二次函数大题(较难)

（2）若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积为17，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；

2．已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，以P（1，1）为圆心的⊙P与x轴、y轴分别相切于点M和点N，点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连接PF，过点P作PE⊥PF交y轴于点E，设点F运动的时间是t秒（t＞0）

（1）若点E在y轴的负半轴上（如图所示），求证：PE=PF；

（2）在点F运动过程中，设OE=a，OF=b，试用含a的代数式表示b；

（3）作点F关于点M的对称点F′，经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，连接QE．在点F运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

333．如图1，已知抛物线y=8x2﹣4x﹣3与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为

D

（1）求出点A，B，D的坐标；

（2）如图1，若线段OB在x轴上移动，且点O，B移动后的对应点为O′，B′．首尾顺次连接点O′、B′、D、C构成四边形O′B′DC，请求出四边形O′B′DC的周长最小值．

（3）如图2，若点M是抛物线上一点，点N在y轴上，连接CM、MN．当△CMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，直接写出点N的坐标．

4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90o，AB＝10cm，AC∶BC＝4∶3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．

（1）设点P的运动时间为x（秒），△PBQ的面积为y（cm2），当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）当x＝5秒时，在直线PQ上是否存在一点M，使△BCM得周长最小，若存在，求出最小周长，若不存在，请说明理由．

（3）当点Q在BC边上运动时，是否存在x，使得以△PBQ的一个顶点为圆心作圆时，另外两个顶点均在这个圆上，若存在，求出 x的值；不存在，说明理由.

5．已知抛物线y=﹣x2+3x+4交y轴于点A，交x轴于点B，C（点B在点C的右侧）．过点A作垂直于y轴的直线l．在位于直线l下方的抛物线上任取一点P，过点P作直线PQ平行于y轴交直线l于点Q．连接AP． （1）写出A，B，C三点的坐标； （2）若点P位于抛物线的对称轴的右侧：

①如果以A，P，Q三点构成的三角形与△AOC相似，求出点P的坐标；

②若将△APQ沿AP对折，点Q的对应点为点M．是否存在点P，使得点M落在x轴上若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

③设AP的中点是R，其坐标是（m，n），请直接写出m和n的关系式，并写出m的取值范围．

6．如图，一小球从斜坡D点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数）y=-x2+4x刻画，斜坡OA可以用一次函数y=刻画．

(1)请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标； (2)小球的落点是A,求点A的坐标

(3)连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA，求△POA的面积；

(4)在OA上方的抛物线上存在一点M（M与P不重合），△MOA的面积等于△POA的面积，请直接写出点M的坐标。

x2

7．如图，已知二次函数L1：y=ax2﹣2ax+a+3（a＞0）和二次函数L2：y=﹣a（x+1）2+1（a＞0）图象的顶点分别为M，N，与y轴分别交于点E，F．

（1）函数y=ax2﹣2ax+a+3（a＞0）的最小值为 ，当二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而减小时，x的取值范围是 ．

（2）当EF=MN时，求a的值，并判断四边形ENFM的形状（直接写出，不必证明）．

（3）若二次函数L2的图象与x轴的右交点为A（m，0），当△AMN为等腰三角形时，求方程﹣a（x+1）2+1=0的解．

8．已知直线y=kx+1经过点M（d，﹣2）和点N（1，2），交y轴于点H，交x轴于点F． （1）求d的值；

（2）将直线MN绕点M顺时针旋转45°得到直线ME，点Q（3，e）在直线ME上，①证明ME∥x轴；②试求过M、N、Q三点的抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，连接NQ，作△NMQ的高NB，点A为MN上的一个动点，若BA将△NMQ的面积分为1：2两部分，且射线BA交过M、N、Q三点的抛物线于点C，试求点C的坐标．

9．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2坐标是4，直线y=﹣

422xc与直线y=﹣x﹣交于A、B两点，已知点B的横55522x﹣与x、y轴的交点分别为A、C，点P是抛物线上一动点． 55（1）求抛物线的解析式； （2）若点P在直线y=﹣

22x﹣上方，求△PAC的最大面积； 55（3）设M是抛物线对称轴上的一点，以点A、B、P、M为顶点的四边形能否成为平行四边形若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

