集合-高考数学专题复习

知识网络 无限集 分类 有限集 集合的概念 空集 元素的性质 确定性 互异性 列举法 集无序性 合 集合的表示法 韦恩图法 描述法 真子集 包含关系 子集 集合与集合的关系 相 等 集合运算 交集 并集 高考导航 补集 集合部分在选择、填空和解答题中都有涉及，高考命题热点有以下两个方面：一是集合的运算、集合的有关述语和符号、集合的简单应用等作基础性的考查，题型多以选择、填空题的形式出现；二是以函数、方程、三角、数列、不等式等知识为载体，以集合的语言和符号为表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现.

知识精要

定义：一组对象的全体形成一个集合. 特征：确定性、互异性、无序性.

表示法：列举法{1,2,3,…}、描述法{x|P}、区间法、数轴、韦恩图 分类：有限集、无限集.

数集：自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、正整数集N*、空集φ. 关系：属于∈、不属于、包含于(或)、真包含于、集合相等＝. 运算：交运算A∩B＝{x|x∈A且x∈B}；图：

并运算A∪B＝{x|x∈A或x∈B};

补运算CUA＝{x|xA且x∈U}，U为全集 性质：AA； φA； 若AB，BC，则AC；

A∩A＝A∪A＝A； A∩φ＝φ；A∪φ＝A； A∩B＝AA∪B＝BAB；

A∩CUA＝φ； A∪CUA＝I；CU( CUA)＝A； CU(AB)＝(CUA)∩(CUB). 方法：韦恩示意图, 数轴分析.

注意：① 区别∈与、与、a与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}； ② AB时，A有两种情况：A＝φ与A≠φ.

③若集合A中有n(nN)个元素，则集合A的所有不同的子集个数为2，所有真子集的个数是2-1, 所有非空真子集的个数是22。

④区分集合中元素的形式：如A{x|yx22x1}；B{y|yx22x1}；

nnnC{(x,y)|yx22x1}；D{x|xx22x1}；E{(x,y)|yx22x1,xZ,yZ}；

yF{(x,y')|yx22x1}；G{z|yx22x1,z}。

x⑤空集是指不含任何元素的集合。{0}、和{}的区别；0与三者间的关系。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。条件为AB，在讨论的时候不要遗忘了A的情况。

⑥符号“,”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现 点与直线（面）的关系 ；符号“,”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 。

热身练习

1、设集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2，3}，B＝{2，5}，则A∩(CUB)等于（ D ） A. {2} B. {2，3} C. {3} D. {1，3}

解析：∵U＝{1，2，3，4，5}，B＝{2，5}， ∴CUB＝{1，3，4}。∴A∩(CUB)＝{1，3}。

1＜1}，N＝{y|y＝x2}，则M∩N等于（ B ） x A.  B. {x|x＞1} C. {x|x＜0} D. {x|x＜0或x＞1}

解析：M＝{x|x＞1或x＜0}，N＝{y|y≥0}，两个集合都是数集，集合中的元素是数，易知M∩N＝{x|x＞1}。

2、 已知M＝{x|

3、设集合M＝{x|x＝ A. M＝N

k1k1，k∈Z}，N＝{x|x＝，k∈Z}，则（ B ） 2442

C. MN

D. M∩N＝

B. MN

解析：集合M的元素为：

xk12k1（k∈Z），集合N的元素为：x＝244k1k2（k∈Z），而2k+1为奇数，k+2为整数，因此MN。∴MN 4244、设全集是实数集R，M＝｛x｜x≤1＋（ B ） A. ｛4｝

C. ｛2，3，4｝ 解析：CRM＝{x|x>1+

2，x∈R｝，N＝｛1，2，3，4｝，则CRM∩N等于

B. ｛3，4｝

D. ｛1，2，3，4｝

2，x∈R}，又1+2<3。故CRM∩N＝{3，4}。故选B。

5、已知I为全集，集合M、N I，若M∩N＝N，则（ C ） A. CIMCIN B. MCIN C. CIMCIN D. MCIN 解析一：∵M∩N＝N，∴NM，∴CINCIM

解析二：画出韦恩图如下，显然：CIMCIN。故选C。

6、设全集I＝｛0，1，2，3，4｝，集合A＝｛0，1，2，3｝，集合B＝｛2，3，4｝，则CIA∪CIB等于（ C ） A. ｛0｝ B. ｛0，1｝ C. ｛0，1，4｝ D. ｛0，1，2，3，4｝ 解析：∵CIA＝{4}，CIB＝{0，1}，∴CIA∪CIB＝{0，1，4}。

