函数的图象变换

一．函数图象的基本变换

前言：函数图象是对函数性质的直观体现，函数图象来源于函数的性质（即对基本函数只有

了解了其性质如：定义域、值域、奇偶性（对称性）、单调性、最值、极值、间断点（和间断点处的极限）、拐点等，才能利用描点法作出函数的图象。或利用基本函数的图象通过图象的基本变换（分段、平移、对称、伸缩）作出未知函数的图象，从而直观的反映函数的性质。

函数图象的基本变换：(1)平移；(2)对称；(3)伸缩。 由函数y = f (x)可得到如下函数的图象

1． 平移：

(1)y = f (x + m) (m>0)：把函数y =f (x)的图象向左平移m的单位（如m<0则向右平移m个单位）。

(2)y = f (x) + m (m>0)：把函数y =f (x)的图象向上平移m的单位（如m<0则向下平移m个单位）。 2． 对称：

 关于直线对称

(Ⅰ) (1)函数y = f (x)与y = f (x)的图象关于y轴对称。

(2)函数y = f (x)与y = f (x)的图象关于x轴对称。

(3)函数y = f (2ax)与y = f (x)的图象关于直线x = a对称。 (4)函数y = 2bf (x)与y = f (x)的图象关于直线y = b对称。

(5)函数yf1(x)与y = f (x)的图象关于直线y = x对称。 (6)函数yf1(x)与y = f (x)的图象关于直线y = x对称。

(Ⅱ)(7)函数y = f (|x|)的图象则是将y = f (x)的y轴右侧的图象保留，并将y =f (x)

右侧的图象沿y轴翻折至左侧。（实际上y = f (|x|)是偶函数）

(8)函数y = |f (x)|的图象则是将y = f (x)在x轴上侧的图象保留，并将y = f (x) 在x轴下侧的图象沿x轴翻折至上侧。

一般地：函数y = f (a+mx)与y = f (bmx)的图象关于直线x思考：函数y = f (4+2x)与y = f (22x)的图象关系?

ba对称。 2m 关于点对称

(1) 函数y =  f (x)与y = f (x)的图象关于原点对称。

(2) 函数y = 2bf (2ax)与y = f (x)的图象关于点(a,b)对称。

3． 伸缩

(1) 函数y = f (mx) (m>0)的图象可将y = f (x)图象上各点的纵坐标不变，横坐

1倍得到。（如果00)的图象可将y = f (x)图象上各点的横坐标不变，纵坐

1标缩小到原来的倍得到。（如果0m二．函数图象的对称性（有关函数图象本身的对称性）

标缩小到原来的

1

函数的图象变换—平移、对称、伸缩

(1) 如函数y = f (x)对定义域中的任意x的值，都满足f (x) = f (2ax) （或者

f(ax)=f(a+x)等），则函数y = f (x)的图象关于直线x = a对称。

(2) 如函数y = f (x)对定义域中的任意x的值，都满足f (x) = 2bf (2ax)（或

者f(ax) = 2bf(a+x)等），则函数y = f (x)的图象关于点(a,b)对称。

一般地：如函数y = f (x)对定义域中的任意x的值，都满足 f (a+mx) = f (bmx)， 则函数y

= f (x)的图象关于直线xab对称。 2思考：如函数y = f (x)对定义域中的任意x的值，都满足 f (4+2x) = f (2+2x)，则函数y = f (x)

具有何种性质。 三．练习

作出下列函数的图象（草图）

(1)y111 (2)yx1 (3)xy11 (4)y()|x1| (5)y()|x|1x143x21x1(6)ylg|x1| (7)y|lg(1x)| (8)y1|x| (9)y (10)y|x|1x1

(11)yx2|x|1 (12)yx22|x|1 (13)yx21(x1)(14)yx四．选择题

1．把函数yx3的反函数的图象向右平移2个单位，再作以原点为中心的对称图形，则新图形的函数表达式是------------------------------------------------------------------（ ） (A)y3x2 (B)y3x2 (C)y3x2 (D)y3x2

2．奇函数yf(x) (xR)有反函数yf1(x),则必在yf1(x)的图象上的点是（ ） (A)(f(a),a) (B)(f(a),a) (C)(a,f1(a)) (D)(a,f1(a))

2x2|x|x (15)y x11113．设{2,1,,,,1,2,3}，已知幂函数yx为偶函数，且在(0,)上递减，则

232满足条件的值有--------------------------------------------------------------------------（ ） (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个

y 4．定义在R上的函数y = f (x1)是单调递减函数（如图） 给出四个结论：

(1)f(0)1 (2 ) f(1)1 11 (3)f1(1)0 (4 ) f  1()02O 1 x 其中正确结论的个数是（ ）

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

5．设偶函数f(x)loga|xb|在(,0)上递增，则f(a1)与f(b2)的大小关系是

2

函数的图象变换—平移、对称、伸缩

--------------------------------------------------------------------------------------------------（ ） (A)f (a+1) = f (b+2) (B)f (a+1)>f (b+2) (C)f (a+1)(A){x|1x0} (B){x|x0或1x2}(C){x|0x2} (D){x|1x2}

