二次函数综合测评卷(含答案)

一、选择题(每题3分，共30分) 1.下列各式中，y是x的二次函数的是( ).

A.x2+2y2=2 B.x=y2 C.3x2－2y=1 D.

1+2y－3=0 x22.对于二次函数y=(x－1)2+3的图象，下列说法正确的是( ). A.开口向下 B.对称轴是直线x=－1 C.顶点坐标是(1，3) D.与x轴有两个交点

（第3题）

3.如图所示，一边靠墙(墙有足够长)，其他三边用12m长的篱笆围成一个矩形(ABCD)花园，这个矩形花园的最大面积是( ).

A.16m2 B.12m2 C.18m2 D.以上都不对 4.如果抛物线y=mx2+(m－3)x－m+2经过原点，那么m的值等于( ). A.0 B.1 C.2 D.3 5.如图所示，直线x=1是抛物线y=ax2+bx+c的对称轴，那么有( ). A.abc＞0 B.b＜a+c C.a+b+c＜0 D.c＜2b

(第5题) (第6题) (第7题) (第8题)

6.已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图所示.关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法中正确的是( ).

A.有最小值0，有最大值3 B.有最小值－1，有最大值0 C.有最小值－1，有最大值3 D.有最小值－1，无最大值

7.如图所示，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为点P(－2，2)，与y轴交于点A(0，3).若平移该抛物线使其顶点P由(－2，2)移动到(1，－1)，此时抛物线与y轴交于点A′，则AA′的长度为( ). A.3

31 B.2 C.32 D.3 448.如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小强想知道这道门的高度，他先测出门的宽度

AB=8m，然后用一根长4m的小竹竿CD竖直地接触地面和门的内壁，测得AC=1m，则门高OE为( ).

A.9m B.

64m C.8.7m D.9.3m 79.已知二次函数y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且图象过A(x1，m)，B(x1+n，m)两点，则m，n满足的关系为( ). A.m=

1111n B.m=n C.m=n2 D.m=n2 224410.已知二次函数y=－(x－1)2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为( ). A.

531 B.2 C. D.

222

二、填空题(每题4分，共24分)

11.如果某个二次函数的图象经过平移后能与y=3x2的图象重合，那么这个二次函数的表达式可以是 (只要写出一个)．

12.如图所示，抛物线y=ax2+bx+c(a＞0)的对称轴是过点(1，0)且平行于y轴的直线.若点P(5，0)在抛物线上，则9a－3b+c的值为 .

（第12题）（第13题） (第14题) (第15题)

13.如图所示，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A，B(m+2，0),与y轴相交于点C，点D在该抛物线上，坐标为(m，c)，则点A的坐标是 .

14.如图所示，将两个正方形并排组成矩形OABC，OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上.正方形EFMN的边EF落在线段CB上，过点M，N的二次函数的图象也过矩形的顶点B，C，若三个正方形边长均为1，则此二次函数的表达式为 ．

15.某种工艺品利润为60元/件，现降价销售，该种工艺品销售总利润w(元)与降价x(元)的函数关系如图所示.这种工艺品的销售量y（件）关于降价x（元）的函数表达式为 ． 16.已知抛物线y=a(x－1)（x+

2）的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，若△ABCa为等腰三角形，则a的值是 ． 三、解答题(共66分)

17.(6分)已知抛物线的顶点坐标是(2，－3)，且经过点（1，－

5）． 2(1)求这个抛物线的函数表达式，并作出这个函数的大致图象．

(2)当x在什么范围内时，y随x的增大而增大？当x在什么范围内时，y随x的增大而减小？

18.(8分)今有网球从斜坡点O处抛出，网球的运动轨迹是抛物线y=4x－斜坡的截线OA是一次函数y=

12

x的图象的一段，21x的图象的一段，建立如图所示的平面直角坐标系． 2

(第18题)

(1)求网球抛出的最高点的坐标．

(2)求网球在斜坡上的落点A的竖直高度．

19.(8分)若直线y=x+3与二次函数y=－x2+2x+3的图象交于A，B两点，

(1)求A，B两点的坐标． (2)求△OAB的面积．

(3)x为何值时，一次函数的值大于二次函数的值？

20.（10分）随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫的距离为x(km)，乘坐地铁的时间y1(min)是关于x的一次函数，其关系如下表所示：

地铁站 x(km) y1(min) A 8 18 B 9 2 C 1 22 D 11.5 25 E 13 28 (1)求y1关于x的函数表达式. (2)李华骑单车的时间也受x的影响，其关系可以用y2=

12

x－11x+78来描述，请问：李华应2选择在那一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短？并求出最短时间.

