(聚焦典型)2014届高三数学一轮复习《简单的三角恒等变换》理 新人教B版

(时间：45分钟 分值：100分)

基础热身

sin2α

1．[2013²绥化一模] 若tanα＝3，则的值为( ) 2

cosα

A．2 B．3 C．4 D．6 2．[2013²金华十校期末] 设α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tanα的值为( )

A．2 B.3

3

C．1 D.

3

4

3．已知等腰三角形顶角的余弦值等于，则这个三角形底角的正弦值为( )

5

A.C.

1010 B．－ 1010310310

D．－ 1010

4．在△ABC中，A，B，C成等差数列，则tan＋tan＋3tan²tan的值是( )

2222A．±3 B．－3

3

C.3 D. 3

能力提升

5．在△ABC中，若sinAsinB＝cos，则△ABC是( )

2

A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形

D．既非等腰又非直角的三角形

πππ且sinα＝4，6．[2013²豫南六校联考] 若α∈，π，则sinα＋＋cosα＋4452

＝( )

4242A. B．－

55

2

ACACC 1

3232

D．－ 55

π110ππ7．若tanα＋＝，α∈，，则sin2α＋的值为( ) 4tanα342C.

225272

B. C. D. 10101010

8．[2013²吉林模拟] 已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，－π<φ≤

π

π，若f(x)的最小正周期为6π，且当x＝时，f(x)取得最大值，则( )

2

A．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数 B．f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数 C．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数 D．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数 9．[2013²哈尔滨检测] 已知θ为△ABC的一个内角，且sinθ＋cosθ＝m，若m∈(0，1)，则关于△ABC的形状的判断，正确的是( )

A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上都有可能

45π10．已知tan(α－β)＝，sinβ＝－，β∈－，0，则tanα＝________． 3132

1＋tanα111．若＝2 014，则＋tan2α＝________．

1－tanαcos2α

A．－12．计算：

3tan12°－3

＝________． 2

4cos12°sin12°－2sin12°

2

13．[2013²山西四校联考] 已知函数f(x)＝sinωx＋3sinωx²cosωx，x∈R，又

113π

f(α)＝－，f(β)＝，若|α－β|的最小值为，则正数ω的值为________．

22414．(10分)[2013²银川检测] 设函数f(x)＝sinxcosx－3cos(x＋π)cosx(x∈R)． (1)求f(x)的最小正周期；

π33π

(2)若函数y＝f(x)的图象向右平移个单位，向上平移个单位后，按b＝，平

4242

π移后得到函数y＝g(x)的图象，求y＝g(x)在0，上的最大值．

4

15

15．(13分)已知tanα＝－，cosβ＝，α，β∈(0，π)．

35

(1)求tan(α＋β)的值；

(2)求函数f(x)＝2sin(x－α)＋cos(x＋β)的最大值．

2

难点突破

16．(12分)如图K22－1，点P在以AB为直径的半圆上移动，且AB＝1，过点P作圆

1

的切线PC，使PC＝1.连接BC，当点P在什么位置时，四边形ABCP的面积等于？

2

图K22－1

3

课时作业(二十二)

【基础热身】

sin2α

1．D [解析] ＝2tanα＝6. 2

cosα

2．C [解析] 由已知得cosαcosβ－sinαsinβ＝sinαcosβ－cosαsinβ，所以cosα(cosβ＋sinβ)＝sinα(cosβ＋sinβ)，因为β为锐角，所以sinβ＋cosβ≠0，所以sinα＝cosα，即tanα＝1，故选C.

π

3．C [解析] 设该等腰三角形的顶角为α，底角为β，则有α＋2β＝π，β＝－

2

ααπ，0<<， 222

αcosα＋1310πα2α

∵2cos－1＝cosα，∴sinβ＝sin－＝cos＝＝，故选C.

2221022

4．C [解析] ∵A，B，C成等差数列，∴2B＝A＋C，

π2π

又A＋B＋C＝π，∴B＝，A＋C＝，

33

∴tan＋tan＋3tan²tan

2222

ACAC＝tan＋1－tan²tan＋3tantan

222222

＝3，故选C.

