【试卷】2021新高考1卷数学及答案

2021年普通高等学校招生全国统一考试

数 学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1．设集合A{x|2x4}，B{2,3,4,5}，则AA．{2}

B．{2,3}

B

D．{2,3,4}

C．{3,4}

2．已知z2i，则z(zi) A．62i

B．42i

C．62i

D．42i

3．已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为 A．2

B．22 C．4

D．42 π4．下列区间中，函数f(x)7sin(x)单调递增的区间是

6π

A．(0,)

2πB．(,π)

2C．(π,3π) 2D．(3π,2π) 2x2y25．已知F1，F2是椭圆C：1的两个焦点，点M在C上，则|MF1||MF2|的最

94大值为 A．13

6．若tanθ2，则

B．12

C．9

D．6

sinθ(1sin2θ)

sinθcosθ2B．

5C．

6A．

52 5D．

6 5数学试题 第1页（共17页）

7．若过点(a,b)可以作曲线yex的两条切线，则 A．eba

B．eab

C．0aeb

D．0bea

8．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则 A．甲与丙相互独立 C．乙与丙相互独立

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9．有一组样本数据x1,x2,yixic(i1,2,,xn，由这组数据得到新样本数据y1,y2,,yn，其中

B．甲与丁相互独立 D．丙与丁相互独立

,n)，c为非零常数，则

A．两组样本数据的样本平均数相同 C．两组样本数据的样本标准差相同

B．两组样本数据的样本中位数相同 D．两组样本数据的样本极差相同

10．已知O为坐标原点，点P1(cosα,sinα)，P2(cosβ,sinβ)，P3(cos(αβ),sin(αβ))，

A(1,0)，则

A．|OP1||OP2|

B．|AP1||AP2| D．OAOP1OP2OP3

C．OAOP3OP1OP2

11．已知点P在圆(x5)2(y5)216上，点A(4,0)，B(0,2)，则

A．点P到直线AB的距离小于10 C．当PBA最小时，|PB|32 B．点P到直线AB的距离大于2 D．当PBA最大时，|PB|32 12．在正三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA11，点P满足BPλBCμBB1，其中

λ[0,1]，μ[0,1]，则

A．当λ1时，△AB1P的周长为定值 B．当μ1时，三棱锥PA1BC的体积为定值 C．当λD．当μ1时，有且仅有一个点P，使得A1PBP 21时，有且仅有一个点P，使得A1B平面AB1P 2数学试题 第2页（共17页）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知函数f(x)x3(a2x2x)是偶函数，则a__________．

y22px(p0)的焦点为F，P为C上一点，PF与14．已知O为坐标原点，抛物线C：x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQOP．若|FQ|6，则C的准线方程为

__________．

15．函数f(x)|2x1|2lnx的最小值为__________．

16．某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规

格为20dm12dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dm12dm，20dm6dm两种规格的图形，它们的面积之和S1240dm2，对折2次共可以得到5dm12dm，10dm6dm，20dm3dm三种规格的图形，它们的面积之和S2180dm2，以此

类推．则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为__________；如果对折n次，那么Sk__________dm2．

k1n

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（10分）

18．（12分）

某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分。

数学试题 第3页（共17页）

已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列； （2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由． 且能正确回答问题的概率与回答次序无关．

an1,n为奇数,已知数列{an}满足a11，an1

a2,n为偶数.n（1）记bna2n，写出b1，b2，并求数列{bn}的通项公式； （2）求{an}的前20项和．

19．（12分）

20．（12分）

如图，在三棱锥ABCD中，平面ABD平面（1）证明：OACD；

（2）若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在

BOCDAE记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b2ac，点D在边AC（1）证明：BDb；

（2）若AD2DC，求cosABC．

上，BDsinABCasinC．

BCD，ABAD，O为BC的中点．

棱AD上，DE2EA，且二面角EBCD的大小为

45，求三棱锥ABCD的体积．

21．（12分）

在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(17,0)，F2(17,0)，点M满足

|MF1||MF2|2．记M的轨迹为C．

（1）求C的方程； （2）设点T在直线x1上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，2且|TA||TB||TP||TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和．

22．（12分）

数学试题 第4页（共17页）

已知函数f(x)x(1lnx)． （1）讨论f(x)的单调性；

（2）设a，b为两个不相等的正数，且blnaalnbab，证明：211 e．

ab绝密★启用前 试卷类型：B

2021年普通高等学校招生全国统一考试

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本试卷共4页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题

卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1．设集合Ax|2x4，B2,3,4,5，则AA．2 【答案】B

2．已知z2i，则zzi（ ）

A．62i 【答案】C

3．已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）

A．2

B．22

C．4

D．42

B．42i

C．62i

D．42i

B．2,3

C．3,4

B（ ）

D．2,3,4

数学试题 第5页（共17页）

【答案】B

4．下列区间中，函数fx7sinx单调递增的区间是（ ）

633A．0， B．, C．, D．,2

2222【答案】A

x2y25．已知F1，F2是椭圆C：1的两个焦点，点M在C上，则MF1MF2的最

94大值为（ ） A．13

B．12 sin1sin2sincos2B．

5 C．9 D．6

【答案】C 6．若tan2，则

6A．

5（ ）

C．

2 5 D．

6 5【答案】C

7．若过点a,b可以作曲线yex的两条切线，则（ ）

A．eba 【答案】D

8．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ） A．甲与丙相互独立 C．乙与丙相互独立 【答案】B

二、选择题：本题共4小题。每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

B．甲与丁相互独立

D．丙与丁相互独立

B．eab

C．0aeb D．0bea

9．有一组样本数据x1，x2，…，xn，由这组数据得到的新样本数据y1，y2，…，yn，其中yixici1,2,,n，c为非零常数，则（ ）

数学试题 第6页（共17页）

A．两组样本数据的样本平均数相同 B．两组样本数据的样本中位数相同 C．两组样本数据的样本标准差相同 D．两组样本数据的样本极差相同 【答案】CD

10．已知O为坐标原点，点P1cos,sin，P2cos,sin，

P3cos,sin，A1,0，则（ ）

A．OP 1OP2

B．AP1AP2 D．OAOP1OP2OP3

C．OAOP3OP1OP2 【答案】AC

11．已知点P在圆x5y516上，点A4,0，B0,2，则（ ）

22A．点P到直线AB的距离小于10 B．点P到直线AB的距离大于2 C．当PBA最小时，PB32 D．当PBA最大时，PB32 【答案】ACD

12．在正三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA11，点P满足BPBCBB1，其中

0,1，0,1，则（ ）

A．当=1时，AB1P的周长为定值

B．当1时，三棱锥PA1BC的体积为定值 C．当D．当

1

时，有且仅有一个点P，使得A1PBP 2

1

时，有且仅有一个点P，使得A1B平面AB1P 2

【答案】BD

数学试题 第7页（共17页）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知函数fxx3a2x2x是偶函数，则a ．

【答案】1

14．已知O为坐标原点，抛物线C：y22pxp0的焦点为F,P为C上一点，PF与

x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQOP．若FQ6，则C的准线方程

为 ． 3【答案】x

215．函数fx2x12lnx的最小值为 ．

【答案】1

16．某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规

格为20 dm12 dm的长方形纸，对折1次共可以得到10 dm12 dm，20 dm6 dm两种规格的图形，它们的面积之和S1240 dm2，对折2次共可以得到5 dm12 dm，10 dm6 dm，20 dm3 dm三种规格的图形，它们的面积之和S2180 dm2，以此

类推．则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为 ；如果对折n次，那么Sk dm2．

k1n【答案】5，720240

n3 2n四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（10分）

a1n为奇数已知数列an满足a11，an1n．

a2n为偶数n（1）记bna2n，写出b1，b2，并求数列bn的通项公式； （2）求an的前20项和．

数学试题 第8页（共17页）

【答案】（1）2n为偶数， 则a2n1a2n2，a2n2a2n11，

a2n2a2n3，即bn1bn3，且b1a2a112，

bn是以2为首项，3为公差的等差数列， b12，b25，bn3n1．

（2）当n为奇数时，anan11，

an的前20项和为 a1a2a20

a1a3a19a2a4a20

a20

a21a41a201a2a42a2a4a2010．

由（1）可知， a2a4a20b1b2b10

210 155．

1093 2

an的前20项和为215510300．

18．（12分）

某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．

数学试题 第9页（共17页）

已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．

（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列； （2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由． 【答案】（1）X的取值可能为0，20，100，

