2021年浙江省百校高考数学联考数学试卷（3月份）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合𝐴＝{𝑥|0<𝑥≤2, 𝑥∈𝑁∗}，𝐵＝{𝑥|1<𝑥≤4, 𝑥∈𝑁∗}，则𝐴∪𝐵＝（ ） A.{2}
B.{1, 2, 3, 4}
C.{0, 1, 2, 3, 4}
D.(0, 4]
2. 若A.2
＝3+𝑖，则𝑎＝（ ）
B.2𝑖
C.4
D.4𝑖
3. 若实数𝑥，𝑦满足约束条件A.−7
B.−5
C.−3
，则𝑧＝2𝑥+𝑦取最小值时𝑥＝（ ）
D.−1
4. 函数的图像可能是（ ）
A.
B.
C.
试卷第1页，总15页
D.
5. 如图，某四棱锥的三视图（单位：𝑐𝑚）如图所示，则该四棱锥的最长的棱长为( )𝑐𝑚
A.
6. 已知数列{𝑎𝑛}满足𝑎𝑛+1＝sin𝑎𝑛，𝑛∈𝑁∗，若对任意𝑛∈𝑁∗，都𝑎𝑛+1≤𝑎𝑛，则下列可能成立的是（ ）
B.2
C.
D.
A.𝑎1＝1
B.𝑎2＝−1 C.𝑎3＝−2
D.
7. 已知随机变量𝜉满足𝑃(𝜉＝0)＝1−𝑝，𝑃(𝜉＝1)＝𝑝，且0<𝑝<1，令随机变量𝜂＝|𝜉−𝐸(𝜉)|，则（ ） A.𝐸(𝜂)<𝐸(𝜉)
8. 若平面上两点𝐴(−2, 0)，𝐵(1, 0)，则过点𝐵的直线𝑙上满足
的点𝑃的个数为（ ）
A.0 C.2
B.1
D.与直线𝑙的斜率有关
B.𝐸(𝜂)>𝐸(𝜉)
C.𝐷(𝜂)<𝐷(𝜉)
D.𝐷(𝜂)>𝐷(𝜉)
9. 已知𝛼，
，𝛼≠𝛽，若𝑒𝛼−𝑒𝛽＝sin𝛼−2sin𝛽，则下列结论一定
试卷第2页，总15页
成立的是（ ）
A.
B. C.𝛼>𝛽 D.𝛼<𝛽
10. 已知正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′的棱长为1，点𝑀，𝑁分别为线段𝐴𝐵′，𝐴𝐶上的动点，点𝑇在平面𝐵𝐶𝐶′𝐵′内，则|𝑀𝑇|+|𝑁𝑇|的最小值是（ ）
A. B. C. D.1
二、填空题（本大题共7小题，单空每题3分，双空每题6分，共36分）
已知函数
的定义域为________．
已知直线𝑥−𝑚𝑦+8＝0(𝑚>0)和圆𝑂:𝑥2+𝑦2＝25相交于𝐴，𝐵两点，若△𝑂𝐴𝐵的面积为12，则𝐴𝐵的长度为________，𝑚＝________． 在二项式
已知△𝐴𝐵𝐶中，内角𝐴，𝐵，𝐶的对边分别是𝑎，𝑏，𝑐，且
，𝑏＝6，𝐷是𝐴𝐶
的展开式中，含𝑥7的项是________；系数为有理数的项的二项
式系数的和为________．
边上近𝐴点的三等分点，且2∠𝐴𝐵𝐷＝∠𝐶𝐵𝐷，则∠𝐶𝐵𝐷＝________，𝐵𝐶＝________．
已知函数𝑓(𝑥)=2|𝑥2−𝑥+𝑎|+|𝑥2−4𝑥+𝑎|，若对任意的𝑥∈(1, 𝑎)不等式𝑓(𝑥)≥(𝑎−1)𝑥恒成立，则实数𝑎的最大值为________．
已知抛物线𝑦2＝2𝑝𝑥的焦点为𝐹，若点𝐴，𝐵是该抛物线上的点，
，线段𝐴𝐵的中点𝑀在抛物线的准线上的射影为𝑁，则
________．
已知单位向量，，满足最小值为________．
三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）
试卷第3页，总15页
