人教版八年级下册数学《期中考试试题》含答案

期 中 测 试 卷

学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________

一．选择题（共10小题）

1. 函数yA. x≠3

x3中,自变量x的取值范围是（ ）

B. x≥3

C. x＞3

D. x≤3

2. 以下列各组数为边长,能构成直角三角形的是（ ） A. 1,3,2

B. 1,1,2

C. 2,3,4

D. 4,5,6

3. 下列各式中与3是同类二次根式的是 A.

6

B.

9 C. 12 D. 18 4. 如图,将▱ABCD的一边BC延长至点E,若∠1=55°,则∠A=（ ）

A. 35°

B. 55°

C. 125°

D. 145°

5. 在下列条件中,能判定四边形为平行四边形的是（ ） A. 两组对边分别平行 C. 两组邻边相等

B. 一组对边平行且另一组对边相等 D. 对角线互相垂直

6. 下列选项中,平行四边形不一定具有的性质是( ) A. 两组对边分别平行 C. 对角线互相平分

B. 两组对边分别相等 D. 对角线相等

7. 数学课上,老师要同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某合作小组4位同学拟定的方案,其中正确的是（ ）

A. 测量对角线是否互相平分 C. 测量一组对角是否都为直角

B. 测量两组对边是否分别相等 D. 测量三个角是否为直角

8. 若最简二次根式x3与最简二次根式2x是同类二次根式,则x的值为（ ） A. x＝0

B. x＝1

C. x＝2

D. x＝3

9. 如图,在平面直角坐标系xOy中,点A（0,2）,B（4,0）,点N为线段AB的中点,则点N的坐标为（ ）

A. （1,2） B. （4,2） C. （2,4） D. （2,1）

10. 如图,Rt△ABC中,AB＝18,BC＝12,∠B＝90°,将△ABC折叠,使点A与BC的中点D重合,折痕为MN,则线段BN的长为（ ）

A. 8 B. 6 C. 4 D. 10

二．填空题（共8小题）

11. 如图,在▱ABCD中,BC＝9,AB＝5,BE平分∠ABC交AD于点E,则DE的长为_____．

12. 如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,若∠BOC＝120°,AB＝3,则BC的长为_____．

13. 估计5151与0.5的大小关系是：（填“＞”、“=”、“＜”） ______0.5．2214. 如图,在矩形ABCD中,E,F分别是AD,BC边上的点,AE＝CF,∠EFB＝45°,若AB＝5,BC＝13,则AE的长为_____．

15. 如果一个无理数a与12的积是一个有理数,写出a的一个值是_____． 16. 如图,点E为矩形ABCD边BC长上的一点,作DF⊥AE于点F,且满足DF＝AB．下面结论：

①△DEF≌△DEC；②S△ABE＝S△ADF；③AF＝AB；④BE＝AF．其中正确的结论是_____．

17. 我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形,得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理,如图所示的就用了这种分割方法,若AE＝6,正方形ODCE的边长为2,则BD等于_____．

的18. 已知：线段AB,BC． 求作：平行四边形ABCD． 以下是甲、乙两同学作业． 甲：

①以点C为圆心,AB长为半径作弧； ②以点A为圆心,BC长为半径作弧； ③两弧在BC上方交于点D,连接AD,CD． 四边形ABCD即为所求平行四边形．（如图1） 乙：

①连接AC,作线段AC的垂直平分线,交AC于点M；

②连接BM并延长,在延长线上取一点D,使MD=MB,连接AD,CD． 四边形ABCD即为所求平行四边形．（如图2）

老师说甲、乙同学的作图都正确,你更喜欢______的作法,他的作图依据是：______．

三．解答题（共10小题）

19. 计算：18147 20. 在平面直角坐标系xOy中,已知A（﹣3,2）,B（﹣1,﹣2）,C（1,1）,若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形,求点D的坐标．（在平面直角坐标系中画出平行四边形并标上点D的坐标．）

