-03解答题（提升题）知识点分类
一．根与系数的关系（共1小题）
1．（2022秋•西城区期末）已知关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣9＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，且x1＞x2，若2x1＝x2+5，求m的值．二．二次函数的性质（共1小题）
2．（2022秋•西城区期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝t，且3a+2b+c＝0．（1）当c＝0时，求t的值；
（2）点（﹣2，y1），（1，y2），（3，y3）在抛物线上，若a＞c＞0，判断y1，y2与y3的大小关系，并说明理由．三．二次函数的应用（共1小题）
3．（2022秋•西城区期末）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一．如图，运动员通过助滑道后在点A处起跳经空中飞行后落在着陆坡BC上的点P处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．这里OA表示起跳点A到地面OB的距离，OC表示着陆坡BC的高度，OB表示着陆坡底端B到点O的水平距离．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝﹣40m，竖直高度是30m．（1）点A的坐标是 （2）求满足的函数关系y＝﹣
，点P的坐标是 +bx+c；
；
+bx+c．已知OA＝70m，OC＝60m，落点P的水平距离是
（3）运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡BC竖直方向上的距离达到最大时，直接写出此时的水平距离．
四．二次函数综合题（共1小题）
4．（2021秋•西城区期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x﹣h）2﹣8a的顶点为A，0＜h＜．（1）若a＝1，
①点A到x轴的距离为 ；②求此抛物线与x轴的两个交点之间的距离；
（2）已知点A到x轴的距离为4，此抛物线与直线y＝﹣2x+1的两个交点分别为B（x1，y1），C（x2，y2），其中x1＜x2，若点D（xD，yD）在此抛物线上，当x1＜xD＜x2时，yD总满足y2＜yD＜y1，求a的值和h的取值范围．五．三角形综合题（共2小题）
5．（2021秋•西城区期末）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D，E分别在边CA，CB上，CD＝CE，连接DE，AE，BD．点F在线段BD上，连接CF交AE于点H．
（1）①比较∠CAE与∠CBD的大小，并证明；②若CF⊥AE，求证：AE＝2CF；
（2）将图1中的△CDE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°），如图2．若F是BD的中点，判断AE＝2CF是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
6．（2022秋•西城区期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∠APB＝45°，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°得到线段CQ，连接AQ．（1）依题意，补全图形，并证明：AQ＝BP；（2）求∠QAP的度数；
（3）若N为线段AB的中点，连接NP，请用等式表示线段NP与CP之间的数量关系，并证明．
六．四边形综合题（共1小题）
7．（2020秋•西城区期末）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB边上，BE＝1，F为BC边的中点．将正方形截去一个角后得到一个五边形AEFCD，点P在线段EF上运动（点P可与点E，点F重合），作矩形PMDN，其中M，N两点分别在CD，AD边上．
设CM＝x，矩形PMDN的面积为S．（1）DM＝
（用含x的式子表示），x的取值范围是
；
（2）求S与x的函数关系式；
（3）要使矩形PMDN的面积最大，点P应在何处？并求最大面积．
七．切线的性质（共1小题）
8．（2021秋•西城区期末）如图，AB，AC是⊙O的两条切线，切点分别为B，C，连接CO并延长交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点E，EF⊥AC于点F．（1）求证：四边形CDEF是矩形；（2）若CD＝2
