2016年全国高考理科数学试题全国卷2
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、已知z=(m+3)+(m–1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是( ) A．(–3,1) B．(–1,3) C．(1,+∞) D．(–∞,–3) 2、已知集合A={1,2,3}，B={x|(x+1)(x–2)<0，x∈Z}，则A∪B=( ) A．{1} B．{1,2} C．{0,1,2,3} D．{–1,0,1,2,3} 3、已知向量a=(1,m)，b=(3,–2)，且(a+b)⊥b，则m=( ) A．–8 B．–6 C．6 D．8
4、圆x+y–2x–8y+13=0的圆心到直线ax+y–1=0的距离为1，则a=( ) 43
A．– B．– C．3 D．2
34
5、如下左1图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( ) A．24 B．18 C．12 D．9
2
2
6、上左2图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( ) A．20π B．24π C．28π D．32π
π
7、若将函数y=2sin2x的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )
12
kππkππkππkππ
A．x=–(k∈Z) B．x=+(k∈Z) C．x=–(k∈Z) D．x=+(k∈Z)
26262122128、中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，上左3图是实现该算法的程序框图。执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=( ) A．7 B．12 C．17 D．34 π3
9、若cos(–α)=，则sin2α= ( )
45
7117
A． B． C．– D．– 255525
word版本整理分享
范文 范例 指导 学习
10、从区间[0,1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1,y1)，(x2,y2)，…，(xn,yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( ) 4n2n4m2mA． B． C． D．
mmnn
xy1
11、已知F1、F2是双曲线E：2–2=1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=,则E的离心
ab3率为( )
3
A．2 B． C．3 D．2
212、已知函数f(x)(x∈R)满足f(–x)=2–f(x)，若函数y=
x+1
与y=f(x)图像的交点为(x1,y1)，x
2
2
(x2,y2)，...(xm,ym)，则
(xy)( )
iii1mA．0 B．m C．2m D．4m 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分
45
13、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b=___________．
51314、α、β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：
(1)如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β。 (2)如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n。 (3)如果α∥β，m⊂α，那么m∥β。
(4)如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等。 其中正确的命题有____________________(填写所有正确命题的编号)。
15、有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是____________．
16、若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln(x+1)的切线，则b=__________． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17、(本题满分12分)Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1=1，S7=28。记bn=[lgan]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1． (1)求b1，b11，b101；
(2)求数列{bn}的前1 000项和．
