53 带电粒子在直线边界磁场中的运动
[方法点拨] (1)一般步骤：画轨迹，定圆心，求半径或圆心角；(2)注意“运动语言”与“几何语言”间的翻译，如：速度对应圆周半径；时间对应圆心角、弧长或弦长等；(3)掌握一些圆的几何知识，如：偏转角等于圆心角；同一直线边界，出射角等于入射角等．
1．(带电粒子在单边界磁场中的运动)(多选)A、B两个离子同时从匀强磁场的直边界上的P、
Q点分别以60°和30°(与边界的夹角)射入磁场，又同时分别从Q、P点穿出，如图1所示．设
边界上方的磁场范围足够大，下列说法中正确的是( )
图1
A．A为正离子，B为负离子 C．A、B两离子速率之比为1∶3
B．A、B两离子运动半径之比为1∶3 D．A、B两离子的比荷之比为2∶1
2．(带电粒子在单边界磁场中的运动)(多选)如图2所示，在一单边有界磁场的边界上有一粒子源O，沿垂直磁场方向，以相同速率向磁场中发出了两种粒子，a为质子(1H)，b为α粒子(2He)，b的速度方向垂直于磁场边界，a的速度方向与b的速度方向之间的夹角为θ＝30°，两种粒子最后都打到了位于磁场边界位置的光屏OP上，则( )
4
1
图2
A．a、b两粒子转动周期之比为2∶3 B．a、b两粒子在磁场中运动时间之比为2∶3 C．a、b两粒子在磁场中运动的轨道半径之比为1∶2 D．a、b两粒子打到光屏上的位置到O点的距离之比为1∶2
3．(带电粒子在三角形边界磁场中的运动)(多选)如图3所示，M、N为两块带等量异种电荷的平行金属板，两板间电压可取从零到某一最大值之间的各种数值．静止的带电粒子带电荷量为＋q，质量为m(不计重力)，从点P经电场加速后，从小孔Q进入N板右侧的匀强磁场区域，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，CD为磁场边界上的一绝缘板，它与N板的
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夹角为θ＝30°，孔Q到板的下端C的距离为L，当M、N两板间电压取最大值时，粒子恰好垂直打在CD板上，则下列说法正确的是( )
图3
qB2L2
A．两板间电压的最大值Um＝ 2m2
B．CD板上可能被粒子打中区域的长度x＝L
3πmC．粒子在磁场中运动的最长时间tm＝
qBq2B2L2
D．能打到N板上的粒子的最大动能为
18m4．(带电粒子在矩形边界磁场中的运动)如图4所示，在边长ab＝1.5L，bc＝3L的矩形区域内存在着垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，在ad边中点O处有一粒子源，可以垂直磁场向区域内各个方向发射速度大小相等的同种带电粒子．若沿Od的方向射入的粒子从磁场边界cd离开磁场，该粒子在磁场中运动的时间为t0，圆周运动半径为L，不计粒子的重力和粒子间的相互作用．下列说法正确的是( )
图4
A．粒子带负电
B．粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为4t0 C．粒子的比荷为
π
Bt0
D．粒子在磁场中运动的最长时间为2t0
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5.图5中虚线PQ上方有一磁感应强度大小为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外．O是PQ上一点，在纸面内从O点向磁场区域的任意方向连续发射速率为v0的粒子，粒子电荷量为q、质量为m.现有两个粒子先后射入磁场中并恰好在M点相遇，MO与PQ间夹角为60°，不计粒子重力及粒子间的相互作用，则下列说法正确的是( )
图5
2πmA．两个粒子从O点射入磁场的时间间隔可能为 3qBB．两个粒子射入磁场的方向分别与PQ成30°和60°角 C．在磁场中运动的粒子离边界的最大距离为
mv0
qBD．垂直PQ射入磁场中的粒子在磁场中的运行时间最长
6．如图6所示，边界OA与OC之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场，边界OA上有一粒子源
qS.某一时刻，从S平行于纸面向各个方向以某一速率发射出大量比荷为的同种正电粒子，经
m过一段时间有大量粒子从边界OC射出磁场．已知磁场的磁感应强度大小为B，∠AOC＝60°，
O、S两点间的距离为L，从OC边界射出的粒子在磁场中运动的最短时间t＝
的影响和粒子间的相互作用，则粒子的速率为( )
2πm，忽略重力3qB
图6
A.C.