，DE＝2，求AC的长．
八．切线的判定与性质（共2小题）
9．（2021秋•西城区期末）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，D是中点，DE⊥BC交BC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB＝10，BC＝8，求BD的长．
的
10．（2022秋•西城区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点O是AC上一点，以O为圆心，OA长为半径作圆，使⊙O与BC相切于点D，与AC相交于点E．过
点B作BF∥AC，交ED的延长线于点F．（1）若AB＝4，求⊙O的半径；
（2）连接BO，求证：四边形BFEO是平行四边形．
九．圆的综合题（共3小题）
11．（2020秋•西城区期末）对于平面内的图形G1和图形G2，记平面内一点P到图形G1上各点的最短距离为d1，点P到图形G2上各点的最短距离为d2，若d1＝d2，就称点P是图形G1和图形G2的一个“等距点”．
在平面直角坐标系xOy中，已知点A（6，0），B（0，2（1）在R（3，0），S（2，0），T（1，（2）已知直线y＝﹣2．
①若点A和直线y＝﹣2的等距点在x轴上，则该等距点的坐标为 ②若直线y＝a上存在点A和直线y＝﹣2的等距点，求实数a的取值范围；（3）记直线AB为直线l1，直线l2：y＝﹣
x，以原点O为圆心作半径为r的⊙O．若
；）．
；
）三点中，点A和点B的等距点是
⊙O上有m个直线l1和直线l2的等距点，以及n个直线l1和y轴的等距点（m≠0，n≠0），当m≠n时，求r的取值范围．
12．（2021秋•西城区期末）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点A在⊙O上，点P在⊙O内，给出如下定义：连接AP并延长交⊙O于点B，若AP＝kAB，则称点P是点A关于⊙O的k倍特征点．（1）如图，点A的坐标为（1，0）．
①若点P的坐标为（﹣，0），则点P是点A关于⊙O的 点；
②在C1（0，），C2（，0），C3（，﹣）这三个点中，点 的倍特征点；
倍特征 是点A关于⊙O
③直线l经过点A，与y轴交于点D，∠DAO＝60°．点E在直线l上，且点E是点A关于⊙O的倍特征点，求点E的坐标；
（2）若当k取某个值时，对于函数y＝﹣x+1（0＜x＜1）的图象上任意一点M，在⊙O上都存在点N，使得点M是点N关于⊙O的k倍特征点，直接写出k的最大值和最小值．
13．（2022秋•西城区期末）给定图形W和点P，Q，若图形W上存在两个不重合的点M，N，使得点P关于点M的对称点与点Q关于点N的对称点重合，则称点P与点Q关于图形W双对合．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，﹣2），B（5，﹣2），C（﹣1，4）．
（1）在点D（﹣4，0），E（2，2），F（6，0）中，与点O关于线段AB双对合的点是
；
（2）点K是x轴上一动点，⊙K的直径为1，
①若点A与点T（0，t）关于⊙K双对合，求t的取值范围；
②当点K运动时，若△ABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合，直接写出点K的横坐标k的取值范围．一十．作图—复杂作图（共2小题）
14．（2021秋•西城区期末）问题：如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O内，请仅用无刻度的直尺，作出△ABC中AB边上的高．
小芸解决这个问题时，结合圆以及三角形高线的相关知识，设计了如下作图过程．作法：如图，
①延长AC交⊙O于点D，延长BC交⊙O于点E；②分别连接AE，BD并延长相交于点F；③连接FC并延长交AB于点H．
所以线段CH即为△ABC中AB边上的高．（1）根据小芸的作法，补全图形；（2）完成下面的证明．
证明：∵AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，∴∠ADB＝∠AEB＝ ∴AE⊥BE，BD⊥AD．∴AE，
是△ABC的两条高线．
°．（
）（填推理的依据）
∵AE，BD所在直线交于点F，∴直线FC也是△ABC的高所在直线．∴CH是△ABC中AB边上的高．
15．（2022秋•西城区期末）已知：点A，B，C在⊙O上，且∠BAC＝45°．求作：直线l，使其过点C，并与⊙O相切．作法：①连接OC；