word版本整理分享
范文 范例 指导 学习
18、(本题满分12分)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：
上年度出险次数 保费 0 0.85a 1 a 2 1.25a 3 1.5a 4 1.75a ≥5 2a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：[] 一年内出险次数 概率 0 0.30 1 0.15 2 0.20 3 0.20 4 0.10 ≥5 0. 05 (1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率； (2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； (3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．
19、(本小题满分12分)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E、F分别在AD、CD上，5
AE=CF=，EF交BD于点H．将△DEF沿EF折到△D'EF位置，OD'=10．
4(1)证明：D'H⊥平面ABCD； (2)求二面角B–D'A–C的正弦值．
xy
20、(本小题满分12分)已知椭圆E：+=1的焦点在X轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于
t3A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．
(1)当t=4，|AM|=|AN|时，求△AMN的面积； (2)当2|AM|=|AN|时，求k的取值范围．
x–2xx
21、(本小题满分12分)(1)讨论函数f(x)=e的单调性，并证明当x>0时，(x–2)e+x+2>0；
x+2
e–ax–a
(2)证明：当a∈[0,1)时，函数g(x)=(x>0)有最小值。设g(x)的最小值为h(a)，求函数h(a)的值域． 2x
word版本整理分享
x2
2
范文 范例 指导 学习
请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号
22、(本小题满分10分)[选修4–1：几何证明选讲]如图，在正方形ABCD中，E、G分别在边DA，DC上(不与端点重合)，且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F． (1) 证明：B，C，G，F四点共圆；
(2)若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积．
23、(本小题满分10分)[选修4–4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x+6)+y=25． (1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
x=tcosα
(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|=10，求l的斜率．
y=tsinα
2
2
11
24、(本小题满分10分)[选修4–5：不等式选讲]已知函数f(x)=|x–|+|x+|，M为不等式f(x)<2的解集．
22(1)求M；
(2)证明：当a，b∈M时，|a+b|<|1+ab|．
word版本整理分享
范文 范例 指导 学习
参考答案
1、解析：∴m+3>0，m–1<0，∴–3 |a+4–1|2222 4、解析：圆x+y–2x–8y+13=0化为标准方程为：(x–1)+(y–4)=4，故圆心为(1,4)，d==1，解2a+14 得a=–，故选A． 3 5、解析一：E→F有6种走法，F→G有3种走法，由乘法原理知，共6×3=18种走法，故选B． 解析二：由题意，小明从街道的E处出发到F处最短有C2条路，再从F处到G处最短共有C1条路，则小明到43老年公寓可以选择的最短路径条数为C2·C1=18条，故选B。 43 6、解析：几何体是圆锥与圆柱的组合体， 设圆柱底面圆半径为r，周长为c，圆锥母线长为l，圆柱高为h． 1222 由图得r=2，c=2πr=4π，由勾股定理得：l=2+(23)=4，S表=πr+ch+cl=4π+16π+8π=28π，故选C． 2 πππ 7、解析：由题意，将函数y=2sin2x的图像向左平移个单位得y=2sin2(x+)=2sin(2x+)，则平移后函数 12126πππkπ 的对称轴为2x+=+kπ，k∈Z，即x=+，k∈Z，故选B。 6262 8、解析：第一次运算：s=0×2+2=2，第二次运算：s=2×2+2=6，第三次运算：s=6×2+5=17，故选C． π3π72π 9、解析：∵cos(–α)=，sin2α=cos(–2α)=2cos(–α)–1=，故选D． 