2020年广东省佛山市高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）在复平面内，复数A．第一象限
对应的点位于（ ）
C．第三象限
D．第四象限
B．第二象限
2．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x||x|＞1}，则A∩B＝（ ） A．（﹣2，﹣1）
B．（﹣1，1）
C．（0，1）
D．（1，2）
3．（5分）已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（ ） A．cosx﹣cosy＞0 C．lnx﹣lny＞0
B．cosx+cosy＞0 D．lnx+lny＞0
4．（5分）函数f（x）的图象向左平移一个单位长度，所得图象与y＝ex关于y轴对称，则f（x）＝（ ） A．e
﹣x+1
B．e
﹣x﹣1
C．ex1
﹣D．ex+1
5．（5分）希尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家希尔宾斯基在1915年提出，先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”，我们用白色代表挖去的面积，那么黑三角形为剩下的面积（我们称黑三角形为希尔宾斯基三角形）．在如图第3个大正三角形中随机取点，则落在黑色区域的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
6．（5分）已知等比数列{an}满足a1﹣a2＝36，a1﹣a3＝24，则使得a1a2…an取得最大值的n为（ ） A．3
B．4
C．5 +C．2
）＝（ ）
D．3 D．6
7．（5分）已知α为锐角，cosα＝，则tan（A．
B．
8．（5分）已知双曲线C：，O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C的两条渐近
线交于A，B两点，若△OAB是边长为2的等边三角形，则双曲线C的方程为（ ） A．
﹣y2＝1
B．x2
＝1
C．＝1 D．＝1
9．（5分）地球上的风能取之不尽，用之不竭．风能是清洁能源，也是可再生能源．世界各国致力于发展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，在2014年累计装机容量就突破了100GW，达到114.6GW，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心．以下是近10年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图．根据以上信息，正确的统计结论
是
（
）
A．截止到2015年中国累计装机容量达到峰值 B．10年来全球新增装机容量连年攀升
C．10年来中国新增装机容量平均超过20GW
D．截止到2015年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过 10．（5分）已知函数f（x）＝
+2x+1，且f（a2）+f（2a）＞3，则a的取值范围是（ ）
B．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞） D．（﹣1，3）
A．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞） C．（﹣2，0）
11．（5分）已知函数f（x）＝sinx+sin（πx），现给出如下结论：
①f（x）是奇函数； ②f（x）是周期函数； ③f（x）在区间（0，π）上有三个零点； ④f
（x）的最大值为2．
其中正确结论的个数为（ ） A．1
B．2
C．3
D．4
12．（5分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长为4，底面边长为2，用一个平面截此棱柱，与侧棱AA1，BB1，CC1分别交于点M，N，Q，若△MNQ为直角三角形，则△MNQ面积的最大值为（ ） A．3
B．
C．
D．3
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．
13．（5分）从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有 种．（用数字作答）
14．（5分）在△ABC中，AB＝2，AC＝3，P是边BC的垂直平分线上一点，则
•
＝ ．
15．（5分）函数f（x）＝lnx和g（x）＝ax2﹣x的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，则这条切线方程为 ．