②分别以点B，点C为圆心，OC长为半径作弧，两弧交于⊙O外一点D；③作直线CD．
直线CD就是所求作直线l．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接OB，BD，∵OB＝OC＝BD＝CD，∴四边形OBDC是菱形．
∵点A，B，C在⊙O上，且∠BAC＝45°，∴∠BOC＝
°（
）（填推理的依据）．
∴四边形OBDC是正方形．∴∠OCD＝90°，即OC⊥CD．∵OC为⊙O半径，
∴直线CD为⊙O的切线（
）（填推理的依据）．
一十一．作图—应用与设计作图（共1小题）16．（2020秋•西城区期末）借助网格画图并说理：
如图所示的网格是正方形网格，△ABC的三个顶点是网格线的交点，点A在BC边的上方，AD⊥BC于点D，BD＝4，CD＝2，AD＝3．以BC为直径作⊙O，射线DA交⊙O于点E，连接BE，CE．（1）补全图形；
（2）填空：∠BEC＝
°，理由是
；
（3）判断点A与⊙O的位置关系并说明理由；
（4）∠BAC ∠BEC（填“＞”，“＝”或“＜”）．
一十二．旋转的性质（共2小题）
17．（2021秋•西城区期末）如图，在正方形ABCD中，射线AE与边CD交于点E，将射线AE绕点A顺时针旋转，与CB的延长线交于点F，BF＝DE，连接FE．（1）求证：AF＝AE；
（2）若∠DAE＝30°，DE＝2，直接写出△AEF的面积．
18．（2022秋•西城区期末）如图，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，将点B绕点C逆时针旋转60°得到点E，连接AE，BE，CE．（1）求∠CBE的度数；
（2）若△ACD是等边三角形，且∠ABC＝30°，AB＝3，BD＝5，求BE的长．
一十三．作图-旋转变换（共1小题）
19．（2020秋•西城区期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝
．将△
ABC绕点B顺时针旋转α（0°＜α≤120°）得到△A'BC'，点A，点C旋转后的对应点分别为点A'，点C'．
（1）如图1，当点C'恰好为线段AA'的中点时，α＝
°，AA'＝ ；
（2）当线段AA'与线段CC'有交点时，记交点为点D．
①在图2中补全图形，猜想线段AD与A'D的数量关系并加以证明；②连接BD，请直接写出BD的长的取值范围．
一十四．列表法与树状图法（共1小题）
20．（2021秋•西城区期末）有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有两个相同的球，它们分别写有数﹣2，2；乙口袋中装有三个相同的球，它们分别写有数﹣5，m，5．小明和小刚进行摸球游戏，规则如下：先从甲口袋中随机取出一个球，其上的数记为a；再从乙口袋中随机取出一个球，其上的数记为b．若a＜b，小明胜；若a＝b，为平局；若a＞b，小刚胜．
（1）若m＝﹣2，用树状图或列表法分别求出小明、小刚获胜的概率；
（2）当m为何值时，小明和小刚获胜的概率相同？直接写出一个符合条件的整数m的值．
一十五．利用频率估计概率（共1小题）
21．（2022秋•西城区期末）在学习《用频率估计概率》时，小明和他的伙伴们设计了一个摸球试验：在一个不透明帆布袋中装有白球和红球共4个，这4个球除颜色外无其他差别．每次摸球前先将袋中的球搅匀，然后从袋中随机摸出1个球，观察该球的颜色并记录，再把它放回．在老师的帮助下，小明和他的伙伴们用计算机模拟这个摸球试验．如图显示的是这个试验中摸出一个球是红球的结果．
（1）根据所学的频率与概率关系的知识，估计从这个不透明的帆布袋中随机摸出一个球是红球的概率是
，其中红球的个数是 ；
（2）如果从这个不透明的帆布袋中同时摸出两个球，用列举法求摸出的两个球刚好一个是红球和一个是白球的概率．
北京市西城区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编
-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．根与系数的关系（共1小题）
1．（2022秋•西城区期末）已知关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣9＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，且x1＞x2，若2x1＝x2+5，求m的值．【答案】（1）证明见解析；（2）m＝﹣4．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣2m）2﹣4×1×（m2﹣9）＝4m2﹣4m2+36＝36＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；（2）解：解方程，得∵x1＞x2，
