2017年全国二卷理科数学高考真题与答案解析

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2016 年全国高考理科数学试题全国卷

一、选择题：本题共 12 小题，每小题

2

.

5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

m 的取值范围是 ()

1、已知 z=(m+3)+(m–1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数

A．(–3,1)

B． (–1,3)

C．(1,+∞)

D． (–∞ 3),–

)

2、已知集合 A={1,2,3}， B={x|(x+1)(x –2)<0，x∈ Z}，则 A∪ B=(

A．{1}

B．{1,2}

C． {0,1,2,3}

)

D． 8

D．{–1,0,1,2,3}

3、已知向量 a=(1,m) ， b=(3,–2)，且 (a+b)⊥ b，则 m=(

A．–8

B．–6

C． 6

4、圆 x2+y2–2x–8y+13=0 的圆心到直线

A．–

ax+y–1=0 的距离为 1，则 a=()

C． 3

4 3

B． –

3 4

D． 2

5、如下左 1 图，小明从街道的 E 处出发，先到 动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为

F 处与小红会合，再一起到位于

()

G 处的老年公寓参加志愿者活

A．24 B． 18 C． 12 D． 9

6、上左 2 图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为

A．20π

(

)

B． 24π

C． 28π π

D．32π

7、若将函数 y=2sin2x 的图像向左平移 12个单位长度，则平移后图象的对称轴为

kπ π kπ π kπ π

A．x= – (k∈ Z) B． x= + (k∈ Z) C． x= – (k∈ Z)D． x=

2 6 2 12 2 6 8、中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，上左

( )

kπ π

+ (k∈ Z) 2 12

3 图是实现该算法的程序框图。执行该程序框图，若输入的

x=2， n=2，依次输入的 a 为 2， 2，5，则输出的 s=(

A．7

)

B． 12

C． 17

1 C． –

D． 34

π

3

，则 sin2 α= (

)

9、若 cos(4 –α5)=

7

A．

25

B．

5

1

D．–

7 25

5

10、从区间 [0,1] 随机抽取 2n 个数 x1， x2，⋯， xn，y1，y2，⋯， yn，构成 n 个数对 (x1,y1)，(x2,y2)， ⋯，(xn,yn)，其

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中两数的平方和小于

4n A． m

1 的数对共有 m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 (

)

2n

4m C． n

2m D． n

B． m

11、已知

、F 是双曲线 E：

x

2

2

y 2 a b

2

M 在 E上，MF1 与 x 轴垂直， sin∠MF

1 3

率为 (

)

3

B．2

A． 2 12、已知函数

C． 3

D． 2

x+1

f(x)(x∈ R)满足 f(–x)=2–f(x) ，若函数 y= x 与 y=f(x)图像的交点为 (x1,y1)， (x2,y2)， ...(xm,ym) ，则

m

( xi

i 1

yi )

(

)

A．0

B． m C． 2m

D． 4m

二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分

13、 △ABC的内角 A， B， C 的对边分别为

a， b， c，若 cosA= ， cosC=

4 5

5

， a=1，则 b=___________． 13

14、 α、 β是两个平面， m， n 是两条直线，有下列四个命题： (1)如果 m⊥n， m⊥ α，n∥ β，那么 α⊥ β。 (3)如果 α∥ β， m? α，那么 m∥ β。

(2) 如果 m⊥α， n∥ α，那么 m⊥ n。

(4)如果 m∥n， α∥ β，那么 m 与 α所成的角和 n 与 β所成的角相等。 其中正确的命题有 ____________________( 填写所有正确命题的编号 15、有三张卡片，分别写有

)。

1 和 2，1 和 3， 2 和 3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：

2”，乙看了丙的卡片后说： “我与丙的卡片上相同的数字不是

“我与乙的卡片上相同的数字不是 的卡片上的数字之和不是

1”，丙说： “我

5”，则甲的卡片上的数字是 ____________．

16、若直线 y=kx+b 是曲线 y=lnx+2 的切线，也是曲线 y=ln(x+1)的切线，则 b=__________．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17、 (本题满分 12 分)Sn 为等差数列 {an}的前 n 项和，且 a1=1， S7=28。记 bn=[lgan ]，其中 [x] 表示不超过 x 的最大 整数，如 [0.9]=0 ， [lg99]=1 ． (1)求 b 1， b11， b101；

