2016高考数学专题-导数讲义doc

2016doc D

高考数学专题-导数讲义

yf(xx)f(x)limx0xx0xlim

注：导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。它们之间的关系是函数yf(x)在点x处的导数就是导函数f0/(x)在点x的函数值。

03. 导数的几何意义

函数f(x)在xx处的导数就是曲线yf(x)在点

0(x0,f(x0))处的切线的斜率，因此，如果yf(x)在点x00/0可导，则曲线yf(x)在点（x,f(x)）处的切线方程为yf(x)f0(x0)(xx0)。

（-1,0）在点P处的切线方程

例. 求曲线y

ln(x2)例. 经过原点（0,0）作函数f(x)x线，则切线方程为

4. 几种常见函数的导数

C'033x2的图像的切

（C为常数） (xn)'nxn1（nR） (sinx)'cosx

(cosx)'sinx (lnx)1x

(ex)'ex

'(ax)'axlna

(logax)'1xlna

5. 运算法则

（1）导数的运算法则

(uv)'u'v'yf1(x)f2(x)...fn(x)y'f1'(x)f2'(x)...fn'(x)

(uv)'vu'v'u(cv)'c'vcv'cv'vu'v'uu(v0)2vv'（c为常数）

（2）复合函数的求导法则

yf[u(x)]的导数yx'yuux''

例.

f(x)2x39x212x3

6. 定积分 （1） 概念

如果函数f(x)在区间a,b上连续，用分点

ax0x1x2xi1xixnb 将区间a,b等分成n个小上任取一点(i1,2,,n)，

i区间，在每个小区间xnniii1i1i1,xiaf()，当n时，上述和式无限作和式f()xbn接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间a,b上

dxdx，即f(x)的定积分，记作f(x)bbaalimni1nbaf(i)n

这里a和b分别叫做积分的下限和上限，区间a,b叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式.

注 ：定积分数值只与被积函数及积分区间a,b有关, 与积分变量记号无关

abf(x)dxabf(t)dtaf(u)du

b（2）性质 dxk① kf(x)babaf(x)dx （k为常数）

af(x)dx

b2② f(x)f(x)dxba12cabf1(x)dxdxf(x)f(x)dx （a③ f(x)（3）微积分基本定理

bbacacb）

一般的，如果f(x)是区间a,b上的连续函数，

dxF(b)F(a)，这个结论叫并且F(x)f(x)，那么f(x)'ba做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼茨公式，为了方便，常常把

dxF(x)F(b)F(a). f(x)bbaaF(b)F(a)记作

F(x)ab，即

例．计算下列定积分的值

① 1(x1)dx

252cosxdx ② 22

（4）常见定积分的公式 ① ② ③ ④ bab1xndxxn1n1ab （n1）

aCdxCxab （C为常数）

bbabsinxdxcosxacosxdxsinxab

a

⑤ b1abxdxlnxa

bxba⑥ edxe

（5）利用定积分求平面图形的面积

xa① 画图象：在直角坐标系内画出大致图象 ② 确定积分上、下限：借助图象的直观性求出交点坐标，确定被积函数与积分的上下限 ③ 用牛顿-莱布尼茨公式求面积：将曲边多边形的面积表示成若干定积分的和，计算定积分 例. 如图，阴影部分的面积是 A．23 B．923 C．32 3

二、导数的应用

D．35 3

1. 函数的单调性

设函数yf(x)在区间(a,b)内可导，导函数f(x)在

’区间(a,b)内满足

f'(x)0f'(x)0，则yf(x)为增函数； ，则yf(x)为减函数

设函数yf(x)在区间(a,b)内可导，导函数f(x)在区间

’(a,b)的任意子区间内都不恒等于0，则

f'(x)0f'(x)0，则yf(x)为增函数； ，则yf(x)为减函数

注：①f(x)0是f(x)递增的充分条件，但不是必要

'条件，如y2x在(,)上并不是都有f(x)0，有一

3'个点例外即x=0时f(0)0，同样f(x)0是f（x）递

''减的充分非必要条件.

②一般地，如果f(x)在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f（x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.