410．如图，抛物线C1：y=﹣9（x+3）2与x，y轴分别相交于点A，B，将抛物线C1沿对称轴向上平移，记平移后的

抛物线为C2，抛物线C2的顶点是D，与y轴交于点C，射线DC与x轴相交于点E， （1）求A，B点的坐标；

（2）当CE：CD=1：2时，求此时抛物线C2的顶点坐标； （3）若四边形ABCD是菱形． ①此时抛物线C2的解析式；

②点F在抛物线C2的对称轴上，且点F在第三象限，点M在抛物线C2上，点P是坐标平面内一点，是否存在以A，F，P，M为顶点的四边形与菱形ABCD相似，并且这个菱形以A为顶点的角是钝角，若存在求出点F的坐标，若不存在请说明理由．

11．在平面直角坐标系中，已知y1关于x的二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（0，1），且在y轴的左侧，函数值y1随着自变量x的增大而增大．

（1）填空：a 0，b 0，c 0（用不等号连接）；

1（2）已知一次函数y2=ax+b，当﹣1≤x≤1时，y2的最小值为﹣2且y1≤1，求y1关于x的函数解析式； bm（3）设二次函数y1=ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），且当a≠﹣1时，一次函数y3=2cx+b﹣a与y4=a1x

﹣c（m≠0）的图象在第一象限内没有交点，求m的取值范围．

12．如图所示，直线l：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，抛物线过点B、C和D（3，0）．

（1）求直线BD和抛物线的解析式．

（2）若BD与抛物线的对称轴交于点M，点N在坐标轴上，以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似，求所有满足条件的点N的坐标．

（3）在抛物线上是否存在点P，使S△PBD=6若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

13．已知：抛物线y=x2+（2m﹣1）x+m2﹣1经过坐标原点，且当x＜0时，y随x的增大而减小． （1）求抛物线的解析式，并写出y＜0时，对应x的取值范围；

（2）设点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于点B，DC⊥x轴于点C．

①当BC=1时，直接写出矩形ABCD的周长；

②设动点A的坐标为（a，b），将矩形ABCD的周长L表示为a的函数并写出自变量的取值范围，判断周长是否存在最大值如果存在，求出这个最大值，并求出此时点A的坐标；如果不存在，请说明理由．

14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8．动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向点B匀速运动；同时，动点N从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿BA向点A匀速运动．过线段MN的中点G作边AB的垂线，垂足为点G，交△ABC的另一边于点P，连接PM、PN，当点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动，设运动时间为t秒． （1）当t= 秒时，动点M、N相遇；

（2）设△PMN的面积为S，求S与t之间的函数关系式．

15．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（0，3），且当x=1时，y有最小值2． （1）求a，b，c的值；

（2）设二次函数y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）

①若二次函数y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）的图象与x轴的两个交点的横坐标x1，x2满足

x1x223，求k的值；

②请在二次函数y=ax2+bx+c与y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）的图象上各找一个点M、N，且不论k为何值，这两个点始终关于x轴对称，求出点M、N的坐标（点M在点N的上方）．

16．在直角坐标系中，⊙C过原点O，交x轴于点A（2，0），交y轴于点B（0，23）． （1）求圆心C的坐标．

（2）抛物线y=ax2+bx+c过O，A两点，且顶点在正比例函数y=-3的图象上，求抛物线的解析式． 3（3）过圆心C作平行于x轴的直线DE，交⊙C于D，E两点，试判断D，E两点是否在（2）中的抛物线上． （4）若（2）中的抛物线上存在点P（x0，y0），满足∠APB为钝角，求x0的取值范围．

17．如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处．分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax2+bx+c经过O，D，C三点． （1）求AD的长及抛物线的解析式；

（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1

个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似

（3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．

18．如图1，抛物线C：y=x2经过变化可得到抛物线C1：y1=a1x（x﹣b1），C1与x轴的正半轴交与点A1，且其对称轴分别交抛物线C，C1于点B1，D1，此时四边形OB1A1D1恰为正方形；按上述类似方法，如图2，抛物线C1：y1=a1x（x﹣b1）经过变换可得到抛物线C2：y2=a2x（x﹣b2），C2与x轴的正半轴交与点A2，且其对称轴分别交抛物线C1，C2于点B2，D2，此时四边形OB2A2D2也恰为正方形；按上述类似方法，如图3，可得到抛物线C3：y3=a3x（x﹣b3）与正方形OB3A3D3．请探究以下问题： （1）填空：a1= ，b1= ； （2）求出C2与C3的解析式；