． 21. 如图,E、F是▱ABCD的对角线AC上的两点,AE＝CF．求证：EB＝DF（写出主要的证明依据）

22. 已知,如图,等腰△ABC的底边BC＝10cm,D是腰AB上一点,且CD＝8cm,BD＝6cm,求AB的长．

23. 下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程 已知：直线l及直线l外一点P．

求作：直线PQ,使得PQ∥l． 作法：如图,

①在直线l上取一点A,作射线AP,以点P为圆心,PA长为半径画弧,交AP延长线于点B；

②以点B为圆心,BA长为半径画弧,交l于点C（不与点A重合）,连接BC； ③以点B为圆心,BP长为半径画孤,交BC于点Q； ④作直线PQ．

所以直线PQ就是所求作的直线． 根据小东设计的尺规作图过程,

（1）使用直尺和圆规,补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明

证明：∵PB＝PA,BC＝ ,BQ＝PB, ∴PB＝PA＝BQ＝ ．

∴PQ∥l（ ）（填推理的依据）．

的

24. 下面是小丁设计的“利用直角三角形和它的斜边中点作矩形”的尺规作图过程. 已知:如图,在RtΔABC中,∠ABC=90°,0为AC中点.

求作:四边形ABCD,使得四边形ABCD为矩形.

作法:①作射线BO,在线段BO的延长线上取点D,使得DO=BO； ②连接AD,CD,则四边形ABCD为矩形. 根据小丁设计的尺规作图过程.

(1)使用直尺和圆规,在图中补全图形(保留作图痕迹)； (2)完成下面的证明. 证明:∴点O为AC中点, ∴AO=CO. 又∵DO=BO,

∵四边形ABCD为平行四边形(__________)(填推理的依据). ∵∠ABC=90°, ∴

ABCD为矩形(_________)(填推理的依据).

25. 常常听说“勾3股4弦5”,是什么意思呢?它就是勾股定理,即“直角三角形两直角边长a,b与斜边长c之间满足等式：a2+b2＝c2”的一个最简单特例．我们把满足a2+b2＝c2的三个正整数a,b,c,称为勾股数组,记为（a,b,c）．

（1）请在下面的勾股数组表中写出m、n、p合适的数值： a 3 5 7 9 11 …

b 4 12 24 n 60 … c a 4 6 p 10 12 … 的b 3 8 5 m 25 41 61 … 15 24 35 … c 5 10 17 26 37 … 平面直角坐标系中,横、纵坐标均为整数的点叫做整点（格点）．过x轴上的整点作y轴的平行线,过y轴上的整点作x轴的平行线,组成的图形叫做正方形网格（有时简称网格）,这些平行线叫做格边,当一条线段AB的两端点是格边上的点时,称为AB在格边上．顶点均在格点上的多边形叫做格点多边形．在正方形网格中,我们可以利用勾股定理研究关于图形面积、周长的问题,其中利用割补法、作图法求面积非常有趣． （2）已知△ABC三边长度为4、13、15,请在下面的网格中画出格点△ABC并计算其面积．

26. 如图,矩形ABCD中,点E为矩形的边CD上的任意一点,点P为线段AE的中点,连接BP并延长与边AD交于点F,点M为边CD上的一点,且CM＝DE,连接FM． （1）依题意补全图形； （2）求证∠DMF＝∠ABF．

27. （1）小My同学在网络直播课中学习了勾股定理,他想把这一知识应用在等边三角形中：边长为a的等边三角形面积是 （用含a的代数式表示）；

（2）小My同学进一步思考：是否可以将正方形剪拼成一个等边三角形（不重叠、无缝隙）? ①如果将一个边长为2的正方形纸片剪拼等边三角形,那么该三角形边长的平方是 ；

②小My同学按下图切割方法将正方形ABCD剪拼成一个等边三角形EFG：M、N分别为AB、CD边上的中点,P、Q是边BC、AD上两点,G为MQ上一点,且∠MGP＝∠PGN＝∠NGQ＝60°． 请补全图形,画出拼成正三角形的各部分分割线,并标号； ③正方形ABCD的边长为2,设BP＝x,则x2＝ ．