16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，对曲线C上任意一点P，P到直线x+1＝0的距离与该点到点O的距离之和等于2，则曲线C与y轴的交点坐标是 ；设点A（﹣，0），则|PO|+|PA|的最小值为 ．
三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）绿水青山就是金山银山．近年来，祖国各地依托本地自然资源，打造旅游产业，旅游业正蓬勃发展．景区与游客都应树立尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理念，合力使旅游市场走上规范有序且可持续的发展轨道．某景区有一个自愿消费的项目：在参观某特色景点入口处会为每位游客拍一张与景点的合影，参观后，在景点出口处会将刚拍下的照片打印出来，游客可自由选择是否带走照片，若带走照片则需支付20元，没有被带走的照片会收集起来统一销毁．该项目运营一段时间后，统计出平均只有三成的游客会选择带走照片．为改善运营状况，该项目组就照片收费与游客消费意愿关系作了市场调研，发现收费与消费意愿有较强的线性相关性，并统计出在原有的基础上，价格每下调1元，游客选择带走照片的可能性平均增加0.05，假设平均每天约有5000人参观该特色景点，每张照片的综合成本为5元，假设每个游客是否购买照片相互独立． （1）若调整为支付10元就可带走照片，该项目每天的平均利润比调整前多还是少？
（2）要使每天的平均利润达到最大值，应如何定价？
18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinB＝bsin（A﹣（1）求A；
（2）D是线段BC上的点，若AD＝BD＝2，CD＝3，求△ADC的面积． 19．（12分）已知椭圆C：
+
＝1（a＞b＞0）的离心率为，点A（1，）在椭圆C
）．
上，直线l1过椭圆C的有交点与上顶点，动直线l2：y＝kx与椭圆C交于M、N两点，交l1于P点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知O为坐标原点，若点P满足|OP|＝|MN|，求此时|MN|的长度．
20．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA＝PB，∠APB＝∠ACB＝90°，点E，F分别是棱AB，PB的中点，点G是△BCE的重心． （1）证明：GF∥平面PAC；
（2）若GF与平面ABC所成的角为60°，求二面角B﹣AP﹣C的余弦值．
21．（12分）已知函数f（x）＝1+x﹣2sinx，x＞0． （1）求f（x）的最小值； （2）证明：f（x）＞e
﹣2x
．
请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清楚题号．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（1）写出曲线C的普通方程，并说明它表示什么曲线；
（2）已知倾斜角互补的两条直线l1，l2，其中l1与曲线C交于A，B两点，l2与C交于M，N两点，l1与l2交于点P（x0，y0），求证：|PA|•|PB|＝|PM|•|PN|．
（m为参数）．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+|x﹣1|． （1）若f（a）＜2，求a的取值范围；
（2）当x∈[a，a+k]时，函数f（x）的值域为[1，3]，求k的值．
2020年广东省佛山市高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）在复平面内，复数A．第一象限
对应的点位于（ ）
C．第三象限
D．第四象限
B．第二象限
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应点的坐标得答案． 【解答】解：∵∴在复平面内，复数故选：A．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
2．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x||x|＞1}，则A∩B＝（ ） A．（﹣2，﹣1）
B．（﹣1，1）
C．（0，1）
D．（1，2）
＝
，
对应的点的坐标为（2，1），位于第一象限．
【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可． 【解答】解：A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|x＜﹣1或x＞1}， ∴A∩B＝（1，2）． 故选：D．
