2014年 深圳 高二上学期期末考试(数学理)

高二上学期期末考试数学理

命题人：甘超

一、 选择题（每小题5分，共50分

1、命题p:mR,方程x2mx10有实根，则p是：（ ）

A、mR,方程xmx10无实根 B、mR,方程xmx10无实根 C、不存在实数m，使方程xmx10无实根 D、至多有一个实数m，使方程xmx10有实根 22222、抛物线x24y上一点A的纵坐标为4,则点A与抛物线焦点的距离为（ ） A、2 B、3 C、4 D、5 3、．如果1ab0，则有（ ） 11b2a2 ba1122（C）ba ab（A）11a2b2 ba1122（D）ab ab（B）4、在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知A3,a3,b1，则边c的长

为（ ） A、1 B、2 C、31 D、3 5、若条件p：x1≤4，条件q：x25x6，则p是q的( ) A.必要不充分条件B. 充分不必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6、设P(x,y)是第一象限的点，且点P在直线3x2y6上移动，则xy的最大值是（ ）

A、1.44 B、1.5 C、2.5 D、1 7、等比数列an的前n项和为sn，且4a1，2a2，a3成等差数列。若a1=1，则s4=（ ）

A．7 B．8 C．15 D．16 8、设ABC是等腰三角形，ABC120，则以A,B为焦点且过点C的双曲线的离心率

为（ ） A、

1213 B、 C、12 D、13 229、已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，且满足以下条件：①f(x)=ax·g(x)（a0,a1）；②g(x)0；③f(x)g'(x)f'(x)g(x)。若

f(1)f(1)5，则使 g(1)g(1)2第 1 页 共 10 页

logax1成立的x的取值范围是（ ）

11）∪（2，+∞ ） B.（0，） 221C.（－∞，）∪（2，+∞ ） D.（2，+∞ ）

2A.（0，

10、下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口A,B,C的机动车辆数如图所示，图中x1,x2,x3分别表示该时段单位时间通过路段

、

、

的

机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则 （ ） A、x1x2x3 B、x1x3x2 C、x2x3x1 D、x3x2x1 二、 填空题（每小题5分，共20分 11、101x2dx= 。 xy5,3x2y12,12、设x、y满足约束条件则使得目标函数z6x5y的最大值0x3,0y4.是 . 13、设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG=3GG1，若OG

=xOA+yOB+zOC，则（x，y，z）为

C=0有一个根为1，则ABC一定是 2 （判断三角形状） 14、关于x的方程x2xcosAcosBcos2

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高二上学期期末考试

数学理答题卷

班级 姓名 座号 评分

一、选择题答案栏（每小题5分，共50分） 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

二、填空题答案（每小题5分，共20分）

11、 12、 13、

14、

三、解答题（每题16分，共80分） 15、在锐角△ABC中，a,b,c分别为角A,B,C所对的边，且3a2csinA (Ⅰ)确定角C的大小；（Ⅱ）若c＝7,且△ABC的面积为 332,求ab的值。

16、在如图所示的几何体ABCED中，EC⊥面ABC， DB⊥面ABC，CE=CA=CB=2DB，∠ACB=90°，M为 AD的中点。（1）证明：EM⊥AB；

（2）求直线BM和平面ADE所成角的正弦值。

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班级 姓名 座号 17、已知椭圆的一个顶点为Ａ（０，－１），焦点在x轴上，若右焦点到直线

的距离为３．（1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆与直线y＝kx＋m（k≠0）相交于不同的两点Ｍ、Ｎ， 当｜ＡＭ｜＝｜ＡＮ｜时，求m的取值范围．

xy220

18、已知数列an的前n项和为Sn， （1）若点n,Sn均在函数yf(x)的图象上，且f(x)3x2x，求an的通项公式；

2（2）若a1a21，且an1an（01,n2,3,4,...)，证明： anan1a1ka2kankk*kN （常数且k3） ka1a2an1

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班级 姓名 座号

19、已知函数f(x)1aln(x1),其中n∈N*,a为常数. (1x)n（Ⅰ）当n=2时，求函数f(x)的极值； （Ⅱ）当a=1时，证明：对任意的正整数n,当x≥2时，有f(x)≤x-1.

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广东省汕头市金山中学09-10学年高二上学期期末考试

数学理参考答案 三、选择题答案栏（每小题6分，共60分） 1 2 3 4 5 题号 答案 B D A B B 四、填空题答案（每小题5分，共20分） 11、6 7 8 9 10 B C B D C 111 12、27 13、,, 14、等腰三角形 44443a2csinA 三、解答题（每题14分，共70分） 15、在锐角△ABC中，a,b,c分别为角A,B,C所对的边，且(Ⅰ)确定角C的大小；（Ⅱ）若c＝7,且△ABC的面积为解：(Ⅰ)因为3a2csinA，由正弦定理得 332,求ab的值。 3sinA2sinCsinA 由于sinA0，故有 sinC3 2 由已知C是锐角，所以C60 133absin60，ab6 22 由余弦定理c2a2b22abcosC可得 7(ab)23ab(ab)218 从而ab5

