数学竞赛之立体几何(三)

第三讲 四面体和球

一、基本知识点

（一）特殊四面体

【等腰四面体】1．定义：四面体ABCD中，若ABCDa,BCDAb,CABDc，则四面体ABCD为等腰四面体。设其体积为V，全面积为S

2．性质：（1）

V2(a2b2c2)(b2c2a2)(c2a2b2)12；

（2）等腰四面体各个面为全等的锐角三角形；

（3）等腰四面体的相对棱的中点的连线段共点，且互相平分，每一条连线垂直于相对棱，且是四面体的对称轴；

（4）设等腰四面体的三个侧面间的二面角分别为：,,，则：

abc2S2coscoscos1,sinsinsin3V

（5）若四面体的四个面面积相等，则四面体为等腰四面体。

（6）等腰四面体总可以和一个长方体对应起来，其边为长方体相对面的对角线。

【直角四面体】

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1．定义：设四面体PABC中，PA,PB,PC两两垂直，则称此四面体为直角四面体。

2．性质：设PAa,PBb,PCc，体积为V，内切球和外接球半径分别为r和R，

PBC,PCA,PAB,ABC的面积分别为S1,S2,S3,S

（1）底面ABC是锐角三角形，顶点P在面ABC内的射影是ABC的垂心H，且

1111PH2a2b2c2；

（2）对棱中点连线段共点且互相平分，其长均等于外接球半径

R12ab2c22；

（3）体积：

V1122abcSabb2c2c2a262；底面ABC的面积： ；

2S（4）勾股定理：S1S2S3；内切球的半径：

222rS1S2S3Sabc；

（5）等比中项性质：S1SSAHC，S2SSBHC，S3SSAHB；

222（6）等周定理：若四面体六条棱长之和为定值，则当直角四面体为等腰四面体时体积最大；

（7）直角四面体总可以和一个长方体对应起来，其直角顶点为长方体的一个顶点。

【正四面体】1．设四面体ABCD中，若ABCDBCDACABDa，则四面体为正四面体，其各个面为全等的等边三角形

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2．性质：（1）对棱互相垂直，对棱中点连线段是对棱的公垂线段，且连线段共点；正四面体的四条高交于一点；

6232haada2S3a3122（2）全面积：；体积：；对棱间的距离：；高：；外

接球半径：

R661raaarccos12；任两个面所成的二面角大小为：4；内切球半径：3

6（3）正四面体内任意一点到四个面的距离之和相等为定值（等于正四面体的高）3；

（4）正四面体总可以和一个正方体对应起来，正四面体的边为正方体的面对角线。

（二）一般四面体

112VShabcsinsinsinCS1S2sinA3a3a1．体积公式：；

2．面角的性质：（1）同一顶点处的三个面角,,中任意两个之和大于第三个，任两个之差小于第三个；（2）2,ABC；（3）正、余弦定理。

3．特殊点：（1）重心：连结四面体任一顶点与其对面重心的四条线段交于一点G，G称为四面体的重心。G到顶点的距离是它到这顶点对面重心的距离的三倍，四面体三组对棱中点连线交于G且被G平分；

（2）外心：四面体的六条棱的中垂面交于一点O，O称为四面体的外心，O到每个顶点的距离等于外接球的半径R；

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（3）内心：四面体的六个二面角的平分面交于一点I，I称为四面体的内心，I到各面的距离等于内切球的半径r。内切球与四面体的各个面相切，而不是与各条棱相切，同时对任意四面体不一定有与各条棱相切的球。