（3）按上述类似方法，可得到抛物线Cn：yn=anx（x﹣bn）与正方形OBnAnDn（n≥1）． ①请用含n的代数式直接表示出Cn的解析式；

②当x取任意不为0的实数时，试比较y2015与y2016的函数值的大小并说明理由．

19．在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，），我们把以点C为圆心，半径为的圆称为点C的朋友圈，圆周上的每一个点叫做点C的一个好友． （1）写出点C的两个好友坐标；

4（2）直线l的解析式是y=3x﹣4，与x轴、y轴分别交于A、B两点，圆心C从点（0，）开始以每秒个单位的速度

沿着y轴向下运动，当点C的朋友圈有好友落在直线上时，直线将受其影响，求在点C向下运动的过程中，直线受其影响的时间；

（3）抛物线y=ax2+bx+c过原点O和点A，且顶点D恰好为点C的好友，连接OD．E为⊙C上一点，当△DOE面积最大时，求点E的坐标，此时△DOE的面积是多少

20．如图，顶点为A的抛物线y=a（x+2）2﹣4交x轴于点B（1，0），连接AB，过原点O作射线OM∥AB，过点A作AD∥x轴交OM于点D，点C为抛物线与x轴的另一个交点，连接CD． （1）求抛物线的解析式、直线AB的解析式；

（2）若动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OD向点D运动，同时动点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段CO向点O运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动． 问题一：当t为何值时，△OPQ为等腰三角形

问题二：当t为何值时，四边形CDPQ的面积最小并求此时PQ的长．

21．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，点P从点A出发沿AD向点D匀速运动，速度是1cm/s，过点P作PE∥AC交DC于点E，同时，点Q从点C出发沿CB方向，在射线CB上匀速运动，速度是2cm/s，连接PQ、QE，PQ与AC交与点F，设运动时间为t（s）（0＜t＜8）． （1）当t为何值时，四边形PFCE是平行四边形；

（2）设△PQE的面积为s（cm2），求s与t之间的函数关系式；

9（3）是否存在某一时刻t，使得△PQE的面积为矩形ABCD面积的32；

（4）是否存在某一时刻t，使得点E在线段PQ的垂直平分线上．

22．在平面直角坐标中，抛物线y=ax2﹣3ax﹣10a（a＞0）分别交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C，且OB=OC． （1）求a的值；

（2）如图1，点P位抛物线上一动点，设点P的横坐标为t（t＞0），连接AC、PA、PC，△PAC的面积为S，求S与t之间的函数关系式；

（3）如图2，在（2）的条件下，设对称轴l交x轴于点H，过P点作PD⊥l，垂足为D，在抛物线、对称轴上分别

8取点E、F，连接DE、EF，使PD=DE=EF，连接AE交对称轴于点G，直线y=kx﹣3k（k≠0）恰好经过点G，将直线8y=kx﹣3k沿过点H的直线折叠得到对称直线m，直线m恰好经过点A，直线m与第四象限的抛物线交于另一点Q，

PD5若FD=8，求点Q的坐标．

323．如图1，抛物线y=﹣5 [（x﹣2）2+n]与x轴交于点A（m﹣2，0）和B（2m+3，0）（点A在点B的左侧），与

y轴交于点C，连结BC． （1）求m、n的值；

（2）如图2，点N为抛物线上的一动点，且位于直线BC上方，连接CN、BN．求△NBC面积的最大值； （3）如图3，点M、P分别为线段BC和线段OB上的动点，连接PM、PC，是否存在这样的点P，使△PCM为等腰三角形，△PMB为直角三角形同时成立若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

24．如图形似“w”的函数是由抛物线y1的一部分，其表达式为：y1=（x2﹣2x﹣3）（x≤3）以及抛物线y2的一部分所构成的，其中曲线y2与曲线y1关于直线x=3对称，A、B是曲线y1与x轴两交点（A在B的左边），C是曲线y1与y轴交点．