21.（10分）已知二次函数y=ax2+bx+(1)当a=

1 (a＞0，b＜0)的图象与x轴只有一个公共点A. 21时，求点A的坐标. 2(2)过点A的直线y=x+k与二次函数的图象相交于另一点B，当b≥－1时，求点B的横坐标

m的取值范围.

22.(12分)设函数y=kx2+(2k+1)x+1(k为实数)．

(1)写出符合条件的两个函数，使它们的图象不全是抛物线，并在同一平面直角坐标系内，用描点法画出这两个函数的图象．

(2)根据所画的函数图象，提出一个对任意实数k，函数的图象都具有的特征的猜想，并给予证明．

(3)对任意负实数k，当x23.(12分)如图1所示，点P(m，n)是抛物线y=

12

x－1上任意一点，l是过点(0，－2)且与x4轴平行的直线，过点P作直线PH⊥l，垂足为点H． 【特例探究】

(1)当m=0时，OP= ，PH= ；当m=4时，OP=，PH= ． 【猜想验证】

(2)对任意m，n，猜想OP与PH的大小关系，并证明你的猜想． 【拓展应用】

(3)如图2所示，图1中的抛物线y=

12

x－1变成y=x2－4x+3，直线l变成y=m(m＜－1).已知4抛物线y=x2－4x+3的顶点为点M，交x轴于A，B两点，且点B坐标为(3，0)，N是对称轴上的一点，直线y=m(m＜－1)与对称轴交于点C，若对于抛物线上每一点都满足：该点到直线y=m的距离等于该点到点N的距离．

①用含m的代数式表示MC，MN及GN的长，并写出相应的解答过程. ②求m的值及点N的坐标．

(第23题)

二次函数综合测评卷

一、选择题(每题3分，共30分) 1.下列各式中，y是x的二次函数的是(C).

A.x2+2y2=2 B.x=y2 C.3x2－2y=1 D.

1+2y－3=0 2x2.对于二次函数y=(x－1)2+3的图象，下列说法正确的是(C). A.开口向下 B.对称轴是直线x=－1 C.顶点坐标是(1，3) D.与x轴有两个交点

（第3题）

3.如图所示，一边靠墙(墙有足够长)，其他三边用12m长的篱笆围成一个矩形(ABCD)花园，这个矩形花园的最大面积是(C).

A.16m2 B.12m2 C.18m2 D.以上都不对 4.如果抛物线y=mx2+(m－3)x－m+2经过原点，那么m的值等于(C). A.0 B.1 C.2 D.3 5.如图所示，直线x=1是抛物线y=ax2+bx+c的对称轴，那么有(D). A.abc＞0 B.b＜a+c C.a+b+c＜0 D.c＜2b

(第5题) (第6题) (第7题) (第8题)

6.已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图所示.关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法中正确的是(C).

A.有最小值0，有最大值3 B.有最小值－1，有最大值0 C.有最小值－1，有最大值3 D.有最小值－1，无最大值

7.如图所示，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为点P(－2，2)，与y轴交于点A(0，3).若平移该抛物线使其顶点P由(－2，2)移动到(1，－1)，此时抛物线与y轴交于点A′，则AA′的长度为(A). A.3

31 B.2 C.32 D.3 448.如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小强想知道这道门的高度，他先测出门的宽度AB=8m，然后用一根长4m的小竹竿CD竖直地接触地面和门的内壁，测得AC=1m，则门高OE为(B).

A.9m B.

64m C.8.7m D.9.3m 79.已知二次函数y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且图象过A(x1，m)，B(x1+n，m)两点，则m，n满足的关系为(D). A.m=

1111n B.m=n C.m=n2 D.m=n2 224410.已知二次函数y=－(x－1)2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为(D). A.

531 B.2 C. D.

222

（第10题答图）

【解析】二次函数y=－(x－1)2+5的大致图象如答图所示：①当m≤0≤x≤n＜1时，当x=m时y取最小值，即2m=－(m－1)2+5，解得m=－2或m=2(舍去).当x=n时y取最大值，即2n=

－(n－1)2+5，

解得n=2或n=－2(均不合题意，舍去).②当m≤0≤x≤1≤n时，当x=m时y取最小值，由①知m=－2.当x=1时y取最大值，即2n=－(1－1)2+5，解得n=时y取最大值，2m=－(n－1)2+5，n=－2+=

5，或x=n时y取最小值，x=12511，∴m=.∵m＜0，∴此种情形不合题意.∴m+n=285 21.故选D. 2二、填空题(每题4分，共24分)

11.如果某个二次函数的图象经过平移后能与y=3x2的图象重合，那么这个二次函数的表达式可以是 y=3（x+2）2+3 (只要写出一个)．

12.如图所示，抛物线y=ax2+bx+c(a＞0)的对称轴是过点(1，0)且平行于y轴的直线.若点P(5，0)在抛物线上，则9a－3b+c的值为 0 .