【点评】本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式和绝对值不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题． 3．（5分）已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（ ） A．cosx﹣cosy＞0 C．lnx﹣lny＞0
B．cosx+cosy＞0 D．lnx+lny＞0
【分析】根据题意，结合函数的单调性分析选项A、C，可得A错误，C正确，对于B、D，利用特殊值分析可得其错误，综合即可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y＝cosx在（0，+∞）上不是单调函数，故cosx﹣cosy＞0不一定成立，A错误；
对于B，当x＝π，y＝时，cosx+cosy＝﹣1＜0，B不一定成立；
对于C，y＝lnx在（0，+∞）上为增函数，若x＞y＞0，则lnx＞lny，必有lnx﹣lny＞0，C正确；
对于D，当x＝1，y＝时，lnx+lny＝ln＜0，D不一定成立； 故选：C．
【点评】本题考查函数单调性的应用，涉及实数大小的比较，属于基础题．
4．（5分）函数f（x）的图象向左平移一个单位长度，所得图象与y＝ex关于y轴对称，则f（x）＝（ ） A．e
﹣x+1
B．e
﹣x﹣1
C．ex1
﹣D．ex+1
【分析】根据函数图象变换关系，利用逆推法进行求解即可． 【解答】解：y＝ex关于y轴对称的函数为y＝ex，
﹣
然后向右平移一个单位得到f（x）， 得y＝e
﹣（x﹣1）
，即f（x）＝e
﹣x+1
，
故选：A．
【点评】本题主要考查函数图象变换，结合条件进行逆推法是解决本题的关键．比较基础．
5．（5分）希尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家希尔宾斯基在1915年提出，先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”，我们用白色代表挖去的面积，那么黑三角形为剩下的面积（我们称黑三角形为希尔宾斯基三角形）．在如图第3个大正三角形中随机取点，则落在黑色区域的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】我们要根据已知条件，求出第3个大正三角形的面积，及黑色区域的面积，代入几何概型计算公式，即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：每次挖去的面积为前一个三角形剩下面积的，不妨设第一
个三角形的面积为1． ∴第三个三角形的面积为1； 则阴影部分的面积之为
：
第3个大正三角形中随机取点，则落在黑色区域的概率：故选：B．
，
【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P＝
求解．
6．（5分）已知等比数列{an}满足a1﹣a2＝36，a1﹣a3＝24，则使得a1a2…an取得最大值的n为（ ） A．3
B．4
C．5
D．6
【分析】结合等比数列的通项公式可求通项，然后结合项的正负及增减性可求． 【解答】解：∵等比数列{an}满足a1﹣a2＝36，a1﹣a3＝24，
，
解可得，q＝
，a1＝27，
∴an＝，
若使得a1a2…an取得最大值，则n应该是偶数， 且n＞4时，|an|＜1，
故当n＝4时，a1a2…an取得最大值． 故选：B．
【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式的简单应用，分析数列的项的特点是求解问题的关键．
7．（5分）已知α为锐角，cosα＝，则tan（A．
B．
+C．2
）＝（ ）
D．3
【分析】求出tanα＝＝，从而tan＝，由此能求出tan（+）的
值．
【解答】解：∵α为锐角，cosα＝，
∴sinα＝＝，tanα＝＝＝，
解得tan＝，或tan＝﹣2，
∴tan（+）＝＝＝3．
故选：D．
【点评】本题考查三角函数值的求法，考查诱导公式、正切函数的二倍角公式、正切加法定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 8．（5分）已知双曲线C：
，O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C的两条渐近
线交于A，B两点，若△OAB是边长为2的等边三角形，则双曲线C的方程为（ ） A．