7 ．设f(x)满足f(x)f(4x)，且当x2时f(x)是增函数，则af(1.10.9),b f(0.91.1),cf(log14)的大小关系是（ ）2 (A)a>b>c (B)b>a>c (C)a>c>b (D)c>b>a

{x|mxn}，且|mn|2a,则a的值等于 8．如果不等式xax(a0)的解集为 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

9．已知f (x) = (xa)(xb)2，并且、是方程f(x)=0的两根，则实数a、b、、的大小关系可能是----------------------------------------------------------------------------（ ） (A)4x1a的解集是[4,0]，则a的取值范围是-------（ ） 355 (A)(,5] (B)[,) (C)(,5][,) (D)(,0)

3311．设函数f (x)与函数g (x)的图象关于直线x =3对称，则g (x)的表达式为---（ ）

3(A)g(x)f(x) (B)g(x)f(3x) 2(C)g(x)f(3x) ( D ) g (x)f(6x)10．不等式x24x12．函数f (ax)与f (xb)的图象关于直线l对称，则直线l的方程为-------------（ ） (A)xabab (B)x (C)xab (D)xab 2213．若方程4x2xm只有一解，则实数m的取值范围是-------------------（ ） (A)[2,2) (B)[2,22] (C)[2,2){22} (D)[2,22]

14．若函数y = f (x)与y = g (x)的定义域都是全体实数，且它们的图象关于直线x = a（常

数a≠0）对称，则下面等式一定成立的是---------------------------------------（ ） (A)f (a)g (a) = 0 (B)f (a)+g (a) = 0 (C)f(a) = g (a) (D)f (a) = g (a) 15．若函数f(x)(xa)3对于任意的tR，总有f(1t)f(1t)，则f(2)f(2)的值是--------------------------------------------------------------------------------------（ ） (A)0 (B)26 (C)26 (D)28

16 ．设二次函数f(x)ax2bxc(a0),如果f(x1)f(x2) (其中x1x2),

则f(x1x2)等于--------------------------------------------（ ）3 函数的图象变换—平移、对称、伸缩

bb4acb2 (A) (B) (C)c (D)

2aa4a17．已知018 ．已知函数f(x)32|x|，g(x)x22x，构造函数F(x)，定义如下： 当f(x)g(x)时，F(x)g(x)；当f(x)g(x)时，F(x)f(x)，那么F(x)--- ( )

(A)有最大值3，最小值1；

(B)有最大值727，无最小值；

(C)有最大值3，无最小值；(D)无最大值，也无最。小值3119 ．设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)f(x)恒成立，当x[2,3]时，22 f(x)x，则当x[2,0]时，f(x)的解析式是------------------------（- ）(A)f (x)= |x+4| (B)f (x)=|2x| (C)f (x) =3|x+1| (D)f (x)=2+|x+1 20 ．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x2)f(x)，当0x1时, 11x，则使f(x)的x的值为-----------------------------（- ）22 (A)2n(nZ) (B)2n1(nZ) (C)4n1(nZ) (D)4n1(nZ)

f(x)21．已知函数f(x)x2axb2b1 (a,bR)对任意实数x都有f (1x) = f (1+x)成立，若当x[1,1]时，f (x)>0恒成立，则b的取值范围是-------------------（ ） (A)12 (C)b<1或b>2 (D)b<1

x22x222．函数y (x1)的图象的最低点的坐标是-------------------------（ ）

x1 (A)(1,2) (B)(1,2) (C)(0,2) (D)不存在 五．填空题

1．函数f(x)log3|2xa|的图象的对称轴方程为x = 2，则常数a = 。 2．设f (x)为偶函数，对于任意xR都有f(2x)2f(2x),已知f(1)4,那么f(3)= 。

3．函数y = x+b的反函数图象与原函数图象重合，试再构造一个非一次函数的函数，

使它的反函数图象与原函数图象重合 。 4．设函数f(x)的定义域为R，则下列命题中：

①y = f (x)为偶函数，则y = f (x+2)的图象关于y轴对称；

②y = f (x+2)为偶函数，则y = f (x)的图象关于直线x = 2对称； ③若f (x2)= f (2x)，则y = f (x)的图象关于直线x = 2对称； ④y = f (x2)和y = f (2x)的图象关于x = 2对称。 其中正确命题的序号是 。 5．若关于x的方程1x2lg(xa)有正数解，则实数a的取值范围是 。

4 函数的图象变换—平移、对称、伸缩

(A)2a0 (B)1a0 (C)0a1 (D)0a2

5 函数的图象变换—平移、对称、伸缩