28. 如图,双边直尺有两条平行的边,但是没有刻度,可以用来画等距平行线：

我们也可用工具自制（如图）：

下面是小My同学设计“过直线外一点作这条直线的平行线”的双边直尺作图过程．

（1）根据小My同学的作图过程,请证明O为PH中点．

的

（2）根据小My同学的作图过程,请证明PQ∥l．

答案与解析

一．选择题（共10小题）

1. 函数yA. x≠3 【答案】B 【解析】 【分析】

根据二次根式有意义的条件,即根号下大于等于0,求出即可． 【详解】∵x3有意义的条件是：x﹣3≥0． ∴x≥3． 故选B．

【点睛】考查了函数变量的取值范围,此题是中考考查重点,同学们应重点掌握,特别注意根号下可以等于0这一条件．

2. 以下列各组数为边长,能构成直角三角形的是（ ） A. 1,3,2 【答案】A 【解析】 【分析】

根据勾股定理的逆定理的内容和三角形三边关系逐个判断即可． 【详解】解：A、∵12+（3）2＝22,

∴以1,3,2为边能组成直角三角形,故本选项符合题意；

B、1+1＝2,不符合三角形三边关系定理,不能组成三角形,也不能组成直角三角形,故本选项不符合题意； C、∵22+32≠42,

∴以2,3,4为边不能组成直角三角形,故本选项不符合题意； D、∵42+52≠62,

∴以4,5,6为边不能组成直角三角形,故本选项不符合题意； 故选：A．

B. 1,1,2

C. 2,3,4

D. 4,5,6

x3中,自变量x的取值范围是（ ）

B. x≥3

C. x＞3

D. x≤3

【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理及三角形三边关系,掌握勾股定理的逆定理及三角形三边关系是解题的关键．

3. 下列各式中与3是同类二次根式的是 A. 6 【答案】C 【解析】 【分析】

根据同类二次根式的概念逐一判断即可.

【详解】解：A、6和3是最简二次根式,6与3的被开方数不同,故A选项错误； B、93,3不是二次根式,故B选项错误；

C、1223,23与3的被开方数相同,故C选项正确； D、1832,32与3的被开方数不同,故D选项错误； 故选：C.

几个二次根式【点睛】本题主要考查同类二次根式的定义,解题的关键是熟练的掌握同类二次根式的定义：化成最简二次根式后,如果被开方数相同,这几个二次根式叫做同类二次根式. 4. 如图,将▱ABCD的一边BC延长至点E,若∠1=55°,则∠A=（ ）

A. 35° 【答案】C 【解析】 【分析】

根据平行四边形的对角相等得出∠A=∠BCD,再根据平角等于180°列式求出∠BCD=125°,即可得解． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形,∠A=∠BCD, ∵∠1=55°,

-∠1=125°∴∠BCD=180°, ∴∠A=∠BCD=125°． 故选：C．

B. 55°

C. 125°

D. 145°

B. 9 C. 12

D. 18 【点睛】本题考查了平行四边形的对角相等的性质,是基础题,熟记平行四边形的性质是解题的关键． 5. 在下列条件中,能判定四边形为平行四边形的是（ ） A. 两组对边分别平行 C. 两组邻边相等 【答案】A 【解析】 【分析】

根据平行四边形的判定定理逐个判断即可．

【详解】A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形,故本选项符合题意；

B、一组对边平行且另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形,故本选项不符合题意； C、两组邻边相等的四边形不一定是平行四边形,故本选项不符合题意； D、对角线互相平分的四边形才是平行四边形,故本选项不符合题意； 故选A．

【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理,能熟记平行四边形的判定定理的内容是解此题的关键,注意：平行四边形的判定定理有：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形,②两组对边分别相等的四边形是平行四边形,③两组对角分别平行的四边形是平行四边形,④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形．

6. 下列选项中,平行四边形不一定具有的性质是( ) A. 两组对边分别平行 C. 对角线互相平分 【答案】D 【解析】 【分析】

根据平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行,对角线互相平分,可得正确选项． 【详解】∵平行四边形的对边平行且相等,对角相等,对角线互相平分, ∴选项A. B. C正确,D错误. 故选D．

【点睛】本题考查平行四边形的性质,解题关键在于对平行四边形性质的理解．

7. 数学课上,老师要同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某合作小组4位同学拟定的方案,其中

B. 两组对边分别相等 D. 对角线相等

B. 一组对边平行且另一组对边相等 D. 对角线互相垂直

正确的是（ ）

A. 测量对角线是否互相平分 C. 测量一组对角是否都为直角 【答案】D 【解析】 【分析】

根据矩形的判定定理即可选出答案．

【详解】解：A、对角线是否相互平分,能判定平行四边形,而不能判定矩形； B、两组对边是否分别相等,能判定平行四边形,而不能判定矩形； C、一组对角是否都为直角,不能判定形状； D、四边形其中的三个角是否都为直角,能判定矩形, 故选D．