∴x1＝m+3，x2＝m﹣3，∵2x1＝x2+5，
∴2（m+3）＝m﹣3+5，∴m＝﹣4．
二．二次函数的性质（共1小题）
2．（2022秋•西城区期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝t，且3a+2b+c＝0．（1）当c＝0时，求t的值；
（2）点（﹣2，y1），（1，y2），（3，y3）在抛物线上，若a＞c＞0，判断y1，y2与y3的大小关系，并说明理由．【答案】（1）t＝；（2）y2＜y3＜y1．
【解答】解：（1）∵3a+2b+c＝0，
，
∴当c＝0时，得3a+2b＝0，∴b＝﹣
，
∵y＝ax2+bx，对称轴为直线x＝t，
∴t＝﹣＝﹣＝；
（2）y2＜y3＜y1，理由：∵3a+2b+c＝0，∴b＝﹣
，
∴t＝﹣＝﹣＝+，
∵a＞c＞0，∴0＜∴
＜，
，
∵点（﹣2，y1）关于直线x＝t的对称点的坐标是（2t+2，y1），∴
∴1＜3＜2t+2．∵a＞0，
∴当x＞t时，y随x的增大而增大，∴y2＜y3＜y1．
三．二次函数的应用（共1小题）
3．（2022秋•西城区期末）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一．如图，运动员通过助滑道后在点A处起跳经空中飞行后落在着陆坡BC上的点P处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．这里OA表示起跳点A到地面OB的距离，OC表示着陆坡BC的高度，OB表示着陆坡底端B到点O的水平距离．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝﹣40m，竖直高度是30m．
（1）点A的坐标是 （0，70） ，点P的坐标是 （40，30） ；
+bx+c．已知OA＝70m，OC＝60m，落点P的水平距离是
．
（2）求满足的函数关系y＝﹣+bx+c；
（3）运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡BC竖直方向上的距离达到最大时，直接写出此时的水平距离．
【答案】（1）（0，70），（40，30）；（2）二次函数的表达式为y＝﹣
x2+x+70；
（3）运动员到坡面BC竖直方向上的最大距离时水平距离是18m．【解答】解：（1）根据题意得，A（0，70），P（40，30），故答案为：（0，70），（40，30）；
（2）把A（0，70），P（40，30）代入y＝﹣
+bx+c得：
，
解得，
x2+x+70；
所以二次函数的表达式为y＝﹣
（3）如图，作MN∥y轴分别交抛物线和BC于M、N两点，
∵OC＝60m，
∴C（0，60），
设线段BC的关系式为y＝kx+m，则
，
解得：，
所以线段BC的关系式为y＝﹣x+60，设M（a，﹣则MN＝﹣∵﹣
＜0，
a2+a+70），则N（a，﹣a+60），a2+a+70+a﹣60＝﹣
a2+a+10＝﹣
（a﹣18）2+30.25，
∴当a＝18时，MN有最大值，最大值为30.25，
答：运动员到坡面BC竖直方向上的最大距离时水平距离是18m．四．二次函数综合题（共1小题）
4．（2021秋•西城区期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x﹣h）2﹣8a的顶点为A，0＜h＜．（1）若a＝1，
①点A到x轴的距离为 8 ；②求此抛物线与x轴的两个交点之间的距离；
（2）已知点A到x轴的距离为4，此抛物线与直线y＝﹣2x+1的两个交点分别为B（x1，y1），C（x2，y2），其中x1＜x2，若点D（xD，yD）在此抛物线上，当x1＜xD＜x2时，yD总满足y2＜yD＜y1，求a的值和h的取值范围．【答案】（1）①8．②4（2）≤h＜．
【解答】解：（1）①把a＝1代入y＝a（x﹣h）2﹣8a得y＝（x﹣h）2﹣8，∴抛物线顶点坐标为（h，﹣8），∴点A到x轴的距离为|﹣8|＝8，故答案为：8．
②把y＝0代入y＝（x﹣h）2﹣8得0＝（x﹣h）2﹣8，
．
解得x1＝h+2∵x1﹣x2＝h+2
，x2＝h﹣2﹣（h﹣2
，）＝4
，
．
∴抛物线与x轴的两个交点之间的距离为4（2）∵y＝a（x﹣h）2﹣8a，∴点A坐标为（h，﹣8a），∴|﹣8a|＝4，
解得a＝或a＝﹣，