（第12题）（第13题） (第14题) (第15题)

13.如图所示，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A，B(m+2，0),与y轴相交于点C，点D在该抛物线上，坐标为(m，c)，则点A的坐标是 (－2,0) .

14.如图所示，将两个正方形并排组成矩形OABC，OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上.正方形EFMN的边EF落在线段CB上，过点M，N的二次函数的图象也过矩形的顶点B，C，若三个正方形边长均为1，则此二次函数的表达式为 y=－

428x+x+1 ． 3315.某种工艺品利润为60元/件，现降价销售，该种工艺品销售总利润w(元)与降价x(元)的函数关系如图所示.这种工艺品的销售量y（件）关于降价x（元）的函数表达式为 y=60+x ． 16.已知抛物线y=a(x－1)（x+

2）的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，若△ABCa415或 ．

23为等腰三角形，则a的值是 2或

三、解答题(共66分)

17.(6分)已知抛物线的顶点坐标是(2，－3)，且经过点（1，－

5）． 2(1)求这个抛物线的函数表达式，并作出这个函数的大致图象．

(2)当x在什么范围内时，y随x的增大而增大？当x在什么范围内时，y随x的增大而减小？ 【答案】(1)设抛物线的函数表达式为y=a（x－2）2－3，把(1,－ a=

55)代入,得－=a－3，即221. 212

x－2x－1.图略. 2∴抛物线的函数表达式为y=

(2)∵抛物线对称轴为直线x=2,且a>0,∴当x≥2时，y随x的增大而增大；当x≤2时，y随x的增大而减小.

18.(8分)今有网球从斜坡点O处抛出，网球的运动轨迹是抛物线y=4x－斜坡的截线OA是一次函数y=

12

x的图象的一段，21x的图象的一段，建立如图所示的平面直角坐标系． 2

(第18题)

(1)求网球抛出的最高点的坐标．

(2)求网球在斜坡上的落点A的竖直高度．

121x=－（x－4）2+8，∴网球抛出的最高点的坐标为（4，8）. 227111(2)由题意得4x－x2=x,解得x=0或x=7.当x=7时，y=×7=.∴网球在斜坡的落点A

22227的垂直高度为.

2【答案】(1)∵y=4x－

19.(8分)若直线y=x+3与二次函数y=－x2+2x+3的图象交于A，B两点， (1)求A，B两点的坐标． (2)求△OAB的面积．

(3)x为何值时，一次函数的值大于二次函数的值？

【答案】(1)由题意得（0，3），（1，4）.

yx32yx2x3，解得x0x1或.∴A，B两点的坐标分别为

y3y4(2)∵A，B两点的坐标是（0，3），（1，4），∴OA=3，OA边上的高线长是1.∴S△OAB=

1×3×1=23. 2(3)当x＜0或x＞1时，一次函数的值大于二次函数的值.

20.（10分）随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫的距离为x(km)，乘坐地铁的时间y1(min)是关于x的一次函数，其关系如下表所示：

地铁站 x(km) y1(min) A 8 18 B 9 2 C 1 22 D 11.5 25 E 13 28 (1)求y1关于x的函数表达式.

(2)李华骑单车的时间也受x的影响，其关系可以用y2=

12

x－11x+78来描述，请问：李华应2选择在那一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短？并求出最短时间.

【答案】(1)设y1=kx+b，将(8，18)，(9，20)代入，得的函数表达式为y1=2x+2.

8kb18k2,解得.∴y1关于x

9kb20b2121x－11x+78=x2－9x+80.∴当22(2)设李华从文化宫回到家所需的时间为y.则y=y1+y2=2x+2+

1480922x=9时，y有最小值，ymin==39.5.∴李华应选择在B站出地铁，才能使他从

142文化宫回到家所需的时间最短，最短时间为39.5min. 21.（10分）已知二次函数y=ax2+bx+(1)当a=

1 (a＞0，b＜0)的图象与x轴只有一个公共点A. 21时，求点A的坐标. 2(2)过点A的直线y=x+k与二次函数的图象相交于另一点B，当b≥－1时，求点B的横坐标

m的取值范围.