【点睛】本题考查了矩形的判定定理：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形,熟练掌握矩形的判定方法是解答本题的关键． 8. 若最简二次根式x3与最简二次根式2x是同类二次根式,则x的值为（ ） A. x＝0 【答案】D 【解析】 【分析】

根据同类二次根式的定义得出方程,求出方程的解即可．

【详解】解：∵最简二次根式x3与2x最简二次根式是同类二次根式, ∴x+3＝2x, 解得：x＝3, 故选：D．

【点睛】本题考查了最简二次根式和同类二次根式的定义,熟练掌握这些知识点是解题的关键．

9. 如图,在平面直角坐标系xOy中,点A（0,2）,B（4,0）,点N为线段AB的中点,则点N的坐标为（ ）

B. x＝1

C. x＝2

D. x＝3

B. 测量两组对边是否分别相等 D. 测量三个角是否为直角

A. （1,2） 【答案】D 【解析】 【分析】

B. （4,2） C. （2,4） D. （2,1）

根据三角形的中位线的性质和点的坐标,解答即可． 详解】过N作NE⊥y轴,NF⊥x轴, ∴NE∥x轴,NF∥y轴,

∵点A(0,2),B(4,0),点N为线段AB的中点, ∴NE=2,NF=1,

【∴点N的坐标为(2,1), 故选：D．

线段BN的长为（ ）

A. 8 【答案】A 【解析】

B. 6

【点睛】本题主要考查坐标与图形的性质,掌握三角形的中位线的性质和点的坐标的定义,是解题的关键． 10. 如图,Rt△ABC中,AB＝18,BC＝12,∠B＝90°,将△ABC折叠,使点A与BC的中点D重合,折痕为MN,则

C. 4 D. 10

【分析】

设BN＝x,则由折叠的性质可得DN＝AN＝18﹣x,根据中点的定义可得BD＝6,在Rt△BND中,根据勾股定理可得关于x的方程,解方程即可求解．

【详解】解：设BN＝x,由折叠的性质可得DN＝AN＝18﹣x, ∵D是BC的中点, ∴BD＝6,

在Rt△NBD中,x2+62＝（18﹣x）2, 解得x＝8． 即BN＝8． 故选：A．

【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题）,折叠的性质,勾股定理,中点的定义以及方程思想,熟悉相关性质是解题的关键．

二．填空题（共8小题）

11. 如图,在▱ABCD中,BC＝9,AB＝5,BE平分∠ABC交AD于点E,则DE的长为_____．

【答案】4 【解析】 【分析】

根据四边形ABCD为平行四边形可得AE∥BC,根据平行线的性质和角平分线的性质可得出∠ABE＝∠AEB,继而可得AB＝AE,然后根据已知可求得DE的长度． 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形, ∴AE∥BC,AD=BC=9, ∴∠AEB＝∠EBC, ∵BE平分∠ABC,

∴∠ABE＝∠EBC, ∴∠ABE＝∠AEB, ∴AE=AB＝5,

∴DE＝AD﹣AE＝9﹣5＝4． 故答案为：4．

【点睛】本题考查了平行四边形的性质,解答本题的关键是根据平行线的性质和角平分线的性质得出

ABEAEB．

12. 如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,若∠BOC＝120°,AB＝3,则BC的长为_____．

【答案】33． 【解析】 【分析】

根据矩形的性质求出AC＝2AO,AO＝BO,根据等边三角形的判定得出△AOB是等边三角形,求出AB＝AO＝3,求出AC,再根据勾股定理求出BC即可． 【详解】解：

BOC120,

AOB60,

四边形ABCD是矩形,

ABC90,ACBD,AOOC,BODO, AOBO,

AOB是等边三角形,

ABAOBO,

AB3, AO3,

AC2AO6,

由勾股定理得：BC故答案为：3AC2AB2623233, 3．

【点睛】本题考查了矩形的性质,等边三角形的性质和判定,勾股定理等知识点,能灵活运用定理进行推理是解此题的关键． 13. 估计5151与0.5的大小关系是：（填“＞”、“=”、“＜”） ______0.5．22【答案】＞ 【解析】 【分析】 【详解】解：∵∵52＞0, ∴