452425π3 解法二：对cos(–α)=展开后直接平方 45解法三：换元法 10、解析：由题意得：(xi,yi)(i=1，2，3，...，n)在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图的阴影 word版本整理分享 范文 范例 指导 学习 中 由几何概型概率计算公式知 223F1F2F1F2sinM 11、解析： 离心率e=，由正弦定理得e====2．故选A． MF2–MF1MF2–MF1sinF1–sinF21 1–3x+11 12、解析：由f(–x)=2–f(x)得f(x)关于(0,1)对称，而y==1+也关于(0,1)对称， xx∴对于每一组对称点xi+x'i=0，yi+y'i=2， ∴ 4531263 13、解析：∵cosA=，cosC=，sinA=，sinC=，∴sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=， 51351365ba21 由正弦定理：=，解得b=． sinBsinA13 14、解析：对于①，m⊥n，m⊥α，n∥β，则α，β的位置关系无法确定，故错误；对于②，因为n//，所以过直线n作平面γ与平面β相交于直线c，则n∥c，因为m⊥α，∴m⊥c，∴m⊥n，故②正确；对于③，由两个平面平行的性质可知正确；对于④，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确，故正确的有②③④. 15、解析：由题意得：丙不拿(2,3)，若丙(1,2)，则乙(2,3)，甲(1,3)满足；若丙(1,3)，则乙(2,3)，甲(1,2)不满足；故甲(1,3)， 1 16、解析：y=lnx+2的切线为：y=·x+lnx1+1(设切点横坐标为x1) x11x2 y=ln(x+1)的切线为：y=·x+ln(x2+1)–，∴x2+1x2+111 解得x1=，x2=–。∴b=lnx1+1=1–ln2． 22 word版本整理分享 π/4m4m =，∴π=，故选C． 1nn xiyixiyi02i1i1i1mmmmm，故选B． 2 xlnx+1=ln(x+1)–x+1212211=x1x2+1 范文 范例 指导 学习 a4–a1 17、解析：(1)设{an}的公差为d，S7=7a4=28，∴a4=4，∴d==1，∴an=a1+(n–1)d=n． 3∴b1=[lga1]=[lg1]=0，b11=[lga11]=[lg11]=1，b101=[lga101]=[lg101]=2． (2)记{bn}的前n项和为Tn，则T1000=b1+b2+...+b1000=[lga1]+[lga2]+...+[lga1000]． 当0≤lgan<1时，n=1，2，...，9；当1≤lgan<2时，n=10，11，...，99；当2≤lgan<3时，n=100，101，...，999； 当lgan=3时，n=1000．∴T1000=0×9+1×90+2×900+3×1=1893． 18、(1)设续保人本年度的保费高于基本保费为事件A，P(A)=1–P(A)=1–(0.30+0.15)=0.55． P(AB)0.10+0.053 (2)设续保人保费比基本保费高出60%为事件B，P(B|A)===． P(A)0.5511⑶解：设本年度所交保费为随机变量X． X P 0.85a 0.30 a 0.15 1.25a 0.20 1.5a 0.20 1.75a 0.10 2a 0.05 平均保费EX=0.85a×0.30+0.15a+1.25a×0.20+1.5a×0.20+1.75a×0.10+2a×0.05=1.23a， ∴平均保费与基本保费比值为1.23． 5AECF 19、解析：(1)证明：如下左1图，∵AE=CF=，∴=，∴EF∥AC． 4ADCD∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∴EF⊥BD，∴EF⊥DH，∴EF⊥D'H． AE222 ∵AC=6，∴AD=3；又AB=5，AO⊥OB，∴OB=4，∴OH=·OD=1，∴DH=D'H=3，∴|OD'|=|OH|+|D'H|，∴D'H⊥OH． AO又∵OH∩EF=H，∴D'H⊥面ABCD． 5515 (2)方法一、几何法：若AB=5，AC=6，则AO=3，B0=OD=4，∵AE=，AD=AB=5，∴DE=5–=， 444DEEHDH15/4399 ∵EF∥AC，∴====，∴EH=，EF=2EH=，DH=3，OH=4–3=1， ADACOD5442 ∵HD’=DH=3，OD’=22，∴满足HD’=OD’+OH，则△OHD’为直角三角形，且OD’⊥OH， 即OD’⊥底面ABCD，即OD’是五棱锥D’–ABCFE的高． 9 (+6)×121(EF+AC)·OH12169 底面五边形的面积S=×AC·OB+=×6×4+=12+=， 2222441169232 则五棱锥D’–ABCFE体积V=S·OD’=××22=． 3342 方法二、向量法。建立如下左2图坐标系H–xyz．