四川2023年大专生专升本数学考试及答案 (8)

4

yx1．若曲线的一条切线l与直线x4y80垂直，则l的方程为（

）.

A．4xy30

2B．x4y50C．4xy30D．x4y30

x2y2y2px(p0)与双曲线221

(a0,b0)有相同的焦点F，点A是两ab2．已知抛物线

曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为（

51221

A．2B．21C．31D．2）.

3．函数A．(0,1)

f(x)ln(x1)

2

x的零点所在的大致区间是

()

B．(1,2)C．(2,e)D．(3,4)

)

log2x(x0)1f(x)xf[f()]

(x0)，则34的值是(4．已知函数

A．9B．9

1

C．91D．9



5．已知向量a(1,1),b(2,n)，若|ab|ab，则实数n的值是A．1

B．1

C．3

D．3

()

6.已知i,j为互相垂直的单位向量，ai2j,bij,且a与b的夹角为锐角，则实数的取值范围是

1

(,)A．2（）

22

(2,)(,)

33C．

1

(,)2D．

1

(,2)(2,)

2B．

7.已知

ab0,全集UR,集合M{x|bx

ab

},N{x|abxa}2，

P{x|bxab},则P,M,N满足的关系是（

）

D．P(CUM)N

A．PMNB．PMN

C．PM(CUN)

8.从湖中打一网鱼，共M条，做上记号再放回湖中，数天后再打一网鱼共有n条，其中有k条有记号，则能估计湖中有鱼

nM条

kA．

k

M条

nB．

（D．

n

）

k

条MC．

n

M条k9.函数f(x)|x|,如果方程f(x)a有且只有一个实根，那么实数a应满足（A．a<0

B．0D．a>1

（

）

）

53

10.△ABC中，cosA=13，sinB=5,则cosC的值为56A.6556B.－6516C.－6516D.6511.函数y=2x+1的图象是（）

12.函数f(x)=logax(a＞0且a≠1)对任意正实数x,y都有（A.f(x·y)=f(x)·f(y)C.f(x+y)=f(x)·f(y)

B.f(x·y)=f(x)+f(y)D.f(x+y)=f(x)+f(y)

）

二、填空题（共4小题，每小题5分；共计20分）1、设5，x-1，55成等比数列，则x_______

2、在等比数列{an}中，已知an0，a2a42a3a5a4a625，则_______

3．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，

决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．

x2y2

21(a0,b0)24．已知双曲线C：ab的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与

C的两条渐近线分别交于A，B两点．若____________．三、大题：(满分70分)



F1AAB



，F1BF2B0，则C的离心率为

1x2D:y2xC:2y21(a0)4交于两点A，B两点，1、已知O是坐标轴原点，双曲线a与抛物线

AOB的面积为

4．

（1）求C的方程；

（2）设F1，F2为C的左，右焦点，点P在D上，求PF1PF2的最小值．

2、一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图是腰长为6的两个全等的等腰直角三角形.

（Ⅰ）请画出该几何体的直观图，并求出它的体积；

（Ⅱ）用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为6的正方体ABCD—A1B1C1D1?如何组拼？试证明你的结论；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的情形下,设正方体ABCD—A1B1C1D1的棱CC1的中点为E,求平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值.

正视图侧视图3.设数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2-an，n=1，2，3，….(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；

俯视图(Ⅱ)若数列{bn}满足b1=1，且bn+1=bn+an，求数列{bn}的通项公式；(Ⅲ)设cn=n(3-bn)，求数列{cn}的前n项和Tn.

4.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5.

（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；（Ⅱ）求二面角A1-BC1-B1的余弦值；

BD

（Ⅲ）证明：在线段BC1存在点D，使得AD⊥A1B，并求BC1的值.