1 (a＞0，b＜0)的图象与x轴只有一个公共点A，∴Δ=b221111－4a×=b2－2a=0.∵a=，∴b2=1.∵b＜0，∴b=－1.∴二次函数的表达式为y=x2－x+.

222211当y=0时，x2－x+=0，解得x1=x2=1，∴A(1，0).

22111111(2)∵b2=2a，∴a=b2，∴y=b2x2+bx+= (bx+1)2.当y=0时，x=－，∴A（－，0）.

2222bb【答案】(1)∵二次函数y=ax2+bx+

1221ybxbx111122将点A（－,0）代入y=x+k，得k=.由消去y得b2x2+(b－1)x+

22bbyx1b112b12b=0，解得x1=－，x2=2.∵点A的横坐标为－，∴点B的横坐标m=2.∴m=bbbbb2b111121111=2（－）=2（－）－.∵2＞0，∴当＜时，m随的增大而减小.∵22b2bb48b4bb111－1≤b＜0，∴≤－1.∴m≥2×（－1－）2－=3，即m≥3.

b48－

22.(12分)设函数y=kx2+(2k+1)x+1(k为实数)．

(1)写出符合条件的两个函数，使它们的图象不全是抛物线，并在同一平面直角坐标系内，用描点法画出这两个函数的图象．

(2)根据所画的函数图象，提出一个对任意实数k，函数的图象都具有的特征的猜想，并给予证明．

(3)对任意负实数k，当x(2)不论k取何值，函数y=kx2+(2k+1)x+1的图象必过定点(0,1),(－2,－1)，且与x轴至少有1个交点.证明如下：由y=kx2+(2k+1)x+1，得k(x2+2x)+(x－y+1)=0.当x2+2x=0,x－y+1=0，即x=0,y=1，或x=－2,y=－1时，上式对任意实数k都成立，∴函数的图象必过定点(0,1),(－2,－1).∵当k=0时，函数y=x+1的图象与x轴有一个交点；当k≠0时，Δ=(2k+1)2－4k=4k2+1>0，函数图象与x轴有两个交点,∴函数y=kx2+(2k+1)x+1的图象与x轴至少有1个交点.

(3)只要写出的m≤－1就可以.∵k<0，∴函数y=kx2+(2k+1)x+1的图象在对称轴直线x=－

2k12k12k11的左侧，y随x的增大而增大.由题意得m≤－.∵当k<0时，=－1－>2k2k2k2k－1.∴m≤－1.

23.(12分)如图1所示，点P(m，n)是抛物线y=

12

x－1上任意一点，l是过点(0，－2)且与x4轴平行的直线，过点P作直线PH⊥l，垂足为点H． 【特例探究】

(1)当m=0时，OP= 1 ，PH= 1 ；当m=4时，OP= 5 ，PH= 5 ． 【猜想验证】

(2)对任意m，n，猜想OP与PH的大小关系，并证明你的猜想． 【拓展应用】

(3)如图2所示，图1中的抛物线y=

12

x－1变成y=x2－4x+3，直线l变成y=m(m＜－1).已知4抛物线y=x2－4x+3的顶点为点M，交x轴于A，B两点，且点B坐标为(3，0)，N是对称轴上的一点，直线y=m(m＜－1)与对称轴交于点C，若对于抛物线上每一点都满足：该点到直线y=m的距离等于该点到点N的距离．

①用含m的代数式表示MC，MN及GN的长，并写出相应的解答过程. ②求m的值及点N的坐标．

(第23题)

【答案】 (1)1，1，5，5.

(2)猜想：OP=PH.证明：设PH交x轴于点Q∵P在y=

121x－1上，∴P（m，m2－1），PQ=∣44212122m－1∣，OQ=|m|.∵△OPQ是直角三角形，∴OP=PQ2OQ2=m1m=441112m1=14m2+1.∵PH=yp－（－2）=（m2－1）－（－2）=m2+1，∴OP=PH.

444(3)①∵M（2，－1），∴CM=MN=－m－1.GN=CG－CM－MN=－m－2（－m－1）=2+m.②点B的坐标是（3，0），BG=1，GN=2+m.由勾股定理得BN=BGGN=12m.∵

22222对于抛物线上每一点都有：该点到直线y=m的距离等于该点到点N的距离，∴1+（2+m）

2=（－m）2,解得

m=－

5. 4∵GN=2+m=2－

533=，∴N（2，－）. 444