﹣y2＝1
B．x2
＝1
C．＝1 D．＝1
【分析】求出双曲线的渐近线方程，令x＝a，求得A，B的坐标，由等边三角形的性质可得a，b的值，进而得到双曲线的方程． 【解答】解：双曲线C：
的渐近线方程为bx﹣ay＝0和bx+ay＝0，
由x＝a与双曲线C的两条渐近线交于A（a，b），B（a，﹣b）， △OAB是边长为2的等边三角形，即有2b＝2，即b＝1， 且a＝
×2＝
，
可得双曲线的方程为故选：A．
﹣y2＝1．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的应用，考查等边三角形的性质，以及化简运算能力，属于基础题．
9．（5分）地球上的风能取之不尽，用之不竭．风能是清洁能源，也是可再生能源．世界各国致力于发展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，在2014年累计装机容量就突破了100GW，达到114.6GW，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心．以下是近10年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图．根据以上信息，正确的统计结论
是
（
）
A．截止到2015年中国累计装机容量达到峰值 B．10年来全球新增装机容量连年攀升
C．10年来中国新增装机容量平均超过20GW
D．截止到2015年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过 【分析】通过图结合选项分析．
【解答】解：由图1知没有在截止到2015年中国累计装机容量达到峰值，A错； 由图2知，10年来全球新增装机容量起伏，B错； 由
图
1
知
，
10
年
中
国
新
增
装
机
总
容
量
为
13.8+18.9+17.7+13+16.1+23.2+30.8+23.4+19.7+21.1＝197.7， 则10年来中国新增装机容量平均为19.77GW，C错； 故选：D．
【点评】本题考查频率直方图，属于基础题．
10．（5分）已知函数f（x）＝
+2x+1，且f（a2）+f（2a）＞3，则a的取值范围是（ ）
B．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞） D．（﹣1，3） +2x+1﹣＝
+2x，分析函数F（（x）
A．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞） C．（﹣2，0）
【分析】设F（x）＝f（x）﹣＝
的奇偶性，单调性，f（a2）+f（2a）＞3，转化为F（a2）＞﹣F（2a），即可解出答案． 【解答】解：根据题意，设F（x）＝f（x）﹣＝
+2x+1﹣＝
+2x，
则F（0）＝f（0）﹣＝0，
又由F（﹣x）＝为奇函数； 又由F′（x）＝
+2（﹣x）＝﹣（+2x）＝﹣F（x），即函数F（x）
＝＝＞0，
所以函数F（x）单调递增， 若f（a2）+f（2a）＞3， 则f（a2）﹣＞
，
f（a2）﹣＞﹣[f（2a）﹣]， F（a2）＞﹣F（2a）， F（a2）＞F（﹣2a）， 所以a2＞﹣2a， 解得，a＜﹣2或a＞0， 故选：B．
【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及构造法的应用，属于基础题． 11．（5分）已知函数f（x）＝sinx+sin（πx），现给出如下结论：
①f（x）是奇函数； ②f（x）是周期函数； ③f（x）在区间（0，π）上有三个零点； ④f（x）的最大值为2．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①根据函数奇偶性定义进行判断，②用反证法推出函数的函数无周期，③f（x）＝sinx+sin（πx）＝2sincos
＝0，x＝
cos或x＝
，函数的零点为方程sin
＝0或
，x∈（0，π），进而得出结论，④用反证
法推出函数的函数最大值不是2．
【解答】解：因为f（﹣x）＝sin（﹣x）+sin（﹣πx）＝﹣sinx﹣sin（πx）＝﹣f（x）， 所以f（x）是奇函数，①正确． 假设存在周期T，
则sin（x+T）+sin（π（x+T））＝sinx+sinπx， sin（x+T）﹣sinx＝﹣[sin（π（x+T））﹣sinπx]， 所以sin•cos
＝﹣sin
•cos＝0，而cos
＝0，
，
＝0，
＝0，
①，
≠0，
存在x0∈R，使得cos将x0∈R，﹣sin由于故﹣sin
•cos
所以sin＝0，sin＝kπ，
＝mπ，k，m∈Z，
所以kπ＝m，矛盾，