当a＝时，如图，当抛物线开口向上，
∴a＝，y＝（x﹣h）2﹣4，∴点A坐标为（h，﹣4），
把x＝h代入y＝﹣2x+1得y＝﹣2h+1，当﹣2h+1≤﹣4时，解得h≥，∵0＜h＜，∴≤h＜．
当a＝﹣时，y＝﹣（x﹣h）2+4，令﹣2x+1＝﹣（x﹣h）2+4，整理得x2﹣（2h+4）x+h2﹣6＝0，∴Δ＝（﹣2h﹣4）2﹣4（h2﹣6）＞0，
整理得h＜﹣，与题干不符，舍去；综上，h的取值范围为≤h＜．五．三角形综合题（共2小题）
5．（2021秋•西城区期末）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D，E分别在边CA，CB上，CD＝CE，连接DE，AE，BD．点F在线段BD上，连接CF交AE于点H．
（1）①比较∠CAE与∠CBD的大小，并证明；②若CF⊥AE，求证：AE＝2CF；
（2）将图1中的△CDE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°），如图2．若F是BD的中点，判断AE＝2CF是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
【答案】（1）①∠CAE＝∠CBD．理由见解析；②证明见解析；（2）若F是BD的中点，AE＝2CF仍然成立．理由见解析．
【解答】解：（1）①∠CAE＝∠CBD．理由：在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS）．∴∠CAE＝∠CBD．②证明：∵∠ACB＝90°，∴∠ACH+∠ECH＝90°．∵CF⊥AE，
∴∠ACH+∠CAH＝90°．∴∠CAH＝∠ECH．由①知：∠CAE＝∠CBD，∴∠ECH＝∠CBD．∴CF＝BF．∵∠DCB＝90°，
∴∠DCF+∠ECF＝90°，∠CDF+∠CBD＝90°．∴∠CDF＝∠DCF，∴CF＝DF．∴BD＝2CF．
由①知：△ACE≌△BCD，∴AE＝BD．∴AE＝2CF．
解：（2）若F是BD的中点，AE＝2CF仍然成立．理由：延长CF至点G，使FG＝FC，连接BG，如图，
∴F是BD的中点，∴FD＝FB．
在△DCF和△BGF中，
，
∴△DCF≌△BGF（SAS）．∴CD＝BG，∠DCF＝∠G．∴CD∥BG．
∴∠DCB+∠GBC＝180°．
∵将图1中的△CDE绕点C逆时针旋转α，∴∠ACD＝∠BCE＝α．
∴∠DCB＝90°﹣∠ACD＝90°﹣α，∠ACE＝∠ACB+∠BCE＝90°+α．∴∠CBG＝180°﹣∠BCD＝180°﹣（90°﹣α）＝90°+α．∴∠ACE＝∠CBG．∵CD＝CE，∴CE＝BG．
在△ACE和△CBG中，
，
∴△ACE≌△CBG（SAS）．∴AE＝CG．∵FG＝FC，∴CG＝2CF．∴AE＝2CF．
∴若F是BD的中点，AE＝2CF仍然成立．
6．（2022秋•西城区期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∠APB＝45°，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°得到线段CQ，连接AQ．（1）依题意，补全图形，并证明：AQ＝BP；（2）求∠QAP的度数；
（3）若N为线段AB的中点，连接NP，请用等式表示线段NP与CP之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）证明见解析部分；
（2）135°；（3）PC＝
PN．
【解答】（1）证明：∵∠QCP＝∠ACB＝90°，∴∠QCA＝∠PCB，在△QCA和△PCQ中，
，
∴△QCA≌△PCB（SAS），∴AQ＝BP；
（2）解：∵△QCA≌△PCB，∴∠CQA＝∠CPB，∵∠APB＝∠CPQ＝45°，∴∠APQ＝∠CPB，
∴∠AQP+∠APQ＝∠AQP+∠CQA＝∠CQP＝45°，∴∠QAP＝180°﹣45°＝135°；
（3）解：结论：PC＝PN．
理由：如图，延长PN到T，使得NT＝NP，连接AT．在△ANT和△BNP中，
，
∴△ANT≌△BNP（SAS），∴AT＝PB，∵∠T＝∠NPB，∴AT∥PB，
∴∠TAP+∠APB＝180°，∵∠APB＝45°，
∴∠TAP＝135°＝∠QAP，∵AQ＝PB，PB＝AT，
∴AT＝AQ，
在△PAT和△PAQ中，
，
∴△PAT≌△PAQ（SAS），∴PT＝PQ＝∴2PN＝∴PC＝
PC，
PC，PN．
六．四边形综合题（共1小题）