16、在如图所示的几何体ABCED中，EC⊥面ABC，

（Ⅱ）SDB⊥面ABC，CE=CA=CB=2DB，∠ACB=90°，M为 AD的中点。（1）证明：EM⊥AB；

（2）求直线BM和平面ADE所成角的正弦值。 解：（1）以C为原点建立如图所示的空间直角坐标系 设DB1，则CECACB2

由于A(2,0,0),B(0,2,0),E(0,0,2),D(0,2,1),M(1,1,)

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12

所以 EM(1,1,),AB(2,2,0)

32EMAB2200 EMAB

（2）由（1）知BM(1,1,),AD(2,2,1),AE(2,0,2),DE(0,2,1)

设面ADE的法向量为n(x,y,z)，则

122x2z0nAE0，即 2yz0nDE0 取n(2,1,2) 设直线BM和平面ADE所成角为，则 sincosBM,nBMnBMn4 9xy22017、已知椭圆的一个顶点为Ａ（０，－１），焦点在x轴上，若右焦点到直线的距离为３．（1）求椭圆的方程； （2）设椭圆与直线y＝kx＋m（k≠0）相交于不同的两点Ｍ、Ｎ， 当｜ＡＭ｜＝｜ＡＮ｜时，求m的取值范围． (1)解：由题知，椭圆焦点在x轴上，且b1 x2 设椭圆方程为2y21(a1)，则由已知有 a c2223，所以c2 x2y21 所以 a3，故所求椭圆方程为3ykxm（2）设弦MN的中点为P(xp,yp)，由x2得 2y13 (3k21)x26kmx3(m21)0 由0得 m3k1————① 22x1x23mkm2，ypkxpm 23k13k21 由MNAP得

m3k211，即 2m3k21————② 3kmk2m1120，即有m k322再将②代入①得 2mm，解得 0m2

又xp第 7 页 共 10 页

1218、已知数列an的前n项和为Sn，

故m的取值范围是(,2)

（1）若点n,Sn均在函数yf(x)的图像上，且f(x)3x2x，求an的通项公式；

2（2）若a1a21，且

an1an（01,n2,3,4,...)，证明： anan1a1ka2kankk*kN （常数且k3） ka1a2an12解：（1）Sn3n2n 故当n1时，a1S11 当n2时，anSnSn16n5 由于当n1时，6n51也成立 所以an6n5 （2）令bnan1，由已知有 b11,bnbn1 anan1n1 an 所以bn是等比数列，bnn1 即 (n1)(n2)anana2a3a42  a1a2a3an1a1 an(n1)(n2)2 2(nk1)(nk2)(n1)(n2)kank22 anka1ka2kanka1a2an23k2nk2 3k2k2knkk23k2k (1)k1nk01，k3 01nk1，0ka1ka2kank a1a2an2k23k21，0k23k2(1nk)1

3k2kk (1)kk11nk19、已知函数f(x)1aln(x1),其中n∈N*,a为常数. n(1x)（Ⅰ）当n=2时，求函数f(x)的极值；

（Ⅱ）当a=1时，证明：对任意的正整数n,当x≥2时，有f(x)≤x-1. （Ⅰ）解：由已知得函数f(x)的定义域为{x|x＞1}，

当n=2时，f(x)1aln(x1), 2(1x)2a(1x)2. 所以 f(x)(1x)3第 8 页 共 10 页

（1）当a＞0时，由f(x)=0得 x11此时 f(x)22＞1，x21＜1， aaa(xx1)(xx2). 3(1x)当x∈（1，x1）时，f′（x）＜0,f(x)单调递减； 当x∈（x1+∞）时，f′（x）＞0, f(x)单调递增.

（2）当a≤0时，f′（x）＜0恒成立，所以f(x)无极值. 综上所述，n=2时，

2a2当a＞0时，f(x)在x12处取得极小值，极小值为f(1)(1ln).

a2aa当a≤0时，f(x)无极值. 1ln(x1). (1x)n1 当n为偶数时，令g(x)x1ln(x1), n(1x)n1x2n则g(x)=1+＞0（x≥2）. (x1)n1x1x1(x1)n1（Ⅱ）证法一：因为a=1,所以f(x)所以当x∈[2,+∞]时，g(x)单调递增， 又g(2)=0 因此g(x)x11ln(x1)≥g(2)=0恒成立， n(x1) 所以f(x)≤x-1成立. 当n为奇数时， 1＜0，所以只需证ln(x-1) ≤x-1, (1x)n1x2 令 h(x)x1ln(x1) 则h(x)10x2 1xx1 所以 当x∈[2，+∞]时，h(x)x1ln(x1)单调递增，又h(2)=1＞0， 要证f(x)≤x-1,由于 所以当x≥2时，恒有h(x) ＞0,即ln（x-1）＜x-1命题成立. 综上所述，结论成立. 证法二：当a=1时，f(x)1ln(x1). n(1x)1≤1， n(1x)当x≤2，时，对任意的正整数n，恒有

故只需证明1+ln(x-1) ≤x-1.

令h(x)x1(1ln(x1))x2ln(x1),x2,

1x2, x1x1当x≥2时，h(x)≥0，故h(x)在2,上单调递增，

则h(x)1因此 当x≥2时，h(x)≥h(2)=0，即1+ln(x-1) ≤x-1成立. 故 当x≥2时，有

1ln(x1)≤x-1.即f（x）≤x-1. n(1x)第 9 页 共 10 页

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