所以函数f（x）＝sinx+sin（πx），没有周期，②错误． f（x）＝sinx+sin（πx）＝2sin函数的零点为方程sinx＝x＝
或x＝，
或
cos
＝0或cos，x∈（0，π） ，
， ＝0，
所以f（x）在区间（0，π）上有三个零点；故③正确． 假设存在这样的x0使得f（x）最大值为2，
x0＝即x0＝所以
且πx0＝且x0＝＝
，
，（k∈Z） ，
k＝﹣，与k∈Z矛盾，故④错误． 故选：B．
【点评】本题考查三角函数的图象和性质，属于难题．
12．（5分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长为4，底面边长为2，用一个平面截此棱柱，与侧棱AA1，BB1，CC1分别交于点M，N，Q，若△MNQ为直角三角形，则△MNQ面积的最大值为（ ） A．3
B．
C．
D．3
【分析】不妨设N在B处，AM＝h，CQ＝m，则有MB2＝h2+4，BQ2＝m2+4，MQ2＝（h﹣m）2+4由MB2＝BQ2+MQ2⇒m2﹣hm+2＝0．△＝h2﹣8≥0⇒h2≥8，且h≤4， 可得S2＝1+h2，就可求出S最大值．
【解答】解：解：如图，不妨设N在B处，AM＝h，CQ＝m， 则有MB2＝h2+4，BQ2＝m2+4，MQ2＝（h﹣m）2+4 由MB2＝BQ2+MQ2⇒m2﹣hm+2＝0．得h＝△＝h2﹣8≥0⇒h2≥8，且h≤4， 即8≤h2≤16， S＝
，
[（h﹣m）2+4]×（m2+4）
＝m+①
S2＝×|MQ|2×|BQ|2＝把①代入得
S2＝×[（m+﹣m）2+4]×（m2+4）＝＝5+（+m）2﹣4＝1+（+m）2＝1+h2， 所以S2＝1+h2∈[9，17]， S2max＝17， Smax＝
，
[
+4]×（m2+4）＝5+
故选：C．
【点评】本题考查了空间线面位置关系，考查了转化思想，属于中档题． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．
13．（5分）从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有 60 种．（用数字作答） 【分析】6名选手中决出1名一等奖有数原理即可得答案．
【解答】解：依题意，可分三步，第一步从6名选手中决出1名一等奖有第二步，再决出2名二等奖，有第三步，剩余三人为三等奖， 根据分步乘法计数原理得：共有故答案为：60．
【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，掌握分步计数原理是解决问题的关键，属于中档题．
14．（5分）在△ABC中，AB＝2，AC＝3，P是边BC的垂直平分线上一点，则
．
【分析】取BC的中点D，
＝（
+
）＝（（
+
）+
），
⊥
，再利用•
＝
•
＝60种方法． 种方法，
种方法，
种方法，2名二等奖，
种方法，利用分步计
两个向量垂直的性质及向量的运算法则，可得结果． 【解答】解：取BC的中点D，由条件得 +
）（ •
﹣
）
•
＝（
+
）（•
﹣
）＝（（
+
）
＝﹣+＝﹣+•＝+0＝，
故答案为：．
【点评】此题是基础题．本题考查两个向量的运算法则及其意义，两个向量垂直的性质． 15．（5分）函数f（x）＝lnx和g（x）＝ax2﹣x的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，则这条切线方程为 y＝x﹣1 ．
【分析】分别求得f（x），g（x）的导数，设P（x0，y0），则lnx0＝ax02﹣x0①，结合f′（x0）＝g′（x0），联立消掉a可得关于x0的方程，构造函数，根据函数单调性可求得唯一x0值，进而可求P的坐标，以及切线的斜率和切线方程．
【解答】解：f（x）＝lnx的导数为f′（x）＝，g（x）＝ax2﹣x的导数为g′（x）＝2ax﹣1，
设P（x0，y0），则lnx0＝ax02﹣x0①， f′（x0）＝g′（x0），即联立①②消a得，lnx0＝令φ（x）＝lnx﹣
＝2ax0﹣1，化简得1＝2ax02﹣x0②， ，
，φ′（x）＝+＞0，
易知φ（x）在（0，+∞）上单调递增，又φ（1）＝0， 所以φ（x）＝lnx﹣
有唯一解1，即x0＝1，
则y0＝f（1）＝0，a＝1．
故P（1，0），切线的斜率为1，切线的方程为y＝x﹣1． 故答案为：y＝x﹣1．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性及导数的几何意义，考查学生灵活运用所学知识分析问题解决问题的能力，属于中档题．