7．（2020秋•西城区期末）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB边上，BE＝1，F为BC边的中点．将正方形截去一个角后得到一个五边形AEFCD，点P在线段EF上运动（点P可与点E，点F重合），作矩形PMDN，其中M，N两点分别在CD，AD边上．
设CM＝x，矩形PMDN的面积为S．
（1）DM＝ 4﹣x （用含x的式子表示），x的取值范围是 0≤x≤1 ；（2）求S与x的函数关系式；
（3）要使矩形PMDN的面积最大，点P应在何处？并求最大面积．
【答案】（1）4﹣x，0≤x≤1；（2）S＝﹣2x2+6x+8（0≤x≤1）；
（3）当x＝1时，矩形PMDN的面积最大，此时点P与点E重合，此时最大面积为12．
【解答】解：（1）∵正方形ABCD的边长为4，CM＝x，BE＝1，∴DM＝DC﹣CM＝4﹣x，其中0≤x≤1．故答案为：4﹣x，0≤x≤1；
（2）如图，延长MP交AB于G，
∵正方形ABCD的边长为4，F为BC边的中点，四边形PMDN是矩形，CM＝x，BE＝1，
∴PM∥BC，BF＝FC＝BC＝2，BG＝MC＝x，GM＝BC＝4，∴△EGP∽△EBF，EG＝1﹣x，∴
＝
，即
＝
．
∴PG＝2﹣2x，
∴DN＝PM＝GM﹣PG＝4﹣（2﹣2x）＝2+2x，
∴S＝DM•DN＝（4﹣x）（2x+2）＝﹣2x2+6x+8，其中0≤x≤1．
（3）由（2）知，S＝﹣2x2+6x+8，∵a＝﹣2＜0，
∴此抛物线开口向下，对称轴为x＝﹣∴当x＜时，y随x的增大而增大．∵x的取值范围为0≤x≤1，
∴当x＝1时，矩形PMDN的面积最大，此时点P与点E重合，此时最大面积为12．
＝，即
，
七．切线的性质（共1小题）
8．（2021秋•西城区期末）如图，AB，AC是⊙O的两条切线，切点分别为B，C，连接CO并延长交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点E，EF⊥AC于点F．（1）求证：四边形CDEF是矩形；（2）若CD＝2
，DE＝2，求AC的长．
【答案】（1）见解析；（2）5．
【解答】（1）证明：∵AC、DE是⊙O的切线，CD是⊙的直径，∴AC⊥CD，DE⊥CD，∴AC∥DE，∠ACD＝90°，∵EF⊥AC，∴EF∥CD，
∴四边形CDEF是矩形；
（2）解：∵AB，AC，DE是⊙O的切线，∴AB＝AC，BE＝DE＝2，
由（1）知，四边形CDEF是矩形，∴CF＝DE＝2，EF＝CD＝2∵EF⊥AC，∴∠AFE＝90°，∴AE2＝AF2+EF2，
∴（AC+2）2＝（AC﹣2）2+（2解得AC＝5，故AC的长为5．
八．切线的判定与性质（共2小题）
）2，，
9．（2021秋•西城区期末）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，D是中点，DE⊥BC交BC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB＝10，BC＝8，求BD的长．
的
【答案】（1）证明过程见解答；（2）3
．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵DE⊥BC，∴∠DEC＝90°，∵D是∴
＝
的中点，，
∴∠ABD＝∠CBD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠ODB＝∠CBD，
∴OD∥BC，
∴∠ODE＝180°﹣∠DEC＝90°，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；
（2）解：过点D作DF⊥AB，垂足为F，
由（1）得：∠ABD＝∠CBD，∴BD平分∠ABC，∵DF⊥AB，DE⊥BC，∴DF＝DE，
∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠DCB＝180°，∵∠DCB+∠DCE＝180°，∴∠A＝∠DCE，
∵∠DFA＝∠DEC＝90°，∴△ADF≌△CDE（AAS），∴AF＝EC，
∵∠DFB＝∠DEC＝90°，BD＝BD，∴△BDF≌△BDE（AAS），∴BF＝BE，
设AF＝EC＝x，则BE＝BF＝8+x，∵AB＝10，∴AF+BF＝10，
∴x+8+x＝10，∴x＝1，∴BF＝9，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝∠DBF，∴△BFD∽△BDA，∴BD2＝BF•BA，∴BD2＝90，∴BD＝3
．