(2)求数列 {bn}的前 1 000 项和．

18、 (本题满分 12 分 )某险种的基本保费为

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a(单位：元 )，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年

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度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：

上年度出险次数 保费

0 0.85a

1 a

2 1.25a

[]

2 0.20

3 1.5a

4 1.75a

≥5 2a

设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：

一年内出险次数 概率

0 0.30

1 0.15

3 0.20

4 0.10

≥5 0. 05

(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；

(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出

60%的概率；

(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．

19、 (本小题满分 12 分 )如图，菱形 ABCD的对角线 AC 与 BD 交于点 O， AB=5， AC=6，点 E、F 分别在 AD、 CD

上， AE=CF= ， EF交 BD 于点 H．将 △ DEF沿 EF折到 △ D'EF 位置， OD'=

5 4

10．

(1)证明： D'H⊥平面 ABCD；

(2)求二面角 B–D'A–C 的正弦值．

x2 y2

20、(本小题满分 12 分)已知椭圆 E： t + 3 =1 的焦点在 X 轴上， A 是 E 的左顶点， 斜率为 k(k>0)的直线交 E 于 A，

M 两点，点 N 在 E 上， MA ⊥NA．

(1)当 t=4 ， |AM|=|AN| 时，求 △ AMN 的面积；

(2)当 2|AM|=|AN| 时，求 k 的取值范围．

x–2 x

21、 (本小题满分 12 分 )(1)讨论函数 f(x)= x+2 e 的单调性，并证明当

x

x>0 时， (x–2)e +x+2>0；

(2)证明：当 a∈ [0,1)时，函数 g(x)=

ex–ax–a

2

(x>0)有最小值。设

g(x)的最小值为 h(a)，求函数 h(a)的值域．

x

请考生在 22、23、 24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号

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22、 (本小题满分 10 分 )[选修 4–1：几何证明选讲 ]如图，在正方形 ABCD中， E、G 分别在边 DA，DC 上 (不与端 点重合 )，且 DE=DG，过 D 点作 DF⊥ CE，垂足为 F．

(1) 证明： B， C， G， F 四点共圆；

(2)若 AB=1， E 为 DA 的中点，求四边形 BCGF的面积．

23、 (本小题满分 10 分 )[选修 4–4：坐标系与参数方程 ]在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 (x+6)2+y2=25．

(1)以坐标原点为极点， (2)直线 l 的参数方程是

x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 x=tcos α y=tsin α

C 的极坐标方程；

(t 为参数 )， l 与 C 交于 A， B 两点， |AB|= 10，求 l 的斜率．

24、 (本小题满分

10 分 )[选修 4–5：不等式选讲 ] 已知函数 f(x)=|x – |+|x+

1 2

1 2

| ， M 为不等式 f(x)<2 的解集．

(1)求 M ；

(2)证明：当 a， b∈ M 时， |a+b|<|1+ab| ．

参考答案

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1、解析：∴ m+3>0， m–1<0，∴ –32、解析： B={x|(x+1)(x –2)<0，x∈ Z}={x| –13、解析： 向量 a+b=(4,m–2)，∵ (a+b)⊥ b，∴ (a+b) ·b=10–2(m–2)=0 ，解得 m=8，故选 D．