16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，对曲线C上任意一点P，P到直线x+1＝0的距离与该点到点O的距离之和等于2，则曲线C与y轴的交点坐标是 （0，±1） ；设点A（﹣，0），则|PO|+|PA|的最小值为
．
【分析】设P（x，y），P到直线x+1＝0的距离与该点到点O的距离之和等于2，求出P的轨迹方程为抛物线，根据抛物线的性质，求出曲线C与y轴的交点坐标和|PO|+|PA|的
最小值．
【解答】解：设P（x，y），P到直线x+1＝0的距离与该点到点O的距离之和等于2， 则|x+1|＝
，化简得y2＝2x+1，
令x＝0，y＝1，故曲线C与y轴的交点为（0，1），（0，﹣1），
A（﹣，0），根据题意，当O，P，A三点共线时，则|PO|+|PA|的最小， 最小值长等于|OA|＝， 故答案为：（0，±1）；．
【点评】考查直线与抛物线的综合，求曲线的轨迹方程，中档题．
三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）绿水青山就是金山银山．近年来，祖国各地依托本地自然资源，打造旅游产业，旅游业正蓬勃发展．景区与游客都应树立尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理念，合力使旅游市场走上规范有序且可持续的发展轨道．某景区有一个自愿消费的项目：在参观某特色景点入口处会为每位游客拍一张与景点的合影，参观后，在景点出口处会将刚拍下的照片打印出来，游客可自由选择是否带走照片，若带走照片则需支付20元，没有被带走的照片会收集起来统一销毁．该项目运营一段时间后，统计出平均只有三成的游客会选择带走照片．为改善运营状况，该项目组就照片收费与游客消费意愿关系作了市场调研，发现收费与消费意愿有较强的线性相关性，并统计出在原有的基础上，价格每下调1元，游客选择带走照片的可能性平均增加0.05，假设平均每天约有5000人参观该特色景点，每张照片的综合成本为5元，假设每个游客是否购买照片相互独立． （1）若调整为支付10元就可带走照片，该项目每天的平均利润比调整前多还是少？ （2）要使每天的平均利润达到最大值，应如何定价？
【分析】（1）当收费为20元时，照片被带走的可能性为0.3，不被带走的概率为0.7，设每个游客的利润为Y1元，则Y1是随机变量，求出5000个游客的平均利润为5000元，当收费为10元时，照片被带走的可能性为0.3+0.05×10＝0.8，不被带走的概率为0.2，设每个游客的利润为Y2，则Y2是随机变量，求出5000个游客的平均利润为15000元，由此能求出该项目每天的平均利润比调整前多10000元．
（2）设降价x元，则0≤x＜15，照片被带走的可能性为0.3+0.05x，不被带走的可能性
为0.7﹣0.05x，设每个游客的利润为Y元，则Y是随机变量，求出其分布列，从而E（Y）＝（15﹣x）×（0.3+0.05x）﹣5×（0.7﹣0.05x）＝0.05[69﹣（x﹣7）2]，由此求出当定价为13元时，日平均利润取最大值为17250元．
【解答】解：（1）当收费为20元时，照片被带走的可能性为0.3，不被带走的概率为0.7， 设每个游客的利润为Y1元，则Y1是随机变量，其分布列为：
Y1 P
15 0.3
﹣5 0.7
E（Y1）＝15×0.3﹣5×0.7＝1（元）， 则5000个游客的平均利润为5000元，
当收费为10元时，照片被带走的可能性为0.3+0.05×10＝0.8，不被带走的概率为0.2， 设每个游客的利润为Y2，则Y2是随机变量，其分布列为：
Y2 P
5 0.8
﹣5 0.2
E（Y2）＝5×0.8﹣5×0.2＝3（元），
则5000个游客的平均利润为5000×3＝15000（元）， 该项目每天的平均利润比调整前多10000元．
（2）设降价x元，则0≤x＜15，照片被带走的可能性为0.3+0.05x， 不被带走的可能性为0.7﹣0.05x，
设每个游客的利润为Y元，则Y是随机变量，其分布列为：
Y P
15﹣x
﹣5
0.3+0.05x 0.7﹣0.05x
E（Y）＝（15﹣x）×（0.3+0.05x）﹣5×（0.7﹣0.05x）＝0.05[69﹣（x﹣7）2]， 当x＝7时，E（Y）有最大值3.45元，
∴当定价为13元时，日平均利润取最大值为5000×3.45＝17250元．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinB＝bsin（A﹣（1）求A；
（2）D是线段BC上的点，若AD＝BD＝2，CD＝3，求△ADC的面积． 【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得tanA＝﹣合范围A∈（0，π），可求A的值． （2）设∠B＝θ，θ，∠ACD＝
，由题意可得∠BAD＝θ，∠ADC＝2θ，∠DAC＝
