98799§2[1].1一维定态(讲稿)

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第二章 一维定态问题

§ 2.1 一维定态的一般性质 § 2.2 方势阱 一、 无限深方势阱 二、 有限深对称方势阱 § 2.3 一维散射问题 § 2.4  势

一、 势阱中的束缚态

二、 势垒的穿透（自学） § 2.5 一维谐振子 一、 本征方程 二、 级数解法 三、 本征值和本征波函数

第二章作业 教材P80 ~ 82：3、4、5、6、12

粒子在一维势V(x)中运动，不含时薛定格方程为

ˆ(x)E(x) H22dˆV(x) H22mdx一般分为两类问题：

（1）给定V(x)，求E和―结构问题； （2）给定V(x)和E，求―散射问题。

§ 2.1一维定态的一般性质

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§ 2.1一维定态的一般性质 共6条性质。

性质1、当V(x)为实函数时，一维定态波函数可取为实函数。

证明：分能级无简并和有简并两种情况 （1）

能级无简并

对应能级E，只有一个独立的本征波函数。 设 (x)为与E对应的本征波函数

ˆ(x)E(x) H取复共轭，因V(x)*V(x)，则

ˆ*(x)E*(x) H*(x)也是与E对应的本征波函数。

因无简并，则

*(x)C(x)(x)C**(x)C(x)

Cei可取0，即(x)可取为实函数。 （2）

能级有简并

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§ 2.1一维定态的一般性质

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对应能级E，有两个或两个以上独立的本征波函

1数。例如，氢原子能级： En13.62eV，波函数：

nnlmm(r)， 简并度：f2n2

lsi(x)}为与E对应的本征波函数 设集合 {ˆ(x)E(x),i1,2,,f Hii取共轭得

ˆ*(x)E*(x),i1,2,,f Hii集合 {i*(x)} 也是与E对应的本征波函数。

i(x)}中有一个波函数，例如j不是实函 只要{jj*)]来取代jj)或 [i(数，那么就可用实函数 (*j，最后总能组合成一组实函数。

所以，当V(x)为实函数时，一维定态波函数可取为实函数。

下面一条性质涉及空间反射变换和宇称。

ˆ代表空间反射变换 空间反射变换：用算符Pˆ(x)(x) P

§ 2.1一维定态的一般性质

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ˆ(x)(x) 本征方程： P 可以证明 为实数。只有当 为实数时上述方程才是本征方程。因为按照基本假定，本征值与测量值相对应，而测量值总是实数。

宇称（parity）：空间反射变换算符的本征值 ． 宇称的可能取值：

ˆ2(x)PˆPˆ(x)Pˆ(x)(x) Pˆ2(x)PˆPˆ(x)Pˆ(x)2(x) P(x)2(x)

21

1

(x),正宇称ˆ P(x)(x)，负宇称 空间反射不变的波函数具有正宇称。空间反射变号的波函数具有负宇称。还有一些波函数没有确定的宇称，它们不是空间反射算符的本征态。

[思考] 证明宇称 为实数。

ˆ)(Pˆ,) [提示] 只要证明： (,P

§ 2.1一维定态的一般性质

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性质2、设V(x)V(x)，即V(x)具有空间反射不变性。对于无简并的能级，定态波函数必有确定的宇称。如果能级有简并，则总可以找到一组简并的定态波函数，其中每一个波函数都有确定的宇称。 证明：

（1）能级无简并

设(x)是与能级E对应的本征波函数

ˆ(x)E(x) Hˆ空间反射不变，作空间反射变换。因V(x)V(x)， H则

ˆ(x)E(x) H(x)也是与E对应的本征波函数。因无简并，则

(x)C(x)ˆ(x)C(x) PC1即(x)具有确定的宇称。 （2）能级有简并

i(x)}是与能级E对应的本征波函数 设集合{

§ 2.1一维定态的一般性质

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ˆ(x)E(x),i1,2,,f Hii空间反射得

ˆ(x)E(x),i1,2,,f Hiii(x)}也是与E对应的定态波函数。 集合{i(x)}中有一个无确定宇称的波函数，例如 只要{j(x)，就可用有确定宇称的组合 [j(x)j(x)] 来取

