线性代数试题及答案

线性代数（试卷一）

一、 填空题（本题总计20分，每小题2分）

1. 排列7623451的逆序数是_______。

a113a123a2260012. 若

a11a21a121a22a21，则

0

B1CA3. 已知n阶矩阵A、B和C满足ABCE，其中E为n阶单位矩阵，则

。

4. 若A为mn矩阵，则非齐次线性方程组AXb有唯一解的充分要条件是

_________

5. 设A为86的矩阵，已知它的秩为4，则以A为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为__2___________。

A16. 设A为三阶可逆阵，

100210321，则A* 7.若A为mn矩阵，则齐次线性方程组Ax0有非零解的充分必要条件是

- 1 -

13D1158.已知五阶行列式

20114341034112252131，则

A41A42A43A44A45

T(2,1,0,2)____。 9. 向量的模（范数）__________TT1k112110.若与正交，则k

二、选择题（本题总计10分，每小题2分） 1. 向量组1,2,,r线性相关且秩为s，则(D)

Ａ．rs Ｂ．rs

Ｃ．sr Ｄ．sr

2. 若A为三阶方阵，且

A2E0,2AE0,3A4E0

，则

A(A)

- 2 -

Ａ．8 Ｂ．8

4Ｃ．3

4 Ｄ．3

3．设向量组A能由向量组B线性表示，则( d )

Ａ．R(B)R(A) Ｂ．R(B)R(A)

Ｃ．R(B)R(A) Ｄ．R(B)R(A)

4. 设n阶矩阵A的行列式等于D，则

kA等于

_____。c

(A)kA (B)knA (C) kn1A (D) A

5. 设n阶矩阵A，B和C，则下列说法正确的是_____。

(A)ABAC 则 BC (B) AB0,则A0或B0

(C) (AB)TATBT (D)

(AB)(AB)A2B2

三、计算题（本题总计60分。1-3每小题8分,4-7每小题9分）

- 3 -

122D1. 计算n阶行列式

222222222232222n122 2 2  2 n。

2．设A为三阶矩阵，A为A的伴随矩阵，且

*A11*(3A)2A2，求.

3．求矩阵的逆

111A211120

x1x2x32x1x2x3xxx14. 讨论为何值时，非齐次线性方程组123

① 有唯一解； ②有无穷多解； ③无解。

5. 求下非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组的基础解系和此方程组的通解。

x1x2x3x422x13x2x3x41x2x2x5341

TTTT113110231135124931246.已知向量组、、、、

51125T，求此向量组的一个最大无关组，并把其余向量用该最大无关组线性表示．

- 4 -

110A430102的特征值和特征向量． 7. 求矩阵

四、证明题（本题总计10分） 设为AXbb0的一个解，1,21,2nr,线性无关。

nr为对应齐次线性方程组AX0的基础解系，证明

（答案一）

一、填空题（本题总计20分，每小题 2 分）

100210321RAR(A,b)n；7、RAn；8、0；9、CA1~15；2、3；3、；4、；5、2；6、3；10、1。.二、选择题（ 1、D；2、A；3、D；4、C；5、B

三、计算题（本题总计60分，1-3每小题8分，4-7他每小题9分）

1、 解：D

122222222200100000n30rir2(i3,4,,n)0 0 0  0 n2 ------3分

- 5 -

100222202201220000n30r22r10 0 0  0 n2 -------6分

1(2)12(n3)(n2)2(n2)!

----------8分

2.解：（1）

111121111AB2A1111312111111214111

------1分

224642222222206222

242400024------5分

- 6 -

（2）

135931A2B21112106311111117

048311781216--------8分

111*AEE(3A)2A*2，求2，. 因AA＝

3. 设A为三阶矩阵，A为A的伴随矩阵，且

*A故

AA*n11*11AA2A*A4 3分 5分

241641(3A)12A*A*2A*A*3327 343 8分

4、解：

010010(A,E)110010111001

r2r1r3r1

- 7 -

010010010110011101

---3分

r3r2

r1(1)r2(1)r3(1)

---6分

1A11 故25、解；

100100010110001211

100100010110001211

0010111-------8分 （利用A1AA公式求得结果也正确。）- 8 -

111(A,b)11112

r1r3r2r1r3r1

1101101122213

r3r2

1122101020(2)(1)(1)(1)