5.在直角坐标系xOy中，直线l经过点P（﹣2，0），其倾斜角为α，在以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中（取相同的长度单位），曲线C的极坐标方程为ρ﹣4cosθ=0．

（Ⅰ）若直线l与曲线C有公共点，求倾斜角α的取值范围；（Ⅱ）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求6.已知函数f（x）=|x﹣3|﹣|x+5|．（Ⅰ）求不等式f（x）≥2的解集；

（Ⅱ）设函数f（x）的最大值为M，若不等式x2+2x+m≤M有解，求m的取值范围．

的取值范围．

参考答案：一、选择题：1-5题答案:ABBCC6-10题答案:BCACA

11-12题答案:DB二、填空题：1、6或-4；2、a3a55；3.0.184.2三、大题：

123SAOB2y04y04y04

A(4y,y)A(4y,y)2001、【解析】（1）不妨设，则，则，解得y01，

2020x2422C:2y1(a0)1212aA(4,1)，将其代入双曲线得a，解得a22x2y218；

，双曲线C的方程为

2F2(3,0)，PF2(34t2,t)，c3，F1(3,0)，（2）由（1）可知c9，设P(4t,t)，则PF1(34t,t)，

221577PF1PF2(34t2,t)(34t2,t)16t4t29(4t2)28642t，又[0,)，

1577(PF1PF2)min()29864，即当t0时，PF1PF2取得最小值，且最小值为9．

【评注】本题考查圆锥曲线的共同特征，解题的关键是巧设点的坐标，解出A，B两点的坐标，列出三角形的面积关系也是本题的解题关键，运算量并不算太大．2、解：（Ⅰ）该几何体的直观图是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如右图中的四棱锥C1-ABCD。其中底面ABCD是边长为6的正方形，高为CC1=6，故所求体积是

V

1266723

（Ⅱ）依题意，正方体的体积是原四棱锥体积的3倍，故用3个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为6的正方体，

其拼法如图2所示.

证明:∵面ABCD、面ABB1A1、面AA1D1D为全等的正方形，于是

VC1ABCDVC1ABB1A1VC1AA1D1D故所拼图形成立.

（Ⅲ）方法一：设B1E，BC的延长线交于点G，连结GA，在底面ABC内作BH⊥AG，垂足为H，

连结HB1，则B1H⊥AG，故∠B1HB为平面AB1E与平面ABC所成二面角或其补角的平面角.

在Rt△ABG中，AG180，则

BH

612180125，

B1HBH2BB1

2185，

zC1D1Gx

23.

cosB1HB

HB2



HB13，

B1A1H

A

B

y

EC

D

故平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值为



方法二：以C为原点，CD、CB、CC1所在直线分别为x、y、z轴建立直角坐标系（如图3），∵正方体棱长为6，则E（0，0，3），B1（0，6，6），A（6，6，0）.设向量n=（x，y，z），满足n⊥EB1，n⊥AB1，

xz

6y3z01

yz6x6z02.于是，解得

取z=2，得n=（2，-1，2）.又BB1（0，0，6），故平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值为



cosn,BB1

nBB1|n||BB1|

122

183

23.

3.解：(Ⅰ)∵n=1时，a1+S1=a1+a1=2∵Sn=2-an即an+Sn=2,∴an+1+Sn+1=2两式相减：an+1-an+Sn+1-Sn=0即an+1-an+an+1=0,

2an+1=an

,∴a1=1

∵an≠0

an11



∴an2(n∈N*)

11

()n1所以，数列{an}为首项a1=1，公比为2的等比数列.an=2(n∈N*)

(Ⅱ)∵bn+1=bn+an(n=1，2，3，…)

1

∴bn+1-bn=(2)n-1

得b2-b1=1

1

b3-b2=21

b4-b3=(2)2

……

1

bn-bn-1=(2)n-2(n=2，3，…)

将这n-1个等式累加，得

112131()()()n22222

1

1()n11222()n11212bn-b1=1+

1

又∵b1=1，∴bn=3-2(2)n-1(n=1，2，3，…)1

(Ⅲ)∵cn=n(3-bn)=2n(2)n-1

11111

∴Tn=2[(2)0+2(2)+3(2)2+…+(n-1)(2)n-2+n(2)n-1]