）．
，结
﹣
﹣θ，在△ADC中，由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求sinθ＝
cosθ，可求sinθ，cosθ，利用二倍角的正弦函数公式可求sin2θ，进而根据三角形的面积公式可求S△ADC的值．
【解答】解：（1）由正弦定理可得asinB＝bsinA， 则有bsinA＝b（sinA﹣可得tanA＝﹣
，
cosA），化简可得sinA＝﹣
cosA，
因为A∈（0，π）， 所以A＝
．
，由题意可得∠BAD＝θ，∠ADC＝2θ，∠DAC＝
﹣
（2）设∠B＝θ，θ，∠ACD＝在△ADC中，
﹣θ，
，则＝，
所以＝，可得sinθ＝cosθ，
又因为sin2θ+cos2θ＝1，可得sinθ＝则sin2θ＝2sinθcosθ＝所以S△ADC＝
， sin∠ADC＝
，cosθ＝，
＝．
【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
19．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，点A（1，）在椭圆C
上，直线l1过椭圆C的有交点与上顶点，动直线l2：y＝kx与椭圆C交于M、N两点，交l1于P点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知O为坐标原点，若点P满足|OP|＝|MN|，求此时|MN|的长度． 【分析】（1）由离心率及过的点和a，b，c之间的关系求出椭圆的方程；
（2）直线l2的方程与椭圆联立求出点M的坐标，由|OP|＝|MN|得P点坐标，P的直线l1上求出k值，进而求出MN|的值． 【解答】解：（1）由题意得：e＝＝，＝3，
所以椭圆的方程：
＝1；
+
＝1，b2＝a2﹣c2，解得：a2＝4，b2
（2）由题意直线l2的方程：y＝kx，代入椭圆中整理： （3+4k2）x2＝12，解得x＝
，
令M的坐标（，k）
∵|OP|＝|MN|，由对称性可知， 点P为OM的中点．
故P的坐标（由P在直线l1：
，x+y﹣
＝0，
），
所以
解得：k＝0或k＝所以|OM|＝2，或
+﹣＝0，
），
，故M的坐标为（2，0），或（，，
所以|MN|的长度为4或．
【点评】考查直线与椭圆的综合，属于中难题．
20．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA＝PB，∠APB＝∠ACB＝90°，点E，F分别是棱AB，PB的中点，点G是△BCE的重心． （1）证明：GF∥平面PAC；
（2）若GF与平面ABC所成的角为60°，求二面角B﹣AP﹣C的余弦值．
【分析】（1）连结EF，连结EG并延长，交BC于点D，由点D是BC的中点，推导出DE∥AC，EF∥AP，从而DE∥平面PAC，EF∥平面PAC，进而平面EFG∥平面PAC，由此能证明GF∥平面PAC．
（2）连结PE，连结CG并延长交BE于点O，则O为BE的中点，连结OF，则OF∥PE，以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣AP﹣C的余弦值．
【解答】解：（1）证明：连结EF，连结EG并延长，交BC于点D， 由点D是BC的中点，
∴D，E，F分别是棱CB，AB，PB的中点，∴DE∥AC，EF∥AP， ∵DE，EF⊄平面PAC，AC，AP⊂平面PAC， ∴DE∥平面PAC，EF∥平面PAC，
∵DE，EF⊂平面EFG，DE∩EF＝E，∴平面EFG∥平面PAC， ∵GF⊂平面EFG，∴GF∥平面PAC．
（2）解：连结PE，∵PA＝PB，E是AB的中点，∴PE⊥AB， ∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，PE⊂平面PAB， ∴PE⊥平面ABC，
连结CG并延长交BE于点O，则O为BE的中点，连结OF，则OF∥PE， ∴OF⊥平面ABC，∴∠FGO是GF与平面ABC所成角，∴∠FGO＝60°，
在Rt△FGO中，设GF＝2，则OG＝1，OF＝∴AB＝4
，CE＝2
，OE＝
，
，∴OC＝3，PE＝2，
∴OE2+OC2＝CE2，∴OC⊥AB，
以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系， 则A（0，﹣3＝（3，3
，0），C（3，0，0），P（0，﹣，0），
＝（0，2
），
，2
），
设平面PAC的一个法向量＝（x，y，z）， 则
，取z＝1，得＝（
），
平面PAB的法向量＝（1，0，0）， 设二面角B﹣AP﹣C的平面角为θ， 则cosθ＝
＝
＝
，
∴二面角B﹣AP﹣C的余弦值为．
