高 二 年 级 开 学 考 试 数 学 试 卷
〔总分值 160 分，考试时间
120 分钟〕 2021 ． 9
一、填空题〔本大题共 1．计算： cos15 2．不等式
14 小题，每题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置上〕
3sin15
0的解集是
.
x
x
3． 函数
Z&Xf(x)＝ ln x－ x＋ 2 有一个零点所在的区间为 (k，k＋ 1) (k∈ N* )，那么 k 的值为 ________．
1 3
▲.
4．数列 5． x 3 y
an 是等差数列 , 且 a2 a5 a8 15, 那么 S9
2 0 ，那么 3x 27 y 1的最小值是
▲. .
6．给出以下关于互不相同的直线
①假设
m、 l、 n 和平面 α、 β的四个命题：
A,点A m, 那么l与 m不共面 ；
m, 那②假设 m、 l 是异面直线， l
,m // , 且n l , n 么n //
③假设 l // ,m // , // ,那么 l // m ；
点A,l // , m
, 那么 // . ④假设 l , m , l m // m
, l
；
其中为真命题的是
▲
.
x y 2
2 ，那么目标函数
7．变量 x， y 满足约束条件
x y 2x
0 y 3
y 的最大值是▲．
πφ 0＜ φ＜ 个单位后， 假设所得图象对应的函数为偶函2
π8． 将函数 y＝ 3sin 2x＋ 的图象向右平移 数，
3
那么实数 φ的值是 ________．
9． 在△ ABC 中， AB ＝
π → →
，那么 CA · CB的最大值为 ________．
3， C＝ 3
10．等差数列
an 中，Sn 是其前 n 项和，a1
2021 ，S2021
S
2 ，那么 S2021 的值为
2021
▲.
2021 2021
11 ． 已 知 集 合 A
{ x | x2 2x 3 0}, B { x | ax2 bx c 0, a, b, c R, ac
b2
a
0} ， 假设
A B 3,4 , A B
R ,那么 a c2 的最小值是
▲ .
高二开学考试数学试卷
12．在 R 上定义运算 那么 a的范围为 13． a
: x y
▲
.
x(1
y) ，假设不等式 : ( x a) ( x
a)
2 对实数 x [1,2] 恒成立，
是公差为 d 的等差数列，
n
b 是公比为 q 的等比数列。假设对一切 n N ,
a
n
1
bn 总
n
an
高二开学考试数学试卷
成立，那么 d q
▲.
14． a>0， b>0 ， c>2，且 a＋b＝ 2，那么
acc＋
－ ＋ 的最小值为 ________．
b ab 2 c－ 2
c5
2021-2021 学年度第一学期高二期初测试答题纸
一、填空题：
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
二、解答题：
15．〔此题总分值 14 分〕等比数列
an 中， S3 7, S6 63 ．
(1) 求 an ； (2) 记数列 Sn 的前 n 项和为 Tn ，求 Tn ．
高二开学考试数学试卷
16．〔此题总分值 14 分〕菱形 ABCD 中， AB 4 ， BAD 60 ，将菱形 ABCD 沿对角线 BD
翻折，使点 C 翻折到点 C1 的位置，点 E 、 F 、 M 分别是 AB 、 DC1 、 BC1 的中 点 .
(1)证明： BD // 平面 EMF 〔 2〕证明： AC1
BD .
17.〔此题总分值 15 分〕
＋△ ABC 中，角 A ， B， C 所对的边分别为 a， b，c，且 sin A ＋ cos
2B
C＝ 1，→
1 → 3 →
2
且 AD ＝ 4AB ＋ 4AC .