qBL 2m3qBL 2mB.D.
qBL m3qBL
m7.如图7所示，边长为l的正六边形abcdef中，存在垂直该平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B.a点处的粒子源发出大量质量为m、电荷量为＋q的同种粒子，粒子的速度大小不K12小学初中高中
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同，方向始终垂直ab边且与磁场垂直．不计粒子的重力，当粒子的速度为v时，粒子恰好经过b点．下列说法正确的是( )
图7
πmA．速度小于v的粒子在磁场中运动时间为 2qBB．经过c点的粒子在磁场中做圆周运动的半径为l πmC．经过d点的粒子在磁场中运动的时间为 4qBD．速度大于4v的粒子一定打在cd边上
8．提纯氘核技术对于核能利用具有重大价值，如图8是从质子、氘核混合物中将质子和氘核分离的原理图，x轴上方有垂直于纸面向外的匀强磁场，初速度为0的质子、氘核混合物经电压为U的电场加速后，从x轴上的A(－L,0)点沿与＋x成θ＝30°的方向进入第二象限(速度方向与磁场方向垂直)，质子刚好从坐标原点离开磁场．已知质子、氘核的电荷量均为＋q，质量分别为m、2m，忽略质子、氘核的重力及其相互作用．
图8
(1)求质子进入磁场时速度的大小； (2)求质子与氘核在磁场中运动的时间之比；
(3)若在x轴上接收氘核，求接收器所在位置的横坐标．
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答案精析
1．BD [A向右偏转，根据左手定则知，A为负离子，B向左偏转，根据左手定则知，B为正离子，A项错误；离子在磁场中做圆周运动，设PQ的距离为l，由几何关系可得r＝
l2sin θ
，sin 60°∶sin 30°＝3∶1，则A、B两离子的半径之比为1∶3，B项正确；离子的速率
r·2θv＝，时间相同，半径之比为1∶3，圆心角之比为2∶1，则速率之比为2∶3，C
t项错误；根据r＝知，＝，因为速度大小之比为2∶3，半径之比为1∶3，则比荷之比为2∶1，D项正确．]
2πm2．BC [由带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期公式T＝可知，a、b两粒子转
mvqBqvmBrqB动周期之比Ta∶Tb＝∶＝1∶2，选项A错误；a粒子在匀强磁场中运动轨迹对应的圆心角2Ta为240°，运动时间为，b粒子在匀强磁场中运动轨迹对应的圆心角为180°，运动时间
3
mambqaqbTb2TaTb为，a、b两粒子在匀强磁场中运动的时间之比为ta∶tb＝∶＝2∶3，选项B正确；由232v2mvqvB＝m，解得r＝，由此可知a、b两粒子在匀强磁场中运动的轨道半径之比为ra∶rb＝
rqBmamb∶＝1∶2，选项C正确；a粒子打到光屏上的位置到O点的距离为2racos 30°＝3ra，bqaqb粒子打到光屏上的位置到O点的距离为2rb，a、b两粒子打到光屏上的位置到O点的距离之比为3ra∶2rb＝3∶4，选项D错误．]
3．ACD [M、N两板间电压取最大值时，粒子恰好垂直打在CD板上，
v21
所以圆心在C点，CH＝QC＝L，故半径R1＝L，又因为qv1B＝m，qUm
R1
12qBL＝mv1，Um＝，A项正确；设轨迹与CD板相切于K点，半径为22m22
R2，在△AKC中 ，sin 30°＝
L3
，所以R2＝，因为KC长等于L－R233
3
)L，B项错误；3
R2
L，所以CD板上可能被粒子打中的区域的长度x为HK：x＝R1－KC＝(1－
2πm1πm打在QC间的粒子在磁场中运动的时间最长，均为半个周期，因为T＝，所以tm＝T＝，qB2qBC项正确；轨迹与CD板相切的粒子是能打到N板上的粒子中动能最大的，由前面分析可知R2