例1、判断下列函数的单调性及单调区间 （

1

）

f(x)3x22lnx

（2）f(x)lnxx1 （（4）

3

exf(x)x2）

f(x)2x(ex1)x2

（5）f(x)sinx(1cosx)(0x2)

例2、已知函数f(x)x2a（x0,常数aR）x.若函数f(x)在

2，上单调递增，求a的取值范围.

变式训练： 已知函数f(x)ax数，求a的取值范围

例3、设函数f(x)ax(a1)ln(x1)，其中a1，求f(x)的单调区间

x变式训练：已知函数f(x)12233x2x1在R上是减函

ax(a1)lnx,a1，试判

断函数单调性

例4、当x0时，证明不等式 12xe

2x

变式训练：当x1时，证明不等式

2. 函数的极值 （1）定义

设函数f(x)在点x附近有定义，如果对x附

00xln(1x)

近的所有点，都有f(x)一个极大值，记作y所有点，都有f(x)极小值，记作y极小值极大值f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的

f(x0)；如果对x附近的

0f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的一个

f(x0). 极大值与极小值统称

为极值. 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。

注意以下几点：

（ⅰ）极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。

（ⅱ）函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。

（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值，如下

y 图所示，x是极大值点，x是极小值点，而

14f(x4)>f(x)。 1f(x4)f(x1)

o a X1 X2 X3 X4 b x （ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大

值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。

由上图可以看出，在函数取得极值处，如果曲线有切线的话，则切线是水平的，从而有f(x)0。但反过来不一定。如函数yx，在x0处，曲线的

3切线是水平的，但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大，也不比它附近的点的函数值小。假设x使f(x)0，那么x在什么情况下是的极值点

000呢？

如上左图所示，若x是f(x)的极大值点，则x两侧

00y y f(x)0 f(x)0 f(x)0 f( x)

0f(x0) f(x)0 o a X0 b x o a X0 b x

附近点的函数值必须小于f(x)。因此，x的左侧

00附近f(x)只能是增函数，即f(x)0。x的右侧附近f(x)0只能是减函数，即f(x)0，同理，如上右图所示，若x是极小值点，则在x的左侧附近f(x)只能是减

00

函数，即f(x)0，在x的右侧附近f(x)只能是增函数，

0即f(x)0，从而我们得出结论：若x满足f(x)0，

00且在x的两侧f(x)的导数异号，则x是f(x)的极值

00点，f(x)是极值，并且如果f(x)在x两侧满足“左

00正右负”，则x是f(x)的极大值点，f(x)是极大值；

00如果f(x)在x两侧满足“左负右正”，则x是f(x)的

00极小值点，f(x)是极小值。

0例. 求函数y1x3

34x4的极值。

（2）判断f(x)是极值的方法

0当函数f(x)在点x处连续时，

0①如果在x附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那

’’0么f(x)是极大值；

0②如果在x附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那

’’0么f(x)是极小值.

0注： ①若点x是可导函数f(x)的极值点，则f0'(x)=0.

0但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点x数值为零.

例如：函数yf(x)x，x0使f3'是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导

=0，但x0不是极值

(x)点.

②例如：函数yf(x)|x|，在点x0处不可导，但点x0是极小值点

（3）求极值步骤： ① 确定函数的定义域； ② 求导数；

③ 求方程y=0的根，这些根也称为可能极值点；

/④ 检查在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点。(最好通过列表法)

例1、 求下列函数的极值 （1）yx27x6 （2）yx3327x

例2、已知函数f(x)ax

bx23x在x1的时候取极值，

讨论f(1)和f(1)是函数的极大还是极小值 例3、已知函数f(x)x求a,b的值

（2）求函数f(x)的单调区间和极值

3． 函数的最值

33axb(a0)

（2，f(2)）（1）若曲线yf(x)在点处与直线y8相切，

（1）在闭区间a,b上连续的函数f(x)在a,b上必有最大值与最小值； （2）求最值步骤：

设函数f(x)在a,b上连续，在a,b内可导 ①求f(x)在a,b内的极值；

②将f(x)的各个极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是f(x)的最大值，最小的一个是f(x)的最小值.

注：①．闭区间a,b上的连续函数一定有最值；开区间(a,b)内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值. ②．函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个.

③．在解决实际应用问题中，关键在于建立数学模型和目标函数；如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义判断是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值进行比较. 例1、 函数yx最小值

25x4在区间1,1上的最大值与