(1) 求 sin A 的值；
(2) 假设 a＝4 2， b＝ 5，求 AD 的长．
D C
A
B
C 1
D 为 BC 上一点，
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18. 〔此题总分值 15 分〕为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在 经调查测算， 该产品的年销量 (即该厂的年产量 ) x万件与年促销费用
2021 年举行某一产品的促销活动，
t (t
k
0) 万元满足 x＝ 4－ (k
2t＋1
为常数 )．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是 1 万件． 2021 年生产该产品的固定投
入为 6 万元，每生产 1 万件该产品需要再投 入 12 万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平 均生产投入本钱的
倍 (生产投入本钱包括生产固定投入和生产再投入两局部 )．
(1) 求常数 k，并将该厂家 2021 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 (2) 该厂家 2021 年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？
t 万元的函数；
19．〔此题总分值 16 分〕设函数 ⑴求 k 值； ⑵当 0
f ( x)
a x (k 1)a x (a 0且a 1) 是定义域为 R的奇函数．
a 1时，试判断函数 f ( x) 的单调性，并求使不等式 f ( x2
- 2 x
tx)
f (4 x) 0 恒成立的 t
的取值范围； ⑶假3 2x 设 ＋ (1) ＝ ，且 ( ) ＝
f a a g x
2
－ 2
m f
( ) 在 [1 ，＋∞ ) 上的最小值为－ 2，求
x
m
的值．
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20．〔此题总分值 16 分〕定义：假设数列 An 满足
A
n 1
，那么称数A 2 列
n
An 为 “平方 递推数列 〞．
数列 an 中， a1
2 ，点 (an , an 1 ) 在函数 f (x) 2x2
2x 的图像上，其中 n 为正整数．
1) 为等比数列．[来源:Zxxk.Com]〔 1〕证明：数列 2 an 1 是 “平方递推数列 〞，且数列 lg( 2an 〔 2〕设〔 1〕中 “平方递推数列 〞的前 n 项之积为 Tn ，即 Tn
( 2a1
1)(2a2 1) (2an 1) ，求数列
an 的通项及 Tn 关于 n 的表达式．
〔 3〕记 bn log 2a n 1 Tn ，求数列 bn 的前 n 项之和 Sn ，并求使 Sn 2021 的 n 的最小值．
高二开学考试数学试卷
2021—2021 学年度第一学期期初测试试题
高二 数 学 参 考 答 案
2021． 9
1 ．
6 2
2 ．
3,1
3 ．
4
．
45
5 7 ．
6 ①②④ ．
5π 12
3 9． 2
3 2
12． 1 a 2
7． 78．
10． 0
11．
解：由 ：(x a)[1 ( x a)] 2 数 x
[1,2] 恒成立，即 x2 x a2
a 2 0 数 x
[1,2]
恒成立， f ( x) 化 得 a2
x2 x a 2 a 2， 足 f (1)
1 a
12 1 a2 a 2>0 ，
a
2<0 ，解得
2
bn bn
1
a
n 1
an 1
q
2
13 ． 1
解 析 : 由
an an
, 得
an 1 an 1 qan
， 所 以
. 假设
2
n N
恒 成 立 ， 从 而
2 2
d
0,
( a1 n )d 1( a n 2d ) 1d ( q a
1, d
)n d
d
d
qd
a1 2 qa1 2 ，得 q 1；假设 q
0 ， 上 d
q 1.
14． 10＋ 5
15． 解： (1)假设 q 1 ， S6
2S3 ，与矛盾，所以 q 1。 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
分2
3a 1 q
1
7
S3
1 q a1 1
从而
a1 1 q6 S6
1 q
63
解得
q 2 ，因此 an
2n 1 ．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
7分
(2) 由 (1)，求得 Sn
1
2n
1 ，
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
n
分
9
于是 Tn
2
1 22
1
2n 1
2 1 2 1 2
n 2n 1
n 2 ⋯ 14 分
16． 明：⑴
FM / /BD ， FM BD / / 平面 EMF
平面 EMF， BD 平面 EMF
⑵取 BD 中点 O， AO,CO1，
[来源 学#
科
#网]
AO
BD，
， ， ，
CO1 BD AO CO=O1 AO,CO1 平面 ACO1
BD 平面 ACO1
高二开学考试数学试卷
AC 平面 ACO
而
1 1
，
AC 1
BD
2B＋ C
17． 解： (1) ∵ sin A＋ cos
＝ 1，
∴ sin A ＋
1＋cos〔 B
＋C〕
＝ 1，即 2sin A－ cos A＝1， (2 分 )
2
∴ (2sin A － 1)2＝ cos2A ，即 5sin2 A － 4sin A4＝ 0.(4 分3
)
∵ A ∈(0， π )，∴ sin A>0 ，∴ sin A ＝ ， cos A＝ 55.(6 分 )
(2) 在△ ABC 中， a2＝ b2＋ c2－ 2bccos A，
∴ 32＝ 25＋ c2
－ 2× 5c×3，即 c2－ 6c－7＝ 0，解得 c＝ 7.(10 分)
→ 1 → 3 →
5
∵ AD ＝ ∴ AD→4AB ＋ 4AC ，
2＝249933
1c ＋ 9 b2＋ 3 bccos A＝ ＋ × 25＋ ×7× 5× ＝25， (12 分 )
∴ AD ＝ 5.(14 16 分 )
16 8 16 16 8 5
k k
18．解
(1)由 意，当 t 0 ， x 1 ，代入 x ＝ 4－ 2t＋ 1中，得 1＝ 4－1，得 k＝ 3故 x＝4－3 ×6＋12x
，∴ y＝ ×x－ (6＋ 12x)－t
⋯⋯⋯⋯ 5 分 2t＋ 1 x
3
18
＝ 3 ＋ 6x － t ＝ 3
＋ 6 4－
2t＋ 1 － t ＝ 27 － 2t＋ 1 － t(t≥0)．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯[来源 学科网]
＝－9
1 (2) 由 (1)知： y＝ 27－18
－ t
1＋
t＋ 2
. 2t＋1
t ＋2
由根本不等式
9 ＋
1
9
1 ＝6，
⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分
1
t＋2 ≥ 2
1·t＋ 2
t＋ 2
t＋ 2
当且 当1
9 ＝ t＋ ，即 t＝ 2.5 等号成立，
1
2
⋯⋯⋯⋯ 13 分
t＋ 2
故 y＝27－189
1
－ t＝－
1 ＋ t＋
2t＋ 12 ≤ 27.－5 6＝ 21.5.