代，最后总能组合成一组具有确定宇称的解。 总之，若V(x)空间反射不变，则无简并的定态波函数必有确定的宇称。对于简并的能级，总可以组合成有确定宇称的一组简并波函数。

[例题] 对于自由粒子，V(x)0为实函数，且具有空间

22ˆppˆx的本征值Ex是二度简并的，反射不变性。H2m2m对应两个独立的定态波函数

ip(x)Aexp(pxx),x

ip(x)Aexp(pxx).x

§ 2.1一维定态的一般性质

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它们不是实函数，也不具有确定的宇称。但总能组合成一组实的定态波函数

ii(x)Aexp(pxx)exp(pxx), ii(x)iAexp(pxx)exp(pxx).它们具有确定宇称

ˆ(x)(x),P ˆ(x)P(x).

性质3、如果1(x)和2(x)都是与能级E对应的本征波函数，则有

1221常数。

而对于束缚态（bound state ， lim(x)0）则为

x1221．

证明：

2m 1(x)2EV(x)1(x)0 （1） 

§ 2.1一维定态的一般性质

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2m 2(x)2EV(x)2(x)0 （2）

1(2)2(1):

12210 d(1221)0dx1221常数

若1和2为束缚态

xlim1(x)0，lim2(x)0

x则有 1221常数0

221 1

性质4、规则的势场V(x)（无奇点）中的一维束缚态必定无简并。

证明：设1和2为与能级E对应的两个束缚态

1221

在1和2的零点之外的区域，由上式可得

§ 2.1一维定态的一般性质

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12,ln1ln2C,1C2 12能级E无简并。

[思考] 证明：若规则势场V(x)为实函数时，则一维束缚态的概率流密度为零。物理上如何理解?

性质5、如图所示，束缚态的能量E满足条件

VminEVoutmin，

其中，Vmin代表势能V(x)的最小值；而 Voutmin代表势能在外区（包括x点）的最小值。

V(x)Voutmin束缚态0xVmin

§ 2.1一维定态的一般性质

证明：

（1）EVoutmin成立 外区(x)： (x)2m2EVoutmin(x)0 若EVoutmin，则外区解 ~eix，显然不是束缚态，因为不满足条件xlim(x)0．因此，EVoutmin成立。（2）EVmin成立

能量是Hˆ的平均值 EH*(x)pˆ2V(x)(x)dx2m12m*(x)pˆ2(x)dx(x)2V(x)dx pˆ22m(x)2V(x)dx其中 (x)2V(x)dxVmin．

而

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§ 2.1一维定态的一般性质

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ˆ*(x)pˆ2(x)dxp2*(p)p2(p)dpdpp2(p)02

1这里 (p)(x)e2所以 EVmin成立。

ipxdx

总之，束缚态的能量E满足条件

VminEVoutmin．

性质6、在xx0点，若V(x)连续或发生阶梯形跃变，则波函数的一阶导数(x0)连续；若V(x)间断且为无限大，则(x0)不连续，其连接条件可由V(x)在

xx0点的性质推导得到。

证明：不含时薛定格方程

(x)2mEV(x)(x)0 2

§ 2.1一维定态的一般性质

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积分且取极限 lim:

0x00x2m(x)dx2EV(x)(x)dx

xx000x2m(x0)(x0)2EV(x)(x)dx

x0 在xx0点，若V(x)连续或阶梯形跃变

(x0)(x0)0

在xx0点，(x)连续。

 否则，例如对于 势阱： V(x)V0(xx0)

(x0)(x0)x2m2limEV0(xx0)(x)dx 0x2mV02(x0)000 在xx0点，(x)不连续。 连接条件：

2mV0(x0)(x0)2(x0)．



§ 2.1一维定态的一般性质

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除了波函数的自然条件外，有时还要用到波函数

一阶导数(r)的连接条件。性质6表明：在xx0点，若V(x)连续或发生阶梯形跃变，则波函数的一阶导数

(x)连续；若V(x)间断且为无限大，则(x)不连

续，其连接条件可由V(x)在 xx0点的性质推导得到。