（1）求A，B，C三点的坐标和曲线y2的表达式；

（2）我们把其中一条对角线被另一条对角线垂直且平分的四边形称为筝形．过点C作x轴的平行线与曲线y1交于另一个点D，连接AD．试问：在曲线y2上是否存在一点M，使得四边形ACDM为筝形若存在，计算出点M的横坐

标，若不存在，说明理由．

参考答案

1．(1)、y=－

12x+x+4；(2)、不存在，理由见解析. 2，t=，t=2±

2．(1)、证明过程见解析；(2)、b=2+a或b=2－a；(3)、t=

3．（1）A（﹣2，0），B（4，0），D（1，﹣

73335327）；（2）4++；（3）N的坐标为

888（0，

51975）、（0，）、（0，﹣）或（0，﹣）． 3333423，y=x2x＋8x（0＜x≤3）

554．(1)、y=－

5150x42；(2)、16；(3)、x=. 5175．（1）B（4，0），C（﹣1，0）（2）①P（③m＜0，或m＞

1351，）或（7，24）②P（4，0）或（5，﹣6）4163 27721315，)；(3)、；(4)、M(，).

424246．(1)、P(2,4)；(2)、A(

7．（1）3，﹣1≤x≤1；

（2）a=2﹣1，四边形ENFM是矩形；

2=0的解为x=7﹣1，（3）当△AMN为等腰三角形时，方程﹣a（x+1）x2=﹣1﹣7或x1=2，1

x2=﹣4． 8．（1）d=﹣3； （2）①证明见解析，

15②y=﹣2x2+2；

（3）点C的坐标为（1﹣2，2﹣2）和（1，2）． 9．（1）y=22463（2）当m=时，Sxx；

5552PAC取最大值，最大值为

5；（3）能，点P4（﹣4，426）或（2，）． 555564)，(x3)25②F1(3,2910．（1）A（﹣3，0），B（0，﹣4）；（2）（3，2）（3，6）（3）①yF2(3,

255)，F3(3,) 42111．（1）＜，≤，＞．(2) y1关于x的函数解析式为y=﹣2x．(3) m＜0或0＜m≤2．

12．（1）直线BD的解析式为：y=﹣x+3，抛物线的解析式为：y=（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3； （2）满足条件的点N坐标为：（0，0），（﹣3，0）或（0，﹣3）； （3）存在，点P的坐标为（4，3）或（﹣1，8）．

13．（1）y=x2﹣3x，由函数与不等式的关系，得y＜0时，0＜x＜3； （2）①矩形的周长为6；

51355②当a=2时，L最大=2，A点坐标为（2，﹣4）

14．（1）

3215752t4t4(0t1.4)10082（2）st20t(1.4t2.5)

331001082t20t(2.5t)333

15．（1）a的值为1，b的值为﹣2，c的值为3；（2）①k=1或k=﹣5；②M（﹣1，6），N（﹣1，6）．

16．（1）圆心C的坐标为（1，）；

323（2）抛物线的解析式为y=3x2﹣3x；

（3）点D、E均在抛物线上； （4）﹣1＜x0＜0，或2＜x0＜3．

2164025321417．（1）y=﹣3x2+3x（2）t=13或7（3）①M1（4，3），N1（4，﹣3）；②M2（12，

﹣32），N2（4，﹣26）；③M3（﹣4，﹣32），N3（4，﹣38）．

18．(1)、1，2；(2)、y2=x（x﹣6）；y3=x（x﹣14）；(3)、yn=x2﹣（2n+1﹣2）x；当x＜0时，y2015＜y2016；当x＞0时，y2015＞y2016．

19．（1）点（0，0）、（0，3）为点C的好友；（2）在点C向下运动的过程中，直线受其影

326324响的时间为6≤t≤16；（3）当△DOE面积最大时，点E的坐标为（﹣4，），9928此时△DOE的面积是．

6544 x（2）PQ=43320．（1）y

21．（1）

2557389（2）s=﹣t2+9t（3）2或6（4）

638

11131922．（1）a=2；（2）S= 2t2+t；（3）Q（3，﹣9）．

23．(1)m=1，n=﹣9；(2)

75；(3)存在，P点坐标为（8，0）或（

3，0）． 424．（1）A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）．y2=3（x2﹣10x+21）（x≥3）；（2）存313732在，xM=．