4、解析：圆 x+y–2x–8y+13=0 化为标准方程为：

22(x–1)+(y–4)=4，故圆心为 (1,4)， d=

22

|a+4 –1|

a2+1

4

=1，解得 a=– ，

3

故选 A．

5、解析一： E→F有 6 种走法， F→G有 3 种走法，由乘法原理知，共 解析二：由题意，小明从街道的

4

6× 3=18种走法，故选

B．

C1 条路，则小明到

3

E 处出发到 F 处最短有 C2条路，再从 F 处到 G 处最短共有

C2·C1=18 条，故选 B。

4 3

老年公寓可以选择的最短路径条数为

6、解析：几何体是圆锥与圆柱的组合体，

设圆柱底面圆半径为 r，周长为 c，圆锥母线长为 由图得 r=2， c=2πr=4 π，由勾股定理得： l= 2

2

l，圆柱高为 h ．

+(2

3) =4， S 表 =πr

2

2

+ch+ cl=4π +16 π +8π =28，故π选 C．

1 2

π π π

7、解析：由题意，将函数 y=2sin2x 的图像向左平移 12 个单位得 y=2sin2(x+12)=2sin(2x+ 6)，则平移后函数的对

π π π kπ

称轴为 2x+ = +k π，k∈ Z，即 x= + ， k∈ Z，故选 B。

6 2 6 2

8、解析：第一次运算： s=0 × 2+2=2，第二次运算：

× 2+5=17，故选 C．

s=2 × 2+2=6，第三次运算：

s=6

π

3 ， sin2 5 3

α=cos(

π

2 π

7 ，故选 D．

解法二：对 cos(

4 π

2

4

25

展开后直接平方

解法三：换元法

4–α5)=

10、解析：由题意得： (xi,yi)(i=1， 2， 3， ...， n)在如图所示方格中，而平方和小于 1 的点均在如图的阴影中

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由几何概型概率计算公式知

π/4m 1 n

= ，∴ π= ，故选 C．

4m n

F F

离心率

11、解析：

e=

1 2

F F

MF2–MF1 ，由正弦定理得

e=1 2

MF2–MF1 sinF1 –sinF2

=

sinM

2 2 3

=

1–

1 = 2．故选 A．

3

也关于 (0,1)对称，

12、解析：由 f(–x)=2–f(x)得 f(x) 关于 (0,1)对称，而 y=

x+1

=1+ x x

1

∴对于每一组对称点

m

xi +x'i=0， yi+y'i=2，

m

m

∴xi

i 1

yi

i 1

xi

i

1

yi

0 2

m 2

m ，故选 B．

13、解析：∵ cosA=

4 5 ba

， cosC=

5

，sinA=

3 5

， sinC=

12 13

13

21

63

，∴ sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=，

65

由正弦定理： sinB=sinA，解得 b=13．

14、解析：对于 ① ， m⊥ n， m⊥ α， n∥ β，则 α， β的位置关系无法确定，故错误；对于 ② ，

因为 ，所

以过直线 n 作平面 γ与平面 β相交于直线 c，则 n∥ c，因为 m⊥ α，∴ m⊥ c，∴ m⊥ n，故 ② 正确；对于 ③ ，

n //

由两个平面平行的性质可知正确；

对于 ④ ，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确， 故正确的有 ②③④ .

15、解析：由题意得：丙不拿 故甲 (1,3)，

(2,3)，若丙 (1,2)，则乙 (2,3)，甲 (1,3)满足；若丙 (1,3)，则乙 (2,3)，甲 (1,2)不满足；

1

16、解析： y=lnx+2 的切线为： y=x1 ·x+lnx1+1(设切点横坐标为 x1)

1 1

=

1x2y=ln(x+1)的切线为： y= ·x+ln(x 2+1)– ，∴ x1 x2+1

x2+1

x2 +1

lnx1+1=ln(x2+1)–

x2

解得 x1 =

x2+1

1 2

， x2=– 。∴ b=lnx1 +1=1–ln2．

1 2

a4–a1

17、解析： (1)设 {an}的公差为 d， S7 =7a4=28，∴ a4=4，∴ d= 3 =1，∴ an=a1 +(n–1)d=n ． ∴ b1=[lga1]=[lg1]=0 ， b11=[lga11]=[lg11]=1 ， b101=[lga101]=[lg101]=2 ．

(2)记 {bn}的前 n 项和为 Tn ，则 T1000=b1 +b2+...+b1000=[lga1]+[lga 2]+ ...+[lga 1000]．

当 0≤lga

n<1 时， n=1，2， ， 9；当 1≤ lga<2n 时， n=10， 11， ... ， 99；当 2≤ lga<3n 时， n=100， 101，...， 999；