---------3分

（1）唯一解：R(A)R(A,b)3 1且2 ------5分

（2）无穷多解：R(A)R(A,b)3 1 --------7分

（3）无解：R(A)R(A,b) 2 --------9分 （利用其他方法求得结果也正确。）

- 9 -

6、解：

11112(A,b)2311110225

51022011130000r0--------3分 x12x32x40x2x3x40 基础解系为

21110，

21201-----6分

x12x32x45x2x3x43 令x3x40，得一特解：

5300---7分 故原方程组的通解为：

522311k11k22k1k2010001

，其中k1,k2R---9分（此题结果表示不唯一，只要正确可以给分。）

7、解：特征方程

- 10 -

1AE41130002(2)(1)2

从而12,231 (4分)

1(0,0,1)T2(A2E)X01当时，由得基础解系，即对应于12的全部特征向量为

k11(k10) (7分)

2(1,2,1)T31(AE)X02当时，由得基础解系，即对应于231的全部特征向量

为k22(k20)

四、证明题（本题总计10 分） 证： 由1,2分)

反证法：设1,2(6分)

因齐次线性方程组解的线性组合还是齐次线性方程组解，故必是AX0的解。这与已知条件为AXbb0的一个解相矛盾。(9分). 有上可知，1,2nr,nr,nr为对应齐次线性方程组AX0的基础解系，则1,2nr线性无关。(3

线性相关，则可由1,2nr线性表示，即：11rr

线性无关。(10分)

(试卷二)

一、填空题（本题总计 20 分，每小题 2 分）

- 11 -

1. 排列6573412的逆序数是 ．

2x12.函数f(x)

121xx3x中的系数是 ．

xx3．设三阶方阵A的行列式

A3*1,则(A)= A/3 ．

4．n元齐次线性方程组AX=0有非零解的充要条件是 ．

T(1,2,1)5．设向量，=

22正交，则 ．

6．三阶方阵A的特征值为1，1，2，则

A＝ ．

121A1021003A_________. 7. 设，则

8. 设A为86的矩阵，已知它的秩为4，则以A为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为_____________．

1(A)1A*A＝9．设A为n阶方阵，且2 则3 ．

- 12 -

2001A2x2B231110．已知相似于y，则x ，y ．

二、选择题（本题总计 10 分，每小题 2 分）

1. 设n阶矩阵A的行列式等于D，则

－5A等于 ．

nn1(5)D(5)D DD(A) (B)-5 (C) 5 (D)

2. n阶方阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是 .

(A) 矩阵A有n个线性无关的特征向量

(B) 矩阵A有n个特征值

(C) 矩阵A的行列式

A0

(D) 矩阵A的特征方程没有重根

3．A为mn矩阵，则非齐次线性方程组AXb有唯一解的充要条件是 ．

(A)R(A,b)m (B)R(A)m

(C)R(A)R(A,b)n (D)R(A)R(A,b)n

4.设向量组A能由向量组B线性表示，则( )

- 13 -

(A)．R(B)R(A) (B)．R(B)R(A)

(C)．R(B)R(A) (D)．R(B)R(A) 5. 向量组1,2,,s线性相关且秩为r，则 ．

(A)rs (B) rs (C) rs (D) sr

三、计算题（本题总计 60 分，每小题 10 分）

220A213010. XAXAX2．已知矩阵方程，求矩阵,其中

2AnA3. 设阶方阵满足2A4E0,证明A3E可逆，并求(A3E).

14．求下列非齐次线性方程组的通解及所对应的齐次线性方程组的基础解系:

x1x2x32x432xx3x8x812343x12x2x39x45x22x33x44

5．求下列向量组的秩和一个最大无关组,并将其余向量用最大无关组线性表示．

- 14 -

212314,1220,33,415.2

6．已知二次型：

f(x2x2221,x2,x3)15x25x34x1x24x1x38x2x3

，

用正交变换化f(x1,x2,x3)为标准形，并求出其正交变换矩阵Q．

(答案二)

一、填空题

1211. 17 2. -2 3．3A11114．R(A)n5．26．-27．6A6021或0038．x0,y2

二、选择题（1. A 2. A 3.C 4.D 5. B

三、计算题（

2．求解AXAX，其中

- 15 -

（－1）n29、210、

220A2131010XAEA解：由AXAX得 (3分)