111111

()n1n()n2Tn=2[(2)+2(2)2+3(2)3+…+(n-1)22]

①②

而

111111

Tn2[()0()1()2()n1]2n()n22222①-②得：21

1()n24n(1)n884n(1)n4

11222n1n2Tn==8-(8+4n)2(n=1，2，3，…)

4.解:(1)∵AA1C1C为正方形,

A1AAC,

又面AA1C1C⊥面ABC,又面AA1C1C∩面ABC=AC∴AA1⊥平面ABC.(2)∵AC=4,AB=3,BC=5,

222∴ACABBC,∴∠CAB=90,即AB⊥AC,

又由(1)∴AA1⊥平面ABC.知A1AAB,

所以建立空间直角坐标系A-xyz,则A1(0,0,4),C1(4,0,4),B1(0,3,4),B(0,3,0)设面A1CB1与面BC1B1的法向量分别为n(x,y,z),m(a,b,c),

nA1C10nA1B0由,得

3m(,1,0)4,同理,

cosn,m

nmnm

4x0

n

3y4z0,令y1,则

3

(0,1,)4,

1

2516

1625,

16

由图知,所求二面角为锐二面角,所以二面角A1-BC1-B1的余弦值为25.

(3)证明:设D(x,y,z),,则AD(x,y,z),A1B(0,3,4),BC1(4,3,4),因为C1,D,B三点共线,所以设BDBC1,即(x,y3,z)(4,3,4),

x4

y33z4所以,

(1)

(2)

由ADA1B0得3y4z0由(1)(2)求得



9364836364836

,x,y,zD(,,)25252525,即252525,

BD9

故在线段BC1存在点D，使得AD⊥A1B，且BC1=25.

5.在直角坐标系xOy中，直线l经过点P（﹣2，0），其倾斜角为α，在以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中（取相同的长度单位），曲线C的极坐标方程为ρ﹣4cosθ=0．

（Ⅰ）若直线l与曲线C有公共点，求倾斜角α的取值范围；（Ⅱ）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求

的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）由曲线C的极坐标方程得ρ2﹣4ρcosθ=0，又x=ρcosθ，y=ρsinθ，

∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣4x=0，即（x﹣2）2+y2=4…（1分）∴曲线C是圆心为C（2，0），半径为2的圆．

∵直线l过点P（﹣2，0），当l的斜率不存在时，l的方程为x=﹣2与曲线C没有公共点，

∴直线l的斜率存在，设直线l：y=k（x+2），即kx﹣y+2k=0．

直线l与圆有公共点，则圆心C到直线l的距离得

，

，

α∈[0，π），∴α的取值范围是

．

（Ⅱ）法一：由（Ⅰ）曲线C的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2=4，故其参数方程为

（θ为参数）．

∵M（x，y）为曲线C上任意一点，∴

，

∴因此，

，

的取值范围是[﹣2，6]．

，

6.已知函数f（x）=|x﹣3|﹣|x+5|．（Ⅰ）求不等式f（x）≥2的解集；

（Ⅱ）设函数f（x）的最大值为M，若不等式x2+2x+m≤M有解，求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当x≥3时，f（x）=﹣8，此时f（x）≥2无解；分）

当﹣5＜x＜3时，f（x）=﹣2x﹣2，由f（x）≥2解得﹣5＜x≤﹣2；…（3分）当x≤﹣5时，f（x）=8，此时f（x）≥2恒成立．…（4分）综上，不等式f（x）≥2的解集是{x|x≤﹣2}．…（5分）

…（1

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知…（6分）

易知函数f（x）的最大值M=8，…（7分）

若x2+2x+m≤8有解，得m≤﹣x2﹣2x+8有解．…（8分）即m≤[﹣（x+1）2+9]max=9．…（9分）因此，m的取值范围是m≤9．…（10分）