（三）球：由于球的任一截面均为圆，所以圆的许多性质，如相交弦定理，切线定理，切割线定理对球仍然成立，注意球的截面即球的大圆的特殊性及应用。

43R3,R为球的半径；

1．表面积：S4R，R为球的半径；球的体积：

2V1VrS3（S为多面体的表面积）2．外切于半径为r的球的多面体的体积：；

3．多球堆垒问题“抓球心”；球与规则多面体或旋转体组合“找截面”。

（四）凸多面体的欧拉定理

凸多面体的顶点数v，棱数e和面数f之间有如下关系：vef2

二、典型例题讲解

例1．求证：若四面体中有两条高线相交，则另外两条高线也必定相交

例2．一个正四面体的棱长为1，用它的每条棱为直径作球，设S是所有的六个球的交

1集，证明：S中含有两个点，它们的距离为6

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例3．在四面体PABC中，PA,PB,PC的长分别为a,b,c，两两所成的夹角分别为,,，记以PA,PB,PC为棱的二面角的大小分别为A,B,C

sinsinsinabcsinsinsinsinAsinBsinC6V证明：

例4．四面体ABCD有过A,B,C,D的外接球及与各面相切于内心的内切球。而球有公共的中心O，H为ABC的垂心，H'为D在这个平面上的射影，证明：ABCD,ACBD，

ADBC,OHOH'

例5．已知ABC的面积为，外接圆半径为R，过A,B,C作平面ABC的垂线，并在平面ABC的同一侧的垂线分别取A1,B1,C1，使AA1ha,BB1hb,CC1hc，这里ha,hb,hc分别表示边BC,CA,AB边上的高，求四个平面A1B1C,B1C1A,C1A1B,.ABC所围成的四面体的体积

例6．证明：存在一个四面体ABCD，它的所有的面都是彼此相似的直角三角形，并且以A,B为顶点的面角都是锐角，并确定四面体中的最长棱、最短棱各是哪一条，当最长棱为1时，求最短棱长

例7．证明：对任意四面体的高h1,h2,h3,h4和各对棱间的距离d1,d2,d3有：

1111111222h12h2h32h4d12d2d32

例8．（1）证明：如果给定四面体的六个二面角（即两面之夹角）相等，那么，这个四面体一定是正四面体；

（2）如果五个二面角相等，这个四面体一定是正四面体吗？

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例9．设A1A2A3A4是一个四面体，s1,s2,s3,s4分别是A1,A2,A3,A4为球心的球面，它们两两相切，如果存在一点O，使得以点O为球心可作一个半径为r的球面P与s1,s2,s3,s4都相切，证明：四面体A1A2A3A4是正四面体

例10．（1）四个半径为1的球两两外切，求和这四个球都相切的球的半径

（2）四个半径分别为2，2，3，3的球两两外切，求和这四个球都相切的球的半径

例11．半径为1的球面上有若干个点，其中任意两点间的距离不小于2，求这些点的最大个数

例12．在直角四面体中，记分别表示其体积、六条棱长之和、表面积、外接球半径、内切球半径及侧面上的高。证明下列不等式，并指出等号成立的条件：

23（1）l2(36)R； （2）

S(33)R2；

363l3(6288)V； （4）（3）

S1(33)3363V22；

（5）V(953)r； （6）

3r1(31)h2

例13．证明：对任意四面体都有面体的内切球半径

rab2(ab)，其中a,b是四面体一组对棱的长，r为四

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1Vd1d2d3d1,d2,d33例14．证明：如果四面体相对棱间的距离分别为，那么四面体的体积

例15．设P为四面体A1A2A3A4内任意一点，P到Ai所对面的距离为ri，记

PAiRi(i1,2,3,4)，证明：R1R2R3R481r1r2r3r4

例16．设r是四面体A1A2A3A4的内切球半径，并设r1,r2,r3,r4分别是面A2A3A4,A1A3A4，

1111222222A1A2A4,A1A2A3rrrrr1234的内切圆半径，证明：

例17．四面体ABCD三个侧面ABD,ACD,BCD上，由顶点D引出的中线与底面ABC对应边所成的角相等。证明：每个侧面的面积小于另外两个侧面面积之和

例18．在空间中有n个点，其中任意3个点都是一个内角大于120的三角形的顶点。证明：可以把这些点用字母

120

A1,A2,A3,...,An表示，角

AiAjAk(1ijkn)中任何一个都大于

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