120220203213AE,A011010

r100226010203001213

(8分)

226X203213 (10分) 所以

2A3．解：利用由2A4E0可得：

(A3E)(AE)E0

--------5分

1(A3E)(AE)--------10分 (A3E)(AE)EA3E即 ------7分 故可逆且

- 16 -

4．求下列非齐次线性方程组的通解及所对应的齐次线性方程组的基础解系．

解：

11123r012340112000000 10021r010100112

000000 取x4为自由未知量，(8分)

x1x2x32x432x1x23x38x483x12x22x39x45x12x23x34

11123(Ab)213883219501234

(2分) x12x41x2x (4分)则有

40x3x42 (6分)

x1x212c10令xx1324c，则通解为：x410 - 17 -

cR

对应齐次线性方程组的基础解系为：

2111 (10分)

5．求下列向量组的秩和一个最大无关组,并将其余向量用最大无关组线性表示．

212314,1,3,2345.2012

解：

1234=

212341352012212321230111011101110000

1

101201110000 (2分) 1,2为一个极大无关组. (4分) 设

3x11x22， 4y11y22

1x12 解得 x21，

y1112y21. 则有 321， 412

6 解

- 18 -

222f(x1,x2,x3)2x15x25x34x1x24x1x38x2x3

222A254524 A的特征多项式 f的矩阵

()(1)2(10)

041p12p11p231 310的特征向量 1, 2 121的两个正交的特征向量

正交矩阵

0Q1212432132132122333

222fy1y210y3xQy 8分) 正交变换：标准形

四、证明题（本题总计 10分）若设

b1a1,b2a1a2,,bra1a2ar,

- 19 -

且向量组a1,a2,,ar线性无关，证明向量组b1,b2,,br线性无关. 证明：设存在λ1,λ2,使得 1b1+2b2++rbr=0 也即

,λrR，

1a12(a1a2)r(a1a2ar)0

化简得

(12r)a1(2r)a2rar0

又因为a1,a2,122,ar线性无关，则r0r0r0 (8分)解得 12r0

所以，b1, b2,, br线性无关.

（试卷三）

一、填空题（本题总计20分，每小题2分）

1、 按自然数从小到大为标准次序，则排列(2n)(2n2)2的逆序数为 aD4dbabddcdcaacdcb2、 设4阶行列式

，则A11A21A31A41

- 20 -

1103A027*1002，则A 3、 已知

EB4、 已知n阶矩阵A、B满足ABBA，则1

5、 若A为nm矩阵，则齐次线性方程组Ax0只有零解的充分必要条件是

6、 若A为nm矩阵，且R(A)3min{n,m}，则齐次线性方程组Ax0的基础解系中包含解向量的个数为

7、 若向量

123T与向量

11T正交，则

8、 若三阶方阵A的特征多项式为

9、

10、 ，则

AAE(1)(1)2

A21B1322，已知A6，B1，则AB 9、设三阶方阵、

10、设向量组1,2,3线性无关，则当常数l满足 时，向量组l21,32,13线性无关.

二、选择题（本题总计10分，每小题2分）

- 21 -

1、 以下等式正确的是( )

kabkakbＡ．

abkcdkcd Ｂ．kckdkab

cd Ｃ．

acbdcdabcd

abc

Ｄ．

cddba

2、 4阶行列式det(aij)中的项a11a33a44a22和a24a31a13a42的符号分别为（ ）

Ａ．正、正 Ｂ．正、负

Ｃ．负、负 Ｄ．负、正

3、 设A是mn矩阵，C是n阶可逆阵，满足B＝AC. 若A和B的秩分别为rA和rB有( )

Ａ．rArB

Ｂ．rArB

Ｃ．rArB

Ｄ．以上都不正确

4、 设A是mn矩阵，且R(A)mn，则非齐次线性方程组Axb( )