5151152-0.5==2222,

52＞0． 2故答案为：＞

14. 如图,在矩形ABCD中,E,F分别是AD,BC边上的点,AE＝CF,∠EFB＝45°,若AB＝5,BC＝13,则AE的长为_____．

【答案】4 【解析】 【分析】

过E作EM⊥BC于M,根据矩形的性质得出∠A＝∠B＝90°,得出四边形ABME是矩形,根据矩形的性质得出EM＝AB＝5,AE＝BM,求出EM＝FM＝5,根据BC＝13和AE＝CF＝BM求出即可． 【详解】解：如图,过E作EM⊥BC于M, 则∠EMF＝∠EMB＝90°,

∵四边形ABCD是矩形, ∴∠A＝∠B＝90°, ∴四边形ABME是矩形, ∵AB＝5,

∴EM＝AB＝5,AE＝BM, ∵∠EFB＝45°,∠EMF＝90°, ∴∠MEF＝45°＝∠EFB, ∴EM＝FM＝5,

∵BC＝13,AE＝CF＝BM, ∴2AE+5＝13, 解得：AE＝4, 故答案为：4．

【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、等腰直角三角形的判定,熟练掌握这些知识并合理的作出辅助线是解题的关键．

15. 如果一个无理数a与12的积是一个有理数,写出a的一个值是_____． 【答案】3（答案不唯一）． 【解析】 【分析】

直接化简二次根式,进而得出符合题意的值． 【详解】解：∵12＝23, ∴无理数a与12的积是一个有理数,a的值可以为：3（答案不唯一）． 故答案为：3（答案不唯一）．

【点睛】本题主要考查实数的性质以及同类二次根式的性质,解题的关键是掌握有理数和无理数的基本定义以及同类二次根式的积为有理数即可．

16. 如图,点E为矩形ABCD的边BC长上的一点,作DF⊥AE于点F,且满足DF＝AB．下面结论：

①△DEF≌△DEC；②S△ABE＝S△ADF；③AF＝AB；④BE＝AF．其中正确的结论是_____．

【答案】①②④． 【解析】 【分析】

证明Rt△DEF≌Rt△DEC得出①正确；在证明△ABE≌△DFA得出S△ABE＝S△ADF；②正确；得出BE＝AF,④正确,③不正确；即可得出结论． 【详解】解：

CABE四边形ABCD是矩形, 90,AD//BC,ABCD,

DFAB,

DFCD, DFAE,

DFADFE90,

DEDFDEDC在RtDEF和RtDEC中,RtDEF,

RtDEC(HL),①正确；

AD//BC, AEBDAF,

ABEDFADAF, DF在ABE和DFA中,

AEBABABESSDFA(AAS),

ADFABE；②正确；

BEAF,④正确,③不正确；

故答案为：①②④．

【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质等知识,熟练掌握矩形的性质,证明三角形全等是解题的关键．

17. 我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形,得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理,如图所示的就用了这种分割方法,若AE＝6,正方形ODCE的边长为2,则BD等于_____．

【答案】4 【解析】 【分析】

设BD＝x,正方形ODCE的边长为2,则CD＝CE＝2,根据全等三角形的性质得到AF＝AE,BF＝BD,根据勾股定理即可得到结论．

【详解】解：设正方形ODCE的边长为2, 则CDCE2, 设BDx,

AFOAEO,BDOBFO,

AFAE,BFBD,

ABx6,AC628,BCx2,

AC2BC2AB2,

(x2)282(x6)2,

x4,

故答案为：4．

【点睛】本题考查了勾股定理的证明,全等三角形的性质,正方形的性质,熟练掌握勾股定理是解题的关键． 18. 已知：线段AB,BC． 求作：平行四边形ABCD． 以下是甲、乙两同学的作业． 甲：

①以点C为圆心,AB长为半径作弧； ②以点A为圆心,BC长为半径作弧； ③两弧在BC上方交于点D,连接AD,CD． 四边形ABCD即为所求平行四边形．（如图1） 乙：

①连接AC,作线段AC的垂直平分线,交AC于点M；

②连接BM并延长,在延长线上取一点D,使MD=MB,连接AD,CD． 四边形ABCD即为所求平行四边形．（如图2）

老师说甲、乙同学的作图都正确,你更喜欢______的作法,他的作图依据是：______． 【答案】 (1). 乙 (2). 对角线互相平分的四边形是平行四边形

【解析】

【分析】

根据平行四边形的判定方法,即可解决问题．

【详解】根据平行四边形的判定方法,我更喜欢乙的作法,他的作图依据是：对角线互相平分的四边形是平行四边形．

故答案为：乙；对角线互相平分的四边形是平行四边形．

【点睛】本题主要考查尺规作图-复杂作图,平行四边形判定定理,掌握尺规作线段的中垂线以及平行四边形的判定定理,是解题的关键.