当 lgan=3 时， n=1000 ．∴ T1000=0× 9+1 × 90+2 × 900+3 × 1=1893．

18、 (1)设续保人本年度的保费高于基本保费为事件 A， P(A)=1–P( A )=1–(0.30+0.15)=0.55 ．

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P(AB) 0.10+0.05 3 ．

=(2)设续保人保费比基本保费高出

60%为事件 B， P(B|A)= P(A) = 0.55

11

⑶解：设本年度所交保费为随机变量 X．

X

0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a P

0.30

0.15

0.20

0.20

0.10

0.05

平均保费 EX=0.85a×0.30+0.15a+1.25a ×0.20+1.5a ×0.20+1.75a ×0.10+2a×0.05=1，.23a ∴平均保费与基本保费比值为

1.23．

19、解析： (1)证明：如下左1 图，∵ AE=CF= ，∴5 AE CF

4EF∥ AC．

AD CD=

，∴

∵四边形 ABCD为菱形，∴ AC⊥ BD，∴ EF⊥ BD，∴ EF⊥DH，∴ EF⊥ D'H．

∵ AC=6，∴ AD=3；又 AB=5，AO⊥ OB ，∴ OB=4 ，∴ OH=

AE ·OD=1 ，∴ DH=D'H=3 ，∴ |OD'| =|OH|2 2

+|D'H|

AO

又∵ OH∩EF=H，∴ D'H⊥面 ABCD．

(2)方法一、几何法：若 AB=5，AC=6 ，则 AO=3 ， B0=OD=4 ，∵ AE= 5

， AD=AB=5

，∴ DE=5–5 15

= ，

4

4 4 ∵ EF∥AC，∴DE EH DH 15/4 3= = =

9

， EF=2EH= 9

= ，∴ EH=

， DH=3， OH=4–3=1，

ADACOD 5

4

4

2

∵ HD’=DH=3， OD’=2 2，∴满足

2HD

’

2

2

，则 △ OHD’为直角三角形，且 OD’⊥ OH，

=OD’+OH

即 OD’⊥底面 ABCD，即 OD’是五棱锥 D’ABCFE–的高．

9

底面五边形的面积1 (EF+AC)OH· 1

(= ×6×4+2+6) =12+×1 21

S= × ACOB+·

=69

，

2

2 2

2

4 4

则五棱锥 D’ABCFE–体积 V=1

’1 69= × ×2

2=23 2

S·OD ．

3 3 4 2

方法二、向量法。建立如下左 2 图坐标系 H–xyz． B(5,0,0)， C(1,3,0)，D'(0,0,3) ， A(1,–3,0)，∴向量 AB=(4,3,0) ，AD'=(–1,3,3) ， AC=(0,6,0)，

n· AB=04x+3y=0

x=3

1

设面 ABD'法向量 n1=(x,y,z)，由 n1·AD'=0得 –x+3y+3z=0，取 y=–4，∴ n1=(3,–4,5)．

z=5

同理可得面 AD'C 的法向量 n2=(3,0,1)，

| n ·n |

|9+5|

7 5 2 95 ∴ |cos θ|=

1

2

，∴ sin θ= 。

| n==1|| n2 | 5 2· 10

25 25

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2

，∴ D'H⊥ OH．

x y

2

2

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20、解析： (1)当 t=4 时，椭圆 E 的方程为

8k2–6

4 + 3 =1， A 点坐标为 (–2,0)，则直线 AM 的方程为 y=k(x+2)．

联立椭圆 E 和直线 AM 方程并整理得， (3+4k2 )x2+16k2 x+16k2–12=0。

解得 x=–2 或 x=– 2，则 |AM|=

·

8k–6

1+k2| – 2+2|=

2 1+k2·

12

2。

3+4k

3+4k

=

1+k ·

3+4k 4

。

∵ AM⊥ AN，∴ |AN|=

1+(– )

1

2

12

2

12

k

1 2

3+4 ·(1– )

k

3|k|+

|k|

∵ |AM|=|AN| ， k>0，∴

2 12

1+k · 2=

3+4k

2 12 2

1+k · ，整理得 (k–1)(4k

4

–k–4)=0，

3k+

k

4k2–k+4=0 无实根，∴ k=1． 所以 △ AMN 的面积为

1

|AM|

1 2

= ( 1+1·

12

2

2

144 2 ) = ． 3+4 49

(2)直线 AM 的方程为 y=k(x+ t) ，

2t tk –3 t 2 2 2 2 2

联立椭圆 E 和直线 AM 方程并整理得， (3+tk )x +2t tk x+t k –3t=0 。解得 x=– t 或 x=– 3+tk 2 ，

∴ |AM|= 1+k

2

2 t tk –3 t | – 2 + t|=

3+tk

2 6 t

1+k · 2，∴ |AN|=

3+tk

2 6 t

1+k · t

2

3

3k+k

k

∵ 2|AM|=|AN|

，∴ 2· 1+k ·

6 t

2=

3+tk

2 6 t

1+k · ，整理得， t= t

6k2–3k

．

–2

6k2–3k

3

3k+k

(k2+1)(k–2)