，的最大值为
，则的最大值为________，
已知
𝑚>0，
(Ⅰ)求𝑓(𝑥)的单调增区间；
的最大值为2，其中
(Ⅱ)在△𝐴𝐵𝐶中，内角𝐴，𝐵，𝐶的对边分别为𝑎，𝑏，𝑐，且的值．
，求𝑓(𝐴)
如图，圆锥𝑃𝑂的顶点为𝑃，其母线长为3，点𝐴、𝐵、𝐶、𝑀都在底面⊙𝑂上，且𝐵𝐶＝3，
，∠𝑃𝐴𝐵＝∠𝑃𝐴𝐶；设𝐸、𝐹分别是母线𝑃𝐵、𝑃𝐶靠近𝐵、𝐶的三等分点，并且
平面𝐴𝐸𝐹交母线𝑃𝑀于点𝑇． (Ⅰ)证明：𝐴𝑃⊥𝐸𝐹；
(Ⅱ)当∠𝑃𝐴𝐵＝60∘时，求𝑃𝑇与平面𝐴𝐸𝐹所成角的正弦值．
2
已知数列{𝑎𝑛}为各项非零的等差数列，其前𝑛项和为𝑆𝑛，满足𝑆2𝑛−1＝𝑎𝑛． (Ⅰ)求数列{𝑎𝑛}的通项公式；
(Ⅱ)记𝑏𝑛＝
，求数列{𝑏𝑛}的前𝑛项和𝑇𝑛．
如图，已知椭圆𝐸：＝1，离心率为，
为椭圆的左、右焦点，𝑃为椭圆上一动点，𝑄
为△𝑃𝐹1𝐹2的内心，连接𝑃，𝑄延长交𝑥轴于点𝑀． (Ⅰ)求椭圆𝐸的方程；
试卷第4页，总15页
(Ⅱ)设△𝐹1𝑄𝑀，△𝐹2𝑄𝑃的面积分别为𝑆1，𝑆2，求
的取值范围．
已知函数𝑓(𝑥)＝ln𝑥．
(Ⅰ)若𝑎𝑓(𝑥)≤𝑒𝑥−1−1恒成立，求实数𝑎的值；
(Ⅱ)若关于𝑥的方程𝑓(𝑥2)−𝑥+围．
＝0有四个不同的实数根，则实数𝑚的取值范
试卷第5页，总15页
参考答案与试题解析
2021年浙江省百校高考数学联考数学试卷（3月份）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.
【答案】 B
【考点】 并集及其运算 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 2.
【答案】 C
【考点】 复数的运算 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 3.
【答案】 C
【考点】 简单线性规划 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 4.
【答案】 A
【考点】
函数的图象与图象的变换 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 5.
【答案】 【考点】
由三视图求体积
试卷第6页，总15页
【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 6. 【答案】 A
【考点】 数列递推式 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 7.
【答案】 C
【考点】
离散型随机变量的期望与方差【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 8.
【答案】 C
【考点】
数量积表示两个向量的夹角 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 9.
【答案】 D
【考点】
两角和与差的三角函数 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 10.