三．解答题（共10小题）

19. 计算：18147 【答案】42． 【解析】 【分析】

先化简二次根式,计算二次根式的除法,再合并同类二次根式即可得． 【详解】解：18147 322 42．

【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算,解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．

的20. 在平面直角坐标系xOy中,已知A（﹣3,2）,B（﹣1,﹣2）,C（1,1）,若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形,求点D的坐标．（在平面直角坐标系中画出平行四边形并标上点D的坐标．）

【答案】点D的坐标为：（﹣5,﹣1）或（﹣1,5）或（3,﹣3）． 【解析】 【分析】

根据平行四边形的判定即可得点D的坐标． 【详解】解：如图,

∵A（﹣3,2）,B（﹣1,﹣2）,C（1,1）, 以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形,

∴点D的坐标为：（﹣5,﹣1）或（﹣1,5）或（3,﹣3）．

【点睛】本题主要考查平面直角坐标系和平行四边形判定,掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． ． 21. 如图,E、F是▱ABCD的对角线AC上的两点,AE＝CF．求证：EB＝DF（写出主要的证明依据）

【答案】详见解析． 【解析】 【分析】

由四边形ABCD是平行四边形,根据平行四边形的对边平行且相等,可得AB∥CD,AB＝CD,根据两直线平行,内错角相等,可得∠FCD＝∠EAB,由已知AE＝CF,可证得△FCD≌△EAB（SAS）,所以EB＝DF． 【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD,AB＝CD（平行四边形的对边平行且相等）,

的∴∠FCD＝∠EAB（两直线平行,内错角相等）, ∵AE＝CF,

∴△FCD≌△EAB（SAS）, ∴EB＝DF．

【点睛】此题考查了平行四边形的性质与全等三角形的判定与性质,熟悉相关性质是解题的关键． 22. 已知,如图,等腰△ABC的底边BC＝10cm,D是腰AB上一点,且CD＝8cm,BD＝6cm,求AB的长．

【答案】AB＝【解析】 【分析】

25cm． 32+82,根据勾股定理的逆定理求出∠BDC＝90°,求出∠ADC＝90°,在Rt△ADC中,由勾股定理得出a2＝（a﹣6）

求出a即可． 【详解】解：设ABACacm,

BC10cm,CD8cm,BD6cm,

BD2CD2BC2,

BDC90,

即ADC90,

在RtADC中,由勾股定理得：AC2AD2CD2, 即a2(a6)282,

解得：a即AB25, 325cm． 3【点睛】本题考查了勾股定理,等腰三角形的性质,勾股定理的逆定理等知识点,能根据勾股定理的逆定理求出

ADC90是解此题的关键．

23. 下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程 已知：直线l及直线l外一点P．

求作：直线PQ,使得PQ∥l． 作法：如图,

①在直线l上取一点A,作射线AP,以点P为圆心,PA长为半径画弧,交AP的 延长线于点B；

②以点B为圆心,BA长为半径画弧,交l于点C（不与点A重合）,连接BC； ③以点B为圆心,BP长为半径画孤,交BC于点Q； ④作直线PQ．

所以直线PQ就是所求作的直线． 根据小东设计的尺规作图过程,

（1）使用直尺和圆规,补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明

证明：∵PB＝PA,BC＝ ,BQ＝PB, ∴PB＝PA＝BQ＝ ．

∴PQ∥l（ ）（填推理的依据）．

【答案】（1）详见解析；（2）BA,QC,三角形的中位线定理 【解析】 【分析】

（1）根据要求画出图形．

（2）利用三角形的中位线定理证明即可． 【详解】解：（1）直线PQ即为所求．

（2）证明：∵PB＝PA,BC＝BA,BQ＝PB, ∴PB＝PA＝BQ＝QC．

∴PQ∥l（三角形的中位线定理）． 故答案为：BA,QC,三角形的中位线定理

【点睛】本题考查了三角形的中位线定理,熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键． 24. 下面是小丁设计的“利用直角三角形和它的斜边中点作矩形”的尺规作图过程. 已知:如图,在RtΔABC中,∠ABC=90°,0为AC的中点.