PX010.80.2，

PX200.810.60.32， PX1000.80.60.48，

X的分布列为

X P 0 20 100 0.2 0.32 0.48 （2）假设先答B类题，得分为Y，

则Y可能为0，80，100，

PY010.60.4，

PY800.610.80.12， PY1000.60.80.48，

Y的分布列为

Y P 0 80 100 0.4 0.12 0.48 EY00.4800.121000.4857.6，

由（1）可知EX00.2200.321000.4854.4，

EYEX，

应先答B类题．

19．（12分）

记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b2ac，点D在边AC上，

数学试题 第10页（共17页）

BDsinABCasinC．

（1）证明：BDb；

（2）若AD2DC，求cosABC． 【答案】

（1）在ABC中，

ACAB　①，

sinABCsinCBDsinABCasinC，

BDa　②， sinCsinABCABAC，即acbBD， BDa联立①②得b2ac， BDb．

（2）若AD2DC，

a2b2c2　③， ABC中，cosC2abbab23　④， BCD中，cosCb2a322③=④，

2b2abc3ab2，

3222b2整理得abc3a3b2，

3112a2b2c20，

32222b2ac，

c36a211ac3c20，即a或ac，

32数学试题 第11页（共17页）

c2c2若a时，bac，

33a2c2b2则cosABC

2acc2c22c93 22c3

72c9  22c3 7（舍）， 6

33若ac，b2acc2，

22a2c2b2则cosABC

2ac

923cc2c22 423c

72c4 2 3c 

20．（12分）

7. 12如图，在三棱锥ABCD中，平面ABD平面BCD，ABAD，O是BD的中点． （1）证明：OACD；

（2）若OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE2EA，且二面角EBCD的大小为45，求三棱锥ABCD的体积．

数学试题 第12页（共17页）

【答案】

（1）

ABAD，O为BD中点，

AOBD， AO面ABD，

面ABD面BCD且面ABD面BCDBD， AO面BCD， AOCD．

（2）以O为坐标原点，OD为y轴，OA为z轴，垂直OD且过O的直线为x轴， 3112,,0D0,1,0B0,1,0A0,0,m设C，，，，E0,,m, 22333342,,0， EB=0，,m，BC2233设n1x1,y1,z1为面EBC法向量， 42EBnymz101133， 33BCnx1y101222y1mz10，

x3y011令y11，z12，x13， m2n131，，，

m数学试题 第13页（共17页）

面BCD法向量为OA0,0,m，

cosn1,OA2m44m22，解得m1， 2OA1，

SABD11BDOA211， 22ABD1VABCDS3xc3． 6

21．（12分）

在平面直角坐标系xOy中，已知点F117,0，F217,0，点M满足

MF1MF22．记M的轨迹为C． （1）求C的方程； （2）设点T在直线x1上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点， 2且TATBTPTQ，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和． 【答案】（1）

MF1MF22，

轨迹C为双曲线右半支，c217，2a2，

a21，b216，

y2x1x0．

161（2）设T,n，

221设AB：ynk1x，

21ynkx12联立， 2yx2116116k12x2k122k1nxk12n2k1n160，

4数学试题 第14页（共17页）

k122k1nx1x22，

k11612k1n2k1n16x1x24，

k12161TA1k12x1，

21TB1k12x2，

211TATB1k12x1x2

22n 2121k12k1216，

1设PQ：ynk2x，

2n同理TPTQ2121k22k2216，

TATBTPTQ，

1k121k22171722，12， 12k116k216k116k216k1216k2216，即k12k22， k1k2， k1k20.

22．（12分）

已知函数fxx1lnx． （1）讨论fx的单调性；

（2）设a，b为两个不相等的正数，且blnaalnbab，证明：2数学试题 第15页（共17页）

11 e．

ab【答案】（1）fxx1lnx,x0, f'x1lnx1lnx

x0,1,f'x0,fx↗ x1,,f'x0,fx↘

fx在0,1单调递增，fx在1,单调递减 111111（2）由blnaalnbab，得lnln

aabbba1111即1ln1ln aabb令x111，x2 ab则x1,x2为fxk的两根，其中k0,1． 不妨令x10,1，x21,e，则2x11 先证2x1x2，即证x22x1 即证fx2fx1f2x1 令hxfxf2x 则h'xf'xf'2x

lnxln2xlnx2xx0,1x2x0,1

h'x0恒成立，hx↗

hxh10fx1f2x1

数学试题 第16页（共17页）

2x1x2得证

同理，要证x1x2e 即证fx2fx1fex1 令xfxfex,x0,1

'则'xlnxex，令x00

x0,x0,'x0,x↗ xx0,1,'x0,x↘

又x0，fx0，且fe0 故x0，00，

1=f1fe10

x0恒成立 x1x2e得证

211e ab

数学试题 第17页（共17页）