【能力提升】

5．B [解析] ∵sinAsinB＝cos，

2

11

∴[cos(A－B)－cos(A＋B)]＝(1＋cosC)， 22

∴cos(A－B)－cos(π－C)＝1＋cosC， ∴cos(A－B)＝1，

∵－π4π3

6．D [解析] ∵sinα＝，<α<π，∴cosα＝－，

525

ππ∴sinα＋＋cosα＋ 4432

＝2cosα＝－.

5

110

7．A [解析] 由tanα＋＝⇒(tanα－3)(3tanα－1)＝0得tanα＝3或tan

tanα3

π112ππα＝，由α∈，得tanα>1，故tanα＝舍去，而sin2α＋＝³433242sin2α＋cos2α22sinαcosα＋cosα－sinα2

＝³，将分式分子与分母同除以cosα得22

12cosα＋sinα

2

π22tanα＋1－tanα2sin2α＋＝³＝－. 2421＋tanα10

1ππ1π8．A [解析] 由题意可得ω＝，由题知f＝2sin²＋φ＝2，解得φ＝，33232

1ππ1ππ5ππ

所以f(x)＝2sinx＋，当－≤x＋≤，即－≤x≤时函数是增函数，故选A.

33233222

2

2

2

ACACACC 4

ππ29．B [解析] m＝sinθ＋cosθ＝2sinθ＋∈(0，1)，所以03πππ3π

因为θ为△ABC的一个内角，所以<θ＋<π，即<θ<，故选B.

4424

33125

10. [解析] 根据已知cosβ＝，tanβ＝－，tanα＝tan[(α－β)＋β]＝

561312

45－312tan（α－β）＋tanβ33＝＝.

1－tan（α－β）²tanβ4556

1＋³31211sin2α1＋sin2α

11．2 014 [解析] ＋tan2α＝＋＝ cos2αcos2αcos2αcos2α2

（cosα＋sinα）cosα＋sinα1＋tanα＝＝＝＝2 014. 22

cosα－sinαcosα－sinα1－tanα

12．－43 [解析]

3tan12°－33sin12°－3cos12°

＝＝

4cos12°sin12°－2sin12°2cos24°sin12°cos12°

2

23sin（12°－60°）

＝－43.

1

sin48°2

11－cos2ωx331113. [解析] f(x)＝＋sin2ωx＝sin2ωx－cos2ωx＋＝

322222π1sin2ωx－＋. 62

113π1

又由f(α)＝－，f(β)＝，且|α－β|的最小值为，可知T＝3π，于是ω＝.

2243

12

14．解：(1)f(x)＝sin2x＋3cosx

2

13

＝sin2x＋(1＋cos2x) 22133＝sin2x＋cos2x＋ 222π3＝sin2x＋＋.

32

2π

故f(x)的最小正周期为T＝＝π.

23π(2)依题意g(x)＝fx－＋ 42

33ππ＝sin2x－＋＋＋ 4322

π＝sin2x－＋3. 6

ππππ当x∈0，时，2x－∈－，，g(x)为增函数，

4366

ππ33.

所以g(x)在0，上的最大值为g＝442

15．解：(1)由cosβ＝5

，β∈(0，π)， 5

5

得sinβ＝255，tanβ＝2，所以tan(α＋β)＝tanα＋tanβ

1－tanαtanβ

＝1.

(2)因为tanα＝－1

3，α∈(0，π)，

所以sinα＝13

10，cosα＝－10.

又因为f(x)＝－355sinx－55cosx＋55cosx－25

5sinx

＝－5sinx，

所以f(x)的最大值为5. 【难点突破】

16．解：设∠PAB＝α，连结PB.

∵AB是直径，∴∠APB＝90°.

又AB＝1，∴PA＝cosα，PB＝sinα. ∵PC是切线，∴∠BPC＝α.又PC＝1， ∴S四边形ABCP＝S△APB＋S△BPC ＝12PA²PB＋1

2PB²PC²sinα ＝12cosαsinα＋12sin2

α ＝14sin2α＋1

4(1－cos2α) ＝14(sin2α－cos2α)＋14

＝24sin

2α－π4＋14.

由已知，

24sin

2α－π4＋14＝12，

∴sin

2α－π42＝2. 又α∈

0，π2，2α－ππ3π4∈－4，4.

∴2α－πππ

4＝4，∴α＝4.

故当点P位于AB的中垂线与半圆的交点时，四边形ABCP的面积等于1

2. 6