【答案】 B
【考点】
点、线、面间的距离计算
试卷第7页，总15页
【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答
二、填空题（本大题共7小题，单空每题3分，双空每题6分，共36分） 【答案】
{𝑥|𝑥>1或𝑥<−1} 【考点】
函数的定义域及其求法 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 【答案】
6或8,或
【考点】
直线与圆的位置关系 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 【答案】 108𝑥7,256 【考点】
二项式定理及相关概念 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 【答案】
,
【考点】 解三角形 正弦定理
三角形的面积公式 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 【答案】 25
【考点】
函数恒成立问题
试卷第8页，总15页
【解析】
由已知𝑥的范围把不等式𝑓(𝑥)≥(𝑎−1)𝑥变形，可得3𝑥2−(𝑎+5)𝑥+3𝑎≥0，或𝑥2−(𝑎−3)𝑥+𝑎≥0在𝑥∈(1, 𝑎)上恒成立，然后利用“三个二次”的结合转化为关于𝑎的不等式组求解𝑎的范围，则实数𝑎的最大值可求． 【解答】
∵ 𝑥∈(1, 𝑎)，∴ 𝑥2>𝑥，
∴ 𝑓(𝑥)=2|𝑥2−𝑥+𝑎|+|𝑥2−4𝑥+𝑎|=2(𝑥2−𝑥+𝑎)+|𝑥2−4𝑥+𝑎|， 不等式𝑓(𝑥)≥(𝑎−1)𝑥化为2(𝑥2−𝑥+𝑎)+|𝑥2−4𝑥+𝑎|≥(𝑎−1)𝑥， 即|𝑥2−4𝑥+𝑎|≥−2𝑥2+(𝑎+1)𝑥−2𝑎，
∴ 𝑥2−4𝑥+𝑎≥−2𝑥2+(𝑎+1)𝑥−2𝑎，或𝑥2−4𝑥+𝑎≤2𝑥2−(𝑎+1)𝑥+2𝑎， 即3𝑥2−(𝑎+5)𝑥+3𝑎≥0①，或𝑥2−(𝑎−3)𝑥+𝑎≥0②在𝑥∈(1, 𝑎)上恒成立． 若3𝑥2−(𝑎+5)𝑥+3𝑎≥0在𝑥∈(1, 𝑎)上恒成立， 令𝑔(𝑥)=3𝑥2−(𝑎+5)𝑥+3𝑎， ∵ 𝑥∈(1, 𝑎)，∴ 1<
𝑎+5
𝑎+56
<𝑎，
<𝑎𝑎>16
则{𝑎+5，即{，得1<𝑎≤25；
1≤𝑎≤25𝑔()≥0
6
若𝑥2−(𝑎−3)𝑥+𝑎≥0在𝑥∈(1, 𝑎)上恒成立，
令ℎ(𝑥)=𝑥2−(𝑎−3)𝑥+𝑎， ∵ 𝑥∈(1, 𝑎)，∴
𝑎−3
𝑎−32
<𝑎，
>1≤12
则{2或{𝑎−3， ℎ(1)≥0ℎ()≥0
2
𝑎−3
𝑎≤5𝑎>5∴ {或{，得1<𝑎≤9，
4≥01≤𝑎≤9
综上，实数𝑎的取值范围为(1, 25]，𝑎的最大值为25． 【答案】 3
【考点】 抛物线的性质 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 【答案】
1,-
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答
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三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程） 【答案】
（I）
＝
＝sin(2𝑥+𝜑)，
∴
∵ 𝑚>0，∴
，
，
∴ ，
令，𝑘∈𝑍，
解得，𝑘∈𝑍，
∴ 𝑓(𝑥)的单调增区间为，𝑘∈𝑍．
(𝐼𝐼)已知，由正弦定理可得，
即sin𝐴cos𝐶＝2sin𝐵cos𝐴−sin𝐶cos𝐴， 即sin𝐴cos𝐶+sin𝐶cos𝐴＝2sin𝐵cos𝐴， 即sin(𝐴+𝐶)＝2sin𝐵cos𝐴，
即sin𝐵＝2sin𝐵cos𝐴，又sin𝐵≠0，
∴ ，∴ ，
∴
【考点】 正弦定理
三角函数中的恒等变换应用 【解析】 此题暂无解析 【解答】
＝2sin．