3k –2 <0，解得

3

∵椭圆 E 的焦点在 x 轴，∴ t>3 ，即 k –2 >3，整理得

x–2

x x–2

+

221、解析： (1)证明： f(x)=

x

e ，∴ f'(x)=e (

4

2)=

x2ex

2。

x+2

x+2 (x+2) (x+2)

∵当 x∈ (–∞ ,2)–∪ (–2,+∞)时， f'(x)>0，∴ f(x)在 (–∞ ,2)–和 (–2,+∞)上单调递增。

x–2 x

x

x 3

∴ x>0 时， x+2e >f(0)=–1，∴ (x–2)e +x+2>0。

4

4

(2)g'(x)=

(ex–a)x2–2x(ex–ax–a) x(xex–2ex+ax+2a)

(x+2)(

=

=

x+2

x–2 ·ex

+a)

， a∈ [0,1)。

x

x

t

由 (1)知，当 x>0 时， f(x)=

x–2

x

e 的值域为 (–1,+ ∞)，只有一解．使得

t–2

·e=–a，t ∈(0,2] 。

x+2 t+2

当 x∈ (0,t) 时 g'(x)<0， g(x)单调减；当 x∈ (t,+ ∞)时 g'(x)>0， g(x)单调增

e –a(t+1)

2

tt–2 t

te +(t+1)t+2 ·e e

t

2

h(a)=

记 k(t)=

t e

t =

t

=

。

t

t+2

，在 t∈ (0,2]时， k'(t)=

e (t+1)

2 >0，∴ k(t)单调递增，∴ h(a)=k(t) ∈ (

1 e

2

t+2 (t+2)

, ]． 2 4

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22、解析： (1)证明：∵ DF⊥ CE，∴ Rt△ DEF∽ Rt△ CED，∴∠ GDF=∠ DEF=∠ BCF，

DF CF

=

DG BC

。

DF CF

∵ DE=DG， CD=BC，∴ DG=BC。∴△ GDF∽△ BCF，∴∠ CFB=∠ DFG。

∴∠ GFB=∠ GFC+∠ CFB=∠GFC+∠ DFG=∠ DFC=90°，∴∠ GFB+∠ GCB=180°．∴ B， C， G， F 四点共圆．

(2)∵ E 为 AD 中点， AB=1，

1

1 2

x2+y2+12x+11=0，

∴ DG=CG=DE=，∴在 Rt△ GFC中， GF=GC，连接 GB， Rt△ BCG≌ Rt△ BFG，∴ S 四边形 BCGF=2S△BCG=2×× 1×=

2

2

2

2

2

1 1

． 2 2

23、解： (1)整理圆的方程得

由 ρ=x +y 、 ρcosθ、=xρsin θ=y可知圆 C 的极坐标方程为 ρ+12 ρ cos θ +11=0．

(2)记直线的斜率为 k，则直线的方程为 kx–y=0， | –6k|

10 2

36k 90

2

由垂径定理及点到直线距离公式知：

1+k1 2

2 =25–(

2 ) ，即 1+k1

2=2 5

k = ，则 k=±

15 3

．

4 ，整理得

3

24、解析：(1)当 x<– 时，f(x)= –x–x– =–2x，若–11 2

1 2

1 2

1 2

时，f(x)= –x+x+ =1<2 恒成立；当 x>

1 2

1 2

1 2

时，f(x)=2x，

2

1

若 f(x)<2， 20 ，即

则 (ab+1)2>(a+b)2 ，即

a2b2+1>a2 +b2，则 a2b2+2ab+1>a2+2ab+b2，

|a+b|<|ab+1| ，

证毕．

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