B(5,0,0)，C(1,3,0)，D'(0,0,3)，A(1,–3,0)， ∴向量AB=(4,3,0)，AD'=(–1,3,3)，AC=(0,6,0)， 2 2 2 n1·AB=04x+3y=0 设面ABD'法向量n1=(x,y,z)，由得，取y=–4，∴n1=(3,–4,5)． n1·AD'=0–x+3y+3z=0 z=5 同理可得面AD'C的法向量n2=(3,0,1)， word版本整理分享 x=3 范文 范例 指导 学习 ∴|cosθ|=|n1·n2||9+5|75295==，∴sinθ=。 |n1||n2|52·102525 xy 20、解析：(1)当t=4时，椭圆E的方程为+=1，A点坐标为(–2,0)，则直线AM的方程为y=k(x+2)． 43联立椭圆E和直线AM方程并整理得，(3+4k)x+16kx+16k–12=0。 8k–68k–61222解得x=–2或x=–2，则|AM|=1+k|–2+2|=1+k·2。 3+4k3+4k3+4k∵AM⊥AN，∴|AN|=12 1+(–)· k 1212 3+4·(1–) k =1+k· 22 22 2 2 2 2 2 。 43|k|+ |k| 12 ∵|AM|=|AN|，k>0，∴1+k· 2121222 1+k·，整理得(k–1)(4k–k–4)=0， 2=3+4k4 3k+k 4k–k+4=0无实根，∴k=1． 112214421 所以△AMN的面积为|AM|=(1+1·)=． 223+449(2)直线AM的方程为y=k(x+t)， ttk–3t 联立椭圆E和直线AM方程并整理得，(3+tk)x+2ttkx+tk–3t=0。解得x=–t或x=–， 23+tk 2 2 2 22 2 2 ttk–3ttt2626 ∴|AM|=1+k|–+t|=1+k·1+k· 22，∴|AN|=3+tk3+tkt 3k+k 22 6tt6k–3k26 ∵2|AM|=|AN|，∴2·1+k·1+k·，整理得，t=3． 2=3+tktk–2 3k+k 22 6k–3k(k+1)(k–2)3 ∵椭圆E的焦点在x轴，∴t>3，即3>3，整理得<0，解得2 21、解析：(1)证明：f(x)=e，∴f'(x)=e(+2)=2。 x+2x+2(x+2)(x+2) ∵当x∈(–∞,–2)∪(–2,+∞)时，f'(x)>0，∴f(x)在(–∞,–2)和(–2,+∞)上单调递增。 x–2xx ∴x>0时，e>f(0)=–1，∴(x–2)e+x+2>0。 x+2 word版本整理分享 2x 22 范文 范例 指导 学习 x–2x(x+2)(·e+a)x2xxxx+2(e–a)x–2x(e–ax–a)x(xe–2e+ax+2a)(2)g'(x)===，a∈[0,1)。 443xxxx–2xt–2t 由(1)知，当x>0时，f(x)=e的值域为(–1,+∞)，只有一解．使得·e=–a，t∈(0,2]。 x+2t+2当x∈(0,t)时g'(x)<0，g(x)单调减；当x∈(t,+∞)时g'(x)>0，g(x)单调增 t–2tt e+(t+1)·et t+2e–a(t+1)e h(a)===。 22ttt+2 t ee(t+1)1e 记k(t)=，在t∈(0,2]时，k'(t)=2>0，∴k(t)单调递增，∴h(a)=k(t)∈(,]． t+2(t+2)24 DFCF 22、解析：(1)证明：∵DF⊥CE，∴Rt△DEF∽Rt△CED，∴∠GDF=∠DEF=∠BCF，=。 DGBCDFCF ∵DE=DG，CD=BC，∴=。∴△GDF∽△BCF，∴∠CFB=∠DFG。 DGBC ∴∠GFB=∠GFC+∠CFB=∠GFC+∠DFG=∠DFC=90°，∴∠GFB+∠GCB=180°．∴B，C，G，F四点共圆． (2)∵E为AD中点，AB=1， 1111 ∴DG=CG=DE=，∴在Rt△GFC中，GF=GC，连接GB，Rt△BCG≌Rt△BFG，∴S四边形BCGF=2S△BCG=2××1×=． 2222 23、解：(1)整理圆的方程得x+y+12x+11=0， 由ρ=x+y、ρcosθ=x、ρsinθ=y可知圆C的极坐标方程为ρ+12ρcosθ+11=0． (2)记直线的斜率为k，则直线的方程为kx–y=0， |–6k| 由垂径定理及点到直线距离公式知：2=1+k 11111111 24、解析：(1)当x<–时，f(x)=–x–x–=–2x，若–1 立；当x>时，f(x)=2x，若f(x)<2， (2)当a，b∈(–1,1)时，有(a–1)(b–1)>0，即ab+1>a+b，则ab+2ab+1>a+2ab+b，则(ab+1)>(a+b)，即|a+b|<|ab+1|， 证毕． 2 2 22 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 tt2 10236k901525 25–()，即2=，整理得k=，则k=±． 21+k433 2 word版本整理分享 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容