7、已知集合A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{x|x≥a}，且AB，则实数a的取值范围是__a≤－2_。

解析：∵A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x≥a}，又AB，利用数轴上覆盖关系： 如图

因此有a≤－2。

8、已知集合M＝{0，1，2}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，则集合M∩N＝___{0，2}____。 解析：∵M＝{0，1，2}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，∴N＝{0，2，4}。 9、设集合M＝｛x｜0≤x＜2｝，集合N＝｛x｜x2－2x－3＜0｝，集合M∩Ｎ等于 ｛x｜0≤x＜2｝ 。

解析：N＝｛x｜x2－2x－3＜0｝＝｛x｜－1＜x＜3｝，所以M∩N＝｛x｜0≤x＜2｝ 10、下列5个命题，其中正确的个数为 三个

①a∈Aa∈A∪B ②ABA∪B＝B ③a∈Ba∈A∩B ④A∪B＝BA∩B＝A ⑤A∪B＝B∪CA＝C

解析：①②④正确;③错误，例如A＝；⑤错误，例如A＝{1，2}，B＝{3，4}，C＝{1，2，3}，显然有A∪B＝B∪C，但A≠C。

精解名题

例1. 已知集合AxN|8N，试求集合A的所有子集.6x解：由题意可知6x是8的正约数，所以 6x可以是1,2,4,8；相应的x为

2,4,5，即A2,4,5. ∴A的所有子集为,{2},{4},{5},{2,4},{2,5},{4,5}{2,4,5}.

b变式训练1.若a,bR,集合1,ab,a0,,b,求b-a的值.

ab解：由1,ab,a0,,b可知a≠0，则只能a+b=0，则有以下对应关系：

aab0ab0ba1,符合题意；②无解.所以b-a=2. ①或 ba ②，由①得ab1ab1b1a2例2. 设集合U{2,3,a2a3}，A{|2a1|,2}，CUA{5}，求实数a的值.解：此时只可能a22a35，易得a2或4。当a2时，A{2,3}符合题意。

当a4时，A{9,3}不符合题意，舍去。故a2。

变式训练2：（1）P＝{x|x－2x－3＝0}，S＝{x|ax＋2＝0}，SP，求a取值？

2

（2）A＝{－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，BA,求m。

解：（1）a＝0,S＝，P成立 a0，S，由SP，P＝{3，－1}得3a＋2＝0，a＝－

22或－a＋2＝0，a＝2； ∴a值为0或－或2.33A成立.

（2）B＝，即m＋1>2m－1,m<2 ∴m12m1 B≠，由题意得2m1得2≤m≤3

52m1∴m<2或2≤m≤3 即m≤3为取值范围.注：（1）特殊集合作用，常易漏掉

例3. 某班有50名学生报名参加两项比赛，参加A项的有30人，参加B项的有33人，且A、B都不参加的同学比A、B都参加的同学的三分之一多一人，则只参加A项，没有参加B项的学生有 人。

解析：设A、B都参加的有x人，都不参加的有y人，则

30－x＋x＋33－x＋y＝50 y＝

解得x＝21，只参加A项，没有参加B项的学生有30－21＝9人，故填9。

1x＋1 3

变式训练3.（1）已知A={a+2，（a+1)，a+3a+3}且1∈A，求实数a的值；（2）已知M={2，a，b}，N={2a，2，b}且M=N，求a，b的值.解：（1）由题意知：

2

2

22

2

a+2=1或(a+1)=1或a+3a+3=1，

∴a=-1或-2或0，根据元素的互异性排除-1，-2,∴a=0即为所求.