- 22 -

，则

Ａ．有无穷多解 Ｂ．有唯一解

Ｃ．无解 Ｄ．无法判断解的情况

5、已知向量组1,2,3,4线性无关，则以下线性无关的向量组是（ ）

Ａ．

12,23,34,41

Ｂ．

12,23,34,41

Ｃ．

12,23,34,41

Ｄ．

12,23,34,41

三、计算题（本题总计60分，每小题10分）

11A24的特征值和特征向量． 1． 求矩阵

- 23 -

2． 计算n1阶行列式

10Dn10an10an101a100a01110

010100143A100B001C201001010120，且满足AXBC，求矩阵X. 3． 已知矩阵，，

4． 求下列非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组的基础解系及此方程组的通解

x1x2x3x4x513x2xxx3x312345x22x32x46x505x14x23x33x4x55

5． 已知矩阵

6．

11A662121442243979

2117． ，求矩阵A的列向量组的一个最大无关组，并把其余向量用该最大无关组线性表示．

8． 已知A为三阶矩阵，且

A2，求

*1A3A121

- 24 -

四、证明题（本题总计10分）

设向量组1,2,,n中前n1个向量线性相关，后n1个向量线性无关，试证： （1）1可由向量组2,3,,n1线性表示； （2）n不能由向量组1,2,,n1线性表示.

（试卷四）

一、填空题（本题总计16分，每小题2分）

1、 按自然数从小到大为标准次序，则排列

2、 133、 的逆序数为 (2n1)24(2n)

12D41141816414164、 4阶行列式

1525125 1110A029*1002A* ，A为A的伴随矩阵，则5、 已知

EB6、 已知n阶方阵A和B满足BAAB，则- 25 -

1

7、 已知A为mn矩阵，且R(A)rmin{m,n}，则以A为系数矩阵的齐次线性方程组Ax0的基础解系中包含解向量的个数为 TT25131015108、 已知四维列向量1、2、34111，且

T9、 31x22x53x

10、 ，则x

11、 把向量

1022T单位化得

2f()(1)(1)12、 若三阶方阵A的特征多项式为，则A2E

二、选择题（本题总计14分，每小题2分）

1、 已知a,b,c,d,kR，则以下等式正确的是( )

kababkkcdcd Ａ．

kakbabkcd Ｂ．kckdＣ．

acbdabccdd

abd Ｄ．cdbca

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2、 设A和B为n阶方阵，下列说法正确的是（ ）

Ａ．若ABAC，则BC Ｂ．若AB0，则A0或B0

Ｃ．若AB0，则A0或B0 Ｄ．若AE0，则AE

3、 设A是mn矩阵，且R(A)mn，则非齐次线性方程组Axb( )

Ａ．有唯一解 Ｂ．有无穷多解

Ｃ．无解 Ｄ．无法判断解的情况

4、 向量组的秩就是向量组的（ ）

Ａ．极大无关组中的向量 Ｂ．线性无关组中的向量

Ｃ．极大无关组中的向量的个数 Ｄ．线性无关组中的向量的个数

5、 已知n阶方阵A、B和C满足ABC=E，其中E为n阶单位矩阵，则B1( Ａ．A1C1 Ｂ．AC

Ｃ．CA Ｄ．C1A1

16、 设A为三阶方阵，A*

为A的伴随矩阵，且

A4，则(4A)13A*（ ）

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)

1616Ａ．27 Ｂ．27

1Ｃ．2

1 Ｄ．2

7、 已知n元齐次线性方程组Ax0的系数矩阵的秩等于n-3，且1,2,3是Ax0的三个线性无关的解向量，则Ax0的基础解系可为（ ）

Ａ．12,23,31 Ｃ．12,23,31

Ｂ．3,12,123 Ｄ．12,23,31

三、计算题（本题总计60分，1-3每小题8分，4-7每小题9分）

1． 计算n阶行列式

xaaaxaxDnaaaaax

aaa100A11011121(A2E)(A4E)2． 已知三阶方阵，求

121010A210B210110021，求ABBA. 3． 已知矩阵，

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4． 求下列非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组的基础解系及此方程组的通解

x1x252x1x2x32x415x3x2x2x32341

5． 判定向量组

6．

7． 的线性相关性。

1(2,1,1,1)T,2(0,3,2,0)T,3(2,4,3,1)T

8． 已知矩阵

9．

11222011A110221122243

10． ，求矩阵A的秩及列向量组的一个最大无关组.

211A020413，求可逆阵P，使得P1AP为对角阵. 11． 已知

。

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