【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 21．（12分）已知函数f（x）＝1+x﹣2sinx，x＞0． （1）求f（x）的最小值； （2）证明：f（x）＞e
﹣2x
．
时f（x）单减，
时f（x）单增，进
【分析】（1）求导可知而求得最小值；
（2）即证x＞0时，g（x）＝（1+x﹣2sinx）e2x＞1，利用导数容易得证．
【解答】解：（1）f′（x）＝1﹣2cosx，令f′（x）＝0，得故在区间[0，π]上，f′（x）的唯一零点是当
，
，
时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当时，f′（x）＞0，
f（x）单调递增，
故在区间[0，π]上，f（x）的极小值为
，
∴f（x）的最小值为
（2）要证x＞0时，f（x）＞e
﹣2x
，当x＞π时，
；
，即证x＞0时，g（x）＝（1+x﹣2sinx）e2x＞1，
g′（x）＝2（1+x﹣2sinx）e2x+（1﹣2cosx）e2x＝（3+2x﹣4sinx﹣2cosx）e2x， 令h（x）＝x﹣sinx，x＞0，
则h′（x）＝1﹣cosx≥0，即h（x）是（0，+∞）上的增函数， ∴h（x）＞h（0）＝0，即x＞sinx，
∴3+2x﹣4sinx﹣2cosx＞3+2sinx﹣4sinx﹣2cosx＝3﹣2（sinx+cosx）＝
，
∴g′（x）＝（3+2x﹣4sinx﹣2cosx）e2x＞0，
即g（x）是（0，+∞）上的增函数，g（x）＞g（0）＝1， 故当x＞0时，f（x）＞e
﹣2x
，即得证．
【点评】本题考查利用导数研究函数的最值及证明不等式，考查推理论证及运算能力，属于中档题．
请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清楚题号．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（1）写出曲线C的普通方程，并说明它表示什么曲线；
（2）已知倾斜角互补的两条直线l1，l2，其中l1与曲线C交于A，B两点，l2与C交于M，N两点，l1与l2交于点P（x0，y0），求证：|PA|•|PB|＝|PM|•|PN|．
【分析】（1）由y＝4m，得m＝，代入x＝4m2，求出C的普通方程为y2＝4x，表示开
（m为参数）．
口向右，焦点为F（1，0）的抛物线．
（2）设直线l1的倾斜角为α，直线l2的倾斜角为π﹣α，直线l1的参数方程为
，（t为参数），与y2＝4x联立，得t2sin2α+（2y0sinα﹣4cosα）t+y02﹣4x0
＝0，由此能证明|PA|•|PB|＝|PM|•|PN|． 【解答】解：（1）解：由y＝4m，得m＝， 代入x＝4m2，得y2＝4x， ∴曲线C的普通方程为y2＝4x，
∴C的普通方程为y2＝4x，表示开口向右，焦点为F（1，0）的抛物线． （2）证明：设直线l1的倾斜角为α，直线l2的倾斜角为π﹣α， ∴直线l1的参数方程为
，（t为参数），
与y2＝4x联立，得t2sin2α+（2y0sinα﹣4cosα）t+y02﹣4x0＝0， 设方程的两个解为t1，t2，则t1t2＝
，
∴|PA|•|PB|＝|t1|•|t2|＝||，
|PM|•|PN|＝|
∴|PA|•|PB|＝|PM|•|PN|．
|＝||，
【点评】本题考查曲线方程的求法，考查两组线段乘积相等的证明，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． [选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+|x﹣1|． （1）若f（a）＜2，求a的取值范围；
（2）当x∈[a，a+k]时，函数f（x）的值域为[1，3]，求k的值． 【分析】（1）f（a）＝|a﹣1|＜2，即可得a的取值范围是（﹣1，3）； （2）对a分类讨论，由单调性即可得f（x）的单调性．
【解答】解：（1）f（a）＝|a﹣1|＜2，得﹣2＜a﹣1＜2．即﹣1＜a＜3，
所以a的取值范围是（﹣1，3）．
（2）当a≥1时，函数f（x）在区间[a，a+k]上单调递增．
则[f（x）]min＝f（a）＝a﹣1＝1，得a＝2，[f（x）]max＝f（a+k）＝a+2k﹣1＝3，得k＝1．
当a＜1时，f（x）＝
则[f（x）]min＝f（a）＝1﹣a＝1，得a＝0， [f（x）]max＝f（a+k）＝a+2k﹣1＝3，得k＝2． 综上所述，k的值是1或2．
【点评】本题考查了绝对值不等式，属于中档题．
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