222
mvqBL12qBL＝，由R2＝可得v＝，所以其动能为mv＝，D项正确．] 3qB3m218mLK12小学初中高中
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4．D [由题设条件作出以O1为圆心的轨迹圆弧，如图所示，由左手定
3L2
则可知该粒子带正电，选项A错误；由图中几何关系可得sin θ＝＝
L3π
，解得θ＝，可得T＝6t0，选项B错误；根据洛伦兹力公式和23
2πmm3t0B牛顿第二定律可得T＝，解得＝，选项C错误；根据周期公
qBqπ式，粒子在磁场中运动时间t＝
mα
，在同一圆中，半径一定时，弦越长，其对应的圆心角αqB越大，则粒子在磁场中运动时间最长时的轨迹是以O2为圆心的圆弧，如图所示，由图中几何2π
关系，α＝，解得t＝2t0，选项D正确．]
3
5．A [以粒子带正电为例来分析，先后由O点射入磁场，并在M点相遇的两个粒子轨迹恰好组成一个完整的圆，从O点沿OP方向入射并通过M点的粒子轨迹所对圆心角为240°，根据带电粒子在磁场中运动的周期公式可知，该粒子在磁场中的运动时间t1＝
240°2πm×＝360°qB4πm120°2πm，则另一个粒子轨迹所对圆心角为120°，该粒子在磁场中的运动时间t2＝×3qB360°qB＝
2πm2πm，可知，两粒子在磁场中的运动时间差可能为Δt＝，A项正确；射入磁场方向分3qB3qB别与PQ成30°和60°角的两粒子轨迹所对圆心角之和不是360°，不可能在M点相遇，B2mv0项错；在磁场中运动的粒子离边界的最大距离为轨迹圆周的直径d＝，C项错；沿OP方
qB向入射的粒子在磁场中运动的轨迹所对圆心角最大，运动时间也最长，D项错．]
6．A [由于粒子速率一定，带电粒子在磁场中运动时间最短时，轨迹所对应弦长最短，即弦长d＝Lsin 60°＝
32πmL，由最短时间t＝知粒子运动轨迹所对应圆心角为120°，由几23qB2
1vqBL何关系知Rsin 60°＝d，由洛伦兹力提供向心力，得qvB＝m，解得v＝，选项A正确．]
2R2m7．B [根据题述“当粒子的速度为v时，粒子恰好经过b点”，说明粒子在磁场中运动的轨
lTπm道半径为，运动时间为半个周期，即t＝＝，速度小于v的粒子在磁场中的运动轨迹仍
22qBTπm为半个圆周，其运动时间仍为半个周期，即t＝＝，选项A错误；画出带电粒子经过c2qB点的运动轨迹(图略)，可知经过c点的粒子在磁场中做圆周运动的半径为正六边形的边长l，选项B正确；画出带电粒子经过d点的运动轨迹(图略)，可知轨迹所对的圆心角为60°，经
Tπmmv过d点的粒子在磁场中运动的时间为t＝＝，选项C错误；速度大于4v的粒子，由r＝63qBqBK12小学初中高中
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可知，在磁场中运动的轨道半径大于2l，一定不会打在cd边上，选项D错误．] 8．(1)
2qUm (2)1∶2 (3)(2－1)L
12
解析 (1)质子在电场中加速，由动能定理得qU＝mv
2解得v＝
2qUm.
12πm2π·2m(2)质子与氘核在磁场中都转过6个圆周，做圆周运动的周期T1＝qB，T2＝磁场中的运动时间t＝1
6
T，则t1∶t2＝T1∶T2＝1∶2.
质子在磁场中运动时，由几何知识得r＝L，由牛顿第二定律得qvB＝mv2
(3)r氘核在电场中加速，由动能定理得qU＝12
2
×2mv1
v2在磁场中，由牛顿第二定律得qv＝2m1
1Br，解得r1＝2L
1
横坐标：x＝r1－L＝(2－1)L.
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qB，粒子在
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