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此题暂无解答 【答案】
（I）证明：在圆锥𝑃𝑂中，𝑃𝑂⊥面𝐴𝐵𝐶⇒𝑃𝑂⊥𝐵𝐶，
，
连结𝐴𝑀交𝐵𝐶于𝐻，则𝐴𝑂⊥𝐵𝐶，则𝐵𝐶⊥𝐴𝑃，
又𝐸、𝐹分别是靠近𝐵．
(𝐼𝐼)由∠𝑃𝐴𝐵＝60∘得△𝑃𝐴𝐵、△𝑃𝐴𝐶都为正三角形，
如图以𝑂为原点，垂直于𝐴𝑀所在的直线为𝑥轴，𝑂𝑃所在的直线为𝑧轴建立空间直角坐标系，
则，，，
∴ ∴
，
，
∴ ，∴
，
设
平面𝐴𝐸𝐹的法向量，则
试卷第11页，总15页
，
又
，设𝑃𝑇与平面𝐴𝐸𝐹所成角为𝜃，
∴
【考点】
直线与平面垂直 直线与平面所成的角 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 【答案】
．
（I）由题设可得：∵ 𝑎𝑛≠3，
∴ 𝑎𝑛＝2𝑛−1； (𝐼𝐼)由(Ⅰ)可得：
，
，
当𝑛为偶数时，
，
当𝑛为奇数时，
，
综上，𝑇𝑛＝【考点】 数列递推式 数列的求和 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答
．
试卷第12页，总15页
【答案】
（I）因为离心率为又因为故
，故，
为椭圆的左右焦点，
，
所以椭圆．
（2）因为𝑄为△𝑃𝐹5𝐹2的内心，故𝑄为△𝑃𝐹1𝐹7各内角角平分线交点，
故根据角平分线定理可知，，，
∴
设△𝐹1𝑄𝑀，△𝐹7𝑄𝑃以𝑃𝑄，𝑄𝑀为底边的高为ℎ1，ℎ2，
，
，
∵ ，
设𝑃(𝑥0, 𝑦2)∴ 𝑃𝐹1＝𝑎+𝑒𝑥0，𝑃𝐹6＝𝑎−𝑒𝑥0， ∴
，
∵ 𝑃为椭圆上一动点，且构成三角形3∈(−2, 2)，
∴
【考点】
直线与椭圆的位置关系 椭圆的应用
试卷第13页，总15页
．
【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 【答案】
(𝐼)𝑔(𝑥)＝𝑎𝑓(𝑥)−𝑒𝑥−1+1＝𝑎ln𝑥−𝑒𝑥−6+1，𝑔′(𝑥)＝又𝑔(𝑥)≤𝑔(1)＝8，
故𝑥＝1是𝑦＝𝑔(𝑥)的极大值点， 所以𝑔′(1)＝𝑎−1＝2，𝑎＝1．
𝑥−1
，
另一方面，当𝑎＝1时
−𝑒𝑥−1，𝑔′(1)＝0，𝑔′(𝑥)在区间(2，
故𝑔(𝑥)在(0, 1)单调递增，+∞)单调递减，
所以𝑔(𝑥)≤𝑔(0)＝5，𝑓(𝑥)≤𝑒𝑥−1−1恒成立．
(𝐼𝐼)解法一：由题意知，𝑚>22−𝑥+−ln𝑚，
ℎ′(𝑥)＝−6−＝， ）＝0，
当𝑥<0时，ℎ′(𝑥)<7，0)单调递减
故ℎ(𝑥)在区间(−∞, 8)有唯一实根，
若𝑚≥1，−𝑥2+6𝑥−𝑚＝−(𝑥−1)2+6−𝑚≤0， 当𝑥>0时，ℎ′(𝑥)≤8，+∞)单调递减， 故ℎ(𝑥)在区间(0, +∞)至多有一个实根，
若0<𝑚<7，令𝑥1，𝑥2(𝑥2<𝑥2)是方程−𝑥2+7𝑥−𝑚＝0的两不同实根， 故ℎ(𝑥)在区间(0, 𝑥8)，(𝑥2, +∞)上单调递减，在区间(𝑥1, 𝑥2)上单调递增．
，
𝜑(𝑥)＝−6𝑥+2+ln𝑥−ln(2−𝑥)(7<𝑥<1)，
，
𝜑(𝑥)<𝜑(1)＝0，ℎ(𝑥7)<0，同理可证ℎ(𝑥2)>7．
取，
．
试卷第14页，总15页
取，，
．
故ℎ(𝑥)在(𝑥4, 𝑥1)，(𝑥3, 𝑥2)，(𝑥2, 𝑥6)各存在一个零点， 实数𝑚的取值范围是(0, 1)．
解法二：由题意知，𝑚>72−𝑥+−ln𝑚，
ℎ′(𝑥)＝−8−＝， ）＝0，
当𝑥<0时，ℎ′(𝑥)<3，0)单调递减故ℎ(𝑥)在区间(−∞, 4)有唯一实根，
因此当𝑥>0时，有三个实根，
当，是方程的一个实根，
若，
所以0<𝑚<1．
故𝑚的取值范围为(8, 1)． 【考点】
利用导数研究函数的最值 函数的零点与方程根的关系 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答
，，
试卷第15页，总15页
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