求作:四边形ABCD,使得四边形ABCD为矩形.

作法:①作射线BO,在线段BO的延长线上取点D,使得DO=BO； ②连接AD,CD,则四边形ABCD为矩形. 根据小丁设计的尺规作图过程.

(1)使用直尺和圆规,在图中补全图形(保留作图痕迹)； (2)完成下面的证明. 证明:∴点O为AC的中点, ∴AO=CO. 又∵DO=BO,

∵四边形ABCD为平行四边形(__________)(填推理依据). ∵∠ABC=90°, ∴

ABCD为矩形(_________)(填推理的依据).

(1)作图如图所示,见解析(2)对角线互相平分的四边形是平行四边形, 有一个角是直角的平行四边形【答案】是矩形. 【解析】

【分析】

（1）根据要求画出图形即可．

（2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明． 【详解】（1）如图,矩形ABCD即为所求．

（2）理由：∵点O为AC的中点, ∴AO=CO 又∵DO=BO,

∴四边形ABCD为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形） ∵∠ABC=90°,

∴▱ABCD为矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．

故答案为对角线互相平分的四边形是平行四边形,有一个角是直角的平行四边形是矩形. 【点睛】本题考查作图-复杂作图,矩形的判定等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识．

25. 常常听说“勾3股4弦5”,是什么意思呢?它就是勾股定理,即“直角三角形两直角边长a,b与斜边长c之间满足等式：a2+b2＝c2”的一个最简单特例．我们把满足a2+b2＝c2的三个正整数a,b,c,称为勾股数组,记为（a,b,c）．

（1）请在下面的勾股数组表中写出m、n、p合适的数值： a 3 5 7 9 11 …

b 4 12 24 n 60 … c 5 m 25 41 61 … a 4 6 p 10 12 … b 3 8 15 24 35 … c 5 10 17 26 37 … 平面直角坐标系中,横、纵坐标均为整数点叫做整点（格点）．过x轴上的整点作y轴的平行线,过y轴上的整点作x轴的平行线,组成的图形叫做正方形网格（有时简称网格）,这些平行线叫做格边,当一条线段AB的两端点是格边上的点时,称为AB在格边上．顶点均在格点上的多边形叫做格点多边形．在正方形网格中,我们可以利用勾股定理研究关于图形面积、周长的问题,其中利用割补法、作图法求面积非常有趣． （2）已知△ABC三边长度为4、13、15,请在下面的网格中画出格点△ABC并计算其面积．

的

【答案】（1）m＝13,n＝40,p＝8；（2）图详见解析,24． 【解析】 【分析】

（1）根据勾股数的定义计算即可；

（2）根据勾股数确定长为13和15的边,再根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）根据勾股数的定义计算即可；

（2）根据勾股数确定长为13和15的边,再根据三角形的面积公式计算即可． 解：（1）∵52+122＝132, ∴m＝13； ∵92+402＝412, ∴n＝40, ∵82+152＝172, ∴p＝8． （2）如图所示：

在△ABC中,AB＝15,BC＝4,AC＝13, S△ABC＝SABD﹣S△ACD＝

11129-125=24． 22【点睛】本题考查了勾股数的综合应用,对勾股定理及其逆定理以及常见的勾股数非常熟悉,是解题的关键． 26. 如图,矩形ABCD中,点E为矩形的边CD上的任意一点,点P为线段AE的中点,连接BP并延长与边AD交于点F,点M为边CD上的一点,且CM＝DE,连接FM． （1）依题意补全图形； （2）求证∠DMF＝∠ABF．

【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】 【分析】

（1）按要求画图即可；

（2）延长BF交CD的延长线于点N,首先证明△APB和△EPN全等,得到EN＝AB,再根据已知条件利用垂直平分线的性质定理证明FN＝FM,可得结论． 【详解】（1）解：如图所示,

（2）证明：延长BF交CD的延长线于点N,

∵点P为线段AE中点, ∴AP＝PE, ∵AB∥CD,

∴∠PEN＝∠PAB,∠2＝∠N, ∵在△APB和△EPN中,

2=N∵PABPEN, PAPE∴△APB≌△EPN（AAS）, ∴AB＝EN ∴AB＝CD＝EN,

∵EN＝DN+DE,CD＝DM+CM, ∵DE＝CM, ∴DN＝DM, ∵FD⊥MN, ∴FN＝FM, ∴∠N＝∠1, ∴∠1＝∠2, 即∠DMF＝∠ABF．

【点睛】本题考查了几何作图、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质,作出合适的辅助线是解题的关键．