12aa0a2aa0ab（2）由题意知,或或或42,b0b1bbb2a1b2a0或a即为所求.根据元素的互异性得4b1b121备选例题

例1、 若集合A＝{2，4，a2aa7}，B＝{1，a＋1，a2a2，32212(a3a8)、2a3a23a7 }，且A∩B＝{2，5}，试求实数a的值．

解:∵А∩В＝{2，5}，∴2∈A且5∈A，

则a2aa7＝5(a－2)(a－1)(a＋1)＝0，∴a＝－1或a＝1或a＝2．

32当a＝－1时，B＝{1，0，5，2，4}，与A∩B＝{2，5}矛盾，∴a≠－1．

当a＝1时，B＝{1，2，1，5，12}，与集合中元素互异性矛盾，∴a≠1．

当a＝2时，B＝{1，3，2，5，25}，满足A∩B＝{2，5}．故所求a的值为2．

2变式训练1、已知集合A＝{a，a＋d，a＋2d}，B＝{a，aq，aq }，其中a≠0，若A＝B，求q的值

2adaqadaqa2daq2解：∵A＝B ∴(Ⅰ)或 (Ⅱ) a2daq1由(Ⅰ)得q＝1，由(Ⅱ)得q＝1或q＝－2．

1当q＝1时，B中的元素与集合元素的互异性矛盾，∴q＝－2

例2、 设全集UR，M{m|方程mx2x10有实数根}，N{n|方程

x2xn0有实数根}，求(CUM)N.

解：当m0时，x1，即0M； 当m0时，14m0,即m∴CUMm|m

11，且m0 ∴m， 4414而对于N，14n0,即n1，∴Nn|n41. 4∴(CUM)1Nx|x

4621,xR,B=x|x2xm0, x1变式训练2、已知集合A=x|（1）当m=3时，求A(CRB)；

（2）若ABx|1x4，求实数m的值.

解： 由61,得x50.∴-1＜x≤5,∴A=x|1x5.

x1x1（1）当m=3时，B=x|1x3，则CRB=x|x1或x3， ∴A(CRB)=x|3x5.

Bx|1x4,∴有4-2×4-m=0,解得m=8.

2

(2)∵A=x|1x5,A此时B=x|2x4,符合题意，故实数m的值为8. 例3、已知A{x|axa3},B{x|x1或x5}. (1)若A(2) 若A解:(1)A(2) A∴若AB,求a的取值范围; BB,求a的取值范围.

a1B, ∴，解之得1a2.

a35BB, ∴AB. ∴a31或a5， a4或a5 B,则a的取值范围是[1,2]；若ABB,则a的取值范围是

(,4)(5,).

变式训练3：设集合A=x|x23x20,Bx|x22(a1)x(a25)0. （1）若AB2,求实数a的值； （2）若AB=A，求实数a的取值范围；

（3）若U=R，A（CUB）=A.求实数a的取值范围. 解:由x-3x+2=0得x=1或x=2,故集合A=1,2.

2

（1）∵AB2,∴2B，代入B中的方程， 得a+4a+3=0,∴a=-1或a=-3;

当a=-1时，B=x|x2402,2,满足条件； 当a=-3时，B=x|x24x402,满足条件； 综上，a的值为-1或-3. （2）对于集合B，

=4（a+1）2-4(a2-5)=8(a+3).

2

∵AB=A，∴BA,

①当＜0,即a＜-3时，B=，满足条件； ②当=0，即a=-3时，B2,，满足条件；

③当＞0，即a＞-3时，B=A=1,2.才能满足条件， 则由根与系数的关系得

122(a1)a2,矛盾； 即212a5a275综上，a的取值范围是a≤-3.

（3）∵A（CUB）=A，∴ACUB，∴AB; ①若B=，则＜0a3适合；

②若B≠，则a=-3时，B=2，AB=2，不合题意；

a＞-3，此时需1B且2B，将2代入B的方程得a=-1或a=-3（舍去）； 将1代入B的方程得a+2a-2=0a13. ∴a≠-1且a≠-3且a≠-13.

综上，a的取值范围是a＜-3或-3＜a＜-1-3或-1-3＜a＜-1或-1＜a＜-1+3或a＞-1+3. 2

巩固练习

例1、 已知集合A=x|x2(2a)x10,xR,BxR|x0，试问是否存在实数a，使得AB？ 若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由. 解:方法一 假设存在实数a满足条件AB=则有

（1）当A≠时，由AB=，BxR|x0，知集合A中的元素为非正数， 设方程x+(2+a)x+1=0的两根为x1,x2,则由根与系数的关系，得

2

(2a)240x1x2(2a)0,解得a0;xx1012

（2）当A=时，则有=(2+a)2-4＜0，解得-4＜a＜0.

综上（1）、（2），知存在满足条件AB=的实数a,其取值范围是（-4，+∞）.

方法二 假设存在实数a满足条件AB≠，则方程x+(2+a)x+1=0的两实数根x1，x2至少

2

有一个为正，

因为x1·x2=1＞0，所以两根x1,x2均为正数.

a0或a4(2a)240则由根与系数的关系，得,即a4. ,解得a2x1x2(2a)0又∵集合a|a4的补集为a|a4,

∴存在满足条件AB=的实数a,其取值范围是（-4，+∞）.