⋯⋯⋯ 14分
t＋ 2
答： 厂家
2021 年的年促 用投入 2.5 万元 ，厂家利 最大。 ⋯ ⋯15 分
19 解： ⑴因 f ( x) 是定 域
R的奇函数，
所以 f (0) ＝ 0，即 1- 〔 k－ 1〕＝ 0，
所以 k＝2. ⋯⋯⋯⋯ 3 分
⑵因 0 < a < 1，所以 ax 减，
a x 增，
故 f ( x) 在 R上 减，
分
7
高二开学考试数学试卷
所以原不等式化
f ( x 2 tx) f ( x 4) ，
所以 x2 + tx > x - 4 ，
即 x2 + (t - 1)x + 4 > 0 恒成立，
所以 解得
(t 1)2
16 0 ，
. ⋯⋯⋯⋯ 8
3 t
5
3 2
分
⑶因 f (1) ＝ ，所以 a
1 a
3 2
，
即 2a2 - 3a - 2 = 0 ，
1
a = 2或a = - 〔舍去〕，
2
所以 g( x) ＝ 2 ＋ 2 － 2m(2 － 2 ) ＝ (2 － 2 ) － 2m(2 － 2 ) ＋ 2.
所以
2x
-2 x
x
- x
x
- x
2
x- x
3
因 x≥1，所以 t ≥ f (1) ＝ 2，
m) ＋ 2－ m (
2 2 2
令 h( t ) ＝ t － 2mt＋ 2＝ ( t －
3 t ≥ 2).
3
假设 m≥2，当
t ＝m ， h( t ) min＝ 2－ m＝－ 2，
2
所以 m＝ 2.
3 3 17
假设 m<2，t ＝2 ， h( t ) min ＝ 4 － 3m＝－ 2，
当
25 3 解得 m＝ 12>2，舍去 . 上可知 m＝2. ⋯⋯⋯⋯ 16 分
2
20．〔 1〕由条件得：
an 1
2
2an
2an
，
2an 1 2an
1 4an
4an 1 (2an 1) 2 ，
1 是 “平方 推数列 〞．
1) 2 lg( 2an
由 lg( 2an 1
1)
lg( 2an 1 lg( 2an
1) 1)
2, lg(2an
1) 等比数列．
〔 2〕
lg( 2a1 1) lg 5, lg( 2 an 1) lg 5 2n 1 ,
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2an
152 n 1
an
1 (52n 1 1) ． 2
lg 5 (1 2n )
lg Tn lg( 2a1 1) lg( 2a2 1)
lg( 2an
1)
(2n
1) lg 5 ，
1 2
Tn
〔
52n 1 ．
bn
3〕
lg Tn lg(2an 1)
[1
( 2 1) lg 5 2n 1 lg 5 1 2
) 2
n
2
n
2n 1
Sn
2n
1
2
(
1 n 1 ( ) ] 2
1 n1 ( ) n
2
2n 2n 2[1 ( ) ]
1
n 12 ( ) ， 1
2
11
1
2n
2 2( ) ．
2
1n
2
n2 2( ) 2021, n ( )
2
1n2
当 n 1004 时， n ( ) 1005,
2
由 Sn 2021, 得 2n
1
n1
1005 ，
当 n
1005 时， n
( ) n 2
1
1005 ，
因此 n 的最小值为 1005．
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