27. （1）小My同学在网络直播课中学习了勾股定理,他想把这一知识应用在等边三角形中：边长为a的等

边三角形面积是 （用含a的代数式表示）；

（2）小My同学进一步思考：是否可以将正方形剪拼成一个等边三角形（不重叠、无缝隙）? ①如果将一个边长为2的正方形纸片剪拼等边三角形,那么该三角形边长的平方是 ；

②小My同学按下图切割方法将正方形ABCD剪拼成一个等边三角形EFG：M、N分别为AB、CD边上的中点,P、Q是边BC、AD上两点,G为MQ上一点,且∠MGP＝∠PGN＝∠NGQ＝60°． 请补全图形,画出拼成正三角形的各部分分割线,并标号； ③正方形ABCD的边长为2,设BP＝x,则x2＝ ．

【答案】（1）【解析】 【分析】

4316332

a；（2）①；②详见解析；③﹣1．

343（1）如图1,过A作AD⊥BC于D,根据等边三角形的性质得到BD＝CD＝

211BC＝a,由勾股定理得到AD2213231＝AB2BD2a2aa； a,于是得到S△ABC＝BC•AD＝2424（2）①根据三角形的面积公式即可得到结论； ②补全图形如图2所示；

③由题意知,PG＝PE,GN＝NF,推出PN是△GEF的中位线,得到PN＝【详解】解：（1）如图,过A作AD⊥BC于D, ∵△ABC是等边三角形, ∴BD＝CD＝

1EF,根据勾股定理即可得到结论． 211BC＝a, 22231∴AD＝AB2BD2a2aa,

22∴S△ABC＝

132

BC•AD＝a； 24

（2）①∵边长为2的正方形的面积＝4, ∴剪拼成的等边三角形的面积＝4, ∴32

a＝4, 4∴a2＝

163, 3163； 3即该三角形边长的平方是

②补全图形如图2所示； ③由题意知,PG＝PE,GN＝NF, ∴PN是△GEF的中位线, ∴PN＝

1EF, 21AB＝1, 2∵N为AB边上的中点, ∴BN＝

∵边长为2的正方形的面积＝4, ∴剪拼成的等边三角形的面积＝4, ∴32

a＝4, 4∴a2＝163, 3163, 3即△GEF边长的平方是

∴EF＝43, ∴PN＝23, ∵PN2＝BN2+BP2, ∴

4＝1+x2, 343﹣1； 33243163（2）①；③a；1． 433∴x2＝故答案为：（1）

【点睛】本题考查了等边三角形的判定,性质,勾股定理,正方形性质,三角形中位线等知识,根据题意,充分根据解题步骤是解题关键．此类题目每一步都为后续解题提供解题知识准备或解题方法提示． 28. 如图,双边直尺有两条平行的边,但是没有刻度,可以用来画等距平行线：

我们也可用工具自制（如图）：

下面是小My同学设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的双边直尺作图过程．

（1）根据小My同学的作图过程,请证明O为PH中点．

（2）根据小My同学的作图过程,请证明PQ∥l． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析． 【解析】 【分析】

（1）根据小My同学的作图过程可得,四边形PMHN是平行四边形,根据平行四边形的对角线互相平分,即可得结论；

（2）作OK∥TH交QI于点K,由作图过程可证明△OQK≌△TOH（ASA）,可得OQ＝OT,进而可以得结论． 【详解】解：（1）根据小My同学的作图过程可知： 四边形PMHN是平行四边形, 根据平行四边形的对角线互相平分, 所以O为PH中点．

（2）如图,作OK∥TH交QI于点K,

由作图过程可知： PH∥QI,

∴OK＝HI＝TH, ∠QOK＝∠OTH, ∠OKQ＝∠QIH＝∠OHT, ∴△OQK≌△TOH（ASA）, ∴OQ＝OT, ∵OP＝OH,

∴四边形PQHT是平行四边形, ∴PQ∥l．

【点睛】本题考查平行四边形的判定及性质的应用,熟练掌握平行四边形的判定及性质是解题的关键.