变式训练1.设集合A={（x,y）|y=2x-1,x∈N*},B={(x,y)|y=ax-ax+a,x∈N*}，问是否存在非零整数a,使A∩B≠？若存在，请求出a的值；若不存在，说明理由. 解：假设A∩B≠，则方程组

2

y2x12

有正整数解，消去y,得ax-(a+2)x+a+1=0. 2yaxaxa由Δ≥0，有（a+2）2-4a(a+1)≥0,解得-23a23.因a为非零整数，∴a=±1，

33当a=-1时，代入（*），解得x=0或x=-1, 而x∈N*.故a≠-1.当a=1时，代入（*）,

解得x=1或x=2，符合题意.故存在a=1,使得A∩B≠, 此时A∩B={（1，1），（2，3）}.

例2、 已知A＝{x｜x－2ax＋(4a－3)＝0，x∈R}，又B＝{x｜x－22ax＋a＋a＋2＝0，x∈R}，是否存在实数a，使得AB＝?若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由． 解：1变式训练2.设集合A为函数yln(x2x8)的定义域,集合B为函数yx22

2

2

1的x1值域,集合C为不等式(ax)(x4)0的解集.（1）求A取值范围．

解：（1）解得A=（-4，2）， B=,31aB；（2）若CCRA,求a的

1, 。 所以AB4,31,2

（2）a的范围为2a<0 2归纳小结

1．本部分的重点是集合的基本概念和表示方法，对集合的认识，关键在于化简给定的集合，

确定集合的元素，并真正认识集合中元素的属性，特别要注意代表元素的形式，不要将点集和数集混淆．

2．利用相等集合的定义解题时，特别要注意集合中元素的互异性，对计算的结果要加以检验．

3．注意空集φ的特殊性，在解题时，若未指明集合非空，则要考虑到集合为空集的可能性． 4．要注意数学思想方法在解题中的运用，如化归与转化、分类讨论、数形结合的思想方法在解题中的应用．

5．在解决有关集合运算题目时，关键是准确理解题目中符号语言的含义，善于转化为文字语言．

6．集合的运算可以用韦恩图帮助思考，实数集合的交、并运算可在数轴上表示，注意在运算中运用数形结合思想．

7．对于给出集合是否为空集，集合中的元素个数是否确定，都是常见的讨论点，解题时要有分类讨论的意识.

自我测试

1、满足条件{1,2}M{1,2,3,4,5}的集合M的个数有_____个． 解：7个 （提示：即为求集合3,4,5的非空子集的个数217）

32、 已知集合Axa1xa2，Bx3x5，则能使AB成立的实数a 的取值范围是 ．

解：a3a4（ 提示：借助数轴，可以得到a25 ）

a133、设函数f(x)＝2x3的定义域为A，不等式(x－a－1)(2a－x)>0(a<1) 的解集为B。 x1 （1）求A；

（2）若BA，求实数a的取值范围。

x3x1≥0，得≥0。 x1x1 ∴x<－1或x≥1，即A＝(－∞，－1)∪［1，+∞)。 （2）由(x－a－1)(2a－x)>0，得(x－a－1)(x－2a)<0。 ∵a<1，∴a+1>2a。∴B＝(2a，a+1)。

1 ∵BA，∴2a≥1或a+1≤－1，即a≥或a≤－2。

2 解：（1）由2－

而a<1，∴

1≤a<1或a≤－2。 21，1)。 2x14、 已知U＝{x|x2－3x+2≥0}，A＝{x||x－2|＞1}，B＝{x|≥0}，求A∩B，A∪B，(CUA)

x2∪B，A∩(CUB)。

解：∵U＝{x|x2－3x+2≥0}＝{x|(x－2)(x－1)≥0}＝{x|x≥2或x≤1}， A＝{x||x－2|＞1}＝{x|x－2＞1或x－2＜－1}＝{x|x＞3或x＜1}，

故当BA时，实数a的取值范围是(－∞，－2］∪［

(x1)(x2)0 B＝{x|}＝{x|x＞2或x≤1}。

x20 由图（1）可知，A∩B＝{x|x＞3或x＜1}，

A∪B＝{x|x＞2或x≤1}。

图（1）

由图（2）可知CUA＝{x|2≤x≤3或x＝1}， 易知CUB＝{x|x＝2}。

图（2）

由图（3）可知，(CUA)∪B＝{x|x≥2或x≤1}＝U。

图（3）

由图（4）可知，A∩(CUB)＝。

图（4）