； （2）从假设出发推出矛盾； （3）假设不成立，则结论成立．
11.【答案】6；
【解析】∵∠C=90°，BC=6，AC=8， ∴AB= AB2BC2=10， ∵△BCD沿BD折叠，使点C恰好落在AB边的点C′处， ∴∠BC′D=∠C=90°，BC′=BC=6，DC′=DC， ∴AC′=AB-BC′=10-6=4， ∵S△ADB+S△DBC=S△ABC， ∴111 •AB•DC′+ BC•DC= AC•BC， 222∴10DC′+6DC′=6×8， ∴DC′=3， 资料来源于网络 仅供免费交流使用
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∴S△ADC′= 11 DC′•AC′= ×4×3=6． 2212.【答案】13；
【解析】将长方体展开，连接A、B，根据两点之间线段最短，BD=2+3=5，AD=12，由勾
股定理得：AB= AD2BD2=13． 13.【答案】20；
【解析】根据题意得，x-4=0，y-8=0， 解得x=4，y=8，
①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8， ∵4+4=8，
∴不能组成三角形，
②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8， 能组成三角形，周长=4+8+8=20， 所以，三角形的周长为20． 故答案为：20． 14.【答案】7；
【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ADB=∠AEC=90°
∴∠BAD+∠EAC=90°，∠BAD+∠B=90° ∴∠EAC=∠B ∵AB=AC
∴△ABD≌△ACE（AAS） ∴AD=CE，BD=AE
∴DE=AD+AE=CE+BD=7cm． 故填7．
15.【答案】8；
【解析】解：∵BD⊥AC于D，点E为AB的中点，
∴AB=2DE=2×5=10， ∴在Rt△ABD中，
BD=
=
=8．
故答案为：8．
16.【答案】AH=CB或EH=BE或AE=CE;
【解析】∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E， ∴∠BEC=∠AEC=90°，
在Rt△AEH中，∠EAH=90°-∠AHE， 又∵∠EAH=∠BAD， ∴∠BAD=90°-∠AHE，
在Rt△AEH和Rt△CDH中，∠CHD=∠AHE， ∴∠EAH=∠DCH，
∴∠EAH=90°-∠CHD=∠BCE，
所以根据AAS添加AH=CB或EH=BE； 根据ASA添加AE=CE． 可证△AEH≌△CEB．
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故填空答案：AH=CB或EH=BE或AE=CE． 三.解答题 17.【解析】
证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠BFD=∠CED=90°． 在△BDF与△CDE中，
，
∴△BDF≌△CDE（AAS）． ∴DF=DE，
∴AD是∠BAC的平分线．
18.【解析】
解：由折叠的对称性，得AD=AF，DE=EF．
由S△ABF=BF•AB=30，AB=5， 得BF=12．
在Rt△ABF中，由勾股定理，得
．
所以AD=13．
设DE=x，则EC=5﹣x，EF=x，FC=1，
222
在Rt△ECF中，EC+FC=EF，
222
即（5﹣x）+1=x． 解得故
19.【解析】
（1）证明：∵△ACM、△CBN是等边三角形，
∴AC=MC，BC=CN，∠ACM=∠BCN=60°， ∴∠ACN=∠MCB=120°， ∴△ACN≌△MCB， ∴AN=MB．
（2）证明：由（1）得△ACN≌△MCB， ∴∠1=∠2，
又∠ACM=∠BCN=∠MCN=60°，CN=CM
∴△ECN≌△FCB， ∴EC=FC．
∴△ECF是等边三角形.
．
．
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NMEAF2B
1C
图1
（3）AN=MB成立，△ECF是等边三角形不成立.
N
FCB
E M A 图220.【解析】
解：上面证明过程不正确；错在第一步．正确过程如下：
在△BEC中， ∵BE=CE
∴∠EBC=∠ECB 又∵∠ABE=∠ACE ∴∠ABC=∠ACB ∴AB=AC．
在△AEB和△AEC中，AE=AE，BE=CE，AB=AC ∴△AEB≌△AEC（SSS） ∴∠BAE=∠CAE．
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