10．（2022秋•西城区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点O是AC上一点，以O为圆心，OA长为半径作圆，使⊙O与BC相切于点D，与AC相交于点E．过点B作BF∥AC，交ED的延长线于点F．（1）若AB＝4，求⊙O的半径；
（2）连接BO，求证：四边形BFEO是平行四边形．
【答案】（1）⊙O的半径为4（2）见解析．
【解答】（1）解：连接OD，∵AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，∴∠C＝∠ABC＝45°，∵⊙O与BC相切于点D，
﹣4；
∴∠ODC＝90°，
∴△ODC是等腰直角三角形，∴OC＝
OD，
OD＝AC＝4，
∴OA+OC＝OD+∴OD＝4
﹣4，
故⊙O的半径为4﹣4；
（2）证明：在Rt△AOB与Rt△DOB中，
，
∴Rt△AOB≌Rt△DOB（HL），∴∠AOB＝∠DOB，∴∠AOB＝∵∠OED＝
，AOD，
∴∠AOB＝∠OED，∴OB∥EF，∵BF∥AC，
∴四边形BFEO是平行四边形．
九．圆的综合题（共3小题）
11．（2020秋•西城区期末）对于平面内的图形G1和图形G2，记平面内一点P到图形G1上各点的最短距离为d1，点P到图形G2上各点的最短距离为d2，若d1＝d2，就称点P是
图形G1和图形G2的一个“等距点”．
在平面直角坐标系xOy中，已知点A（6，0），B（0，2（1）在R（3，0），S（2，0），T（1，0） ；（2）已知直线y＝﹣2．
①若点A和直线y＝﹣2的等距点在x轴上，则该等距点的坐标为 （4，0）或（8，0） ；②若直线y＝a上存在点A和直线y＝﹣2的等距点，求实数a的取值范围；（3）记直线AB为直线l1，直线l2：y＝﹣
x，以原点O为圆心作半径为r的⊙O．若
）．
）三点中，点A和点B的等距点是 S（2，
⊙O上有m个直线l1和直线l2的等距点，以及n个直线l1和y轴的等距点（m≠0，n≠0），当m≠n时，求r的取值范围．【答案】（1）S（2，0）；（2）（4，0）或（8，0）；（3）
或r≥3．
），R（3，0），S（2，0），T（1，，BT＝2，
），
【解答】解：（1）∵点A（6，0），B（0，2∴AR＝3，BR＝∴AS＝BS，
∴点A和点B的等距点是S（2，0），故答案为：S（2，0）；
（2）①设等距点的坐标为（x，0），∴2＝|x﹣6|，∴x＝4或8，
∴等距点的坐标为（4，0）或（8，0），故答案为：（4，0）或（8，0）；
，AS＝4，BS＝4，AT＝2
②如图1，设直线y＝a上的点Q为点A相直线y＝﹣2的等距点，连接QA，过点Q作直线y＝﹣2的垂线，垂足为点C，
∵点Q为点A和直线y＝﹣2的等距点，∴QA＝QC，∴QA2＝QC2
∵点Q在直线y＝a上，∴可设点Q的坐标为Q（x，a）∴（x﹣6）2+a2＝[a﹣（﹣2）]2．整理得x2﹣12x+32﹣4a＝0，
由题意得关于x的方程x2﹣12x+32﹣4a＝0有实数根．∴△＝（﹣12）2﹣4×1×（32﹣4a）＝16（a+1）≥0．解得a≥﹣1；（3）如图2，
直线l1和直线l2的等距点在直线l3：直线l1和y轴的等距点在直线l4：由题意得
或r≥3．
上．或l5：y＝
x+2
上．
12．（2021秋•西城区期末）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点A在⊙O上，点P在⊙O内，给出如下定义：连接AP并延长交⊙O于点B，若AP＝kAB，则称点P
是点A关于⊙O的k倍特征点．（1）如图，点A的坐标为（1，0）．
①若点P的坐标为（﹣，0），则点P是点A关于⊙O的 倍特征点；②在C1（0，），C2（，0），C3（，﹣）这三个点中，点 C3 是点A关于⊙O的倍特征点；
③直线l经过点A，与y轴交于点D，∠DAO＝60°．点E在直线l上，且点E是点A关于⊙O的倍特征点，求点E的坐标；
（2）若当k取某个值时，对于函数y＝﹣x+1（0＜x＜1）的图象上任意一点M，在⊙O上都存在点N，使得点M是点N关于⊙O的k倍特征点，直接写出k的最大值和最小值．
【答案】（1）①；②C3；③E（小值为
．
）或（）；（2）最大值为，最
【解答】解：（1）①∵A（1，0），P（﹣∴AP＝OA+OP＝1+＝，∵B（﹣1，0），∴AB＝2，∵AP＝kAB，∴k＝
，
），
故答案为：；
②∵C1（0，），A（1，0），∴OC1＝∴AC1＝
，
＝
，
假设点C1是点A关于⊙O的倍特征点，
∴∴AE＝
，
＞2OA＝2，不符合题意，
∴点C1不是点A关于⊙O的倍特征点，同理可求出AC3＝
＝
＝
，
假设点C3是点A关于⊙O的倍特征点，∴
，
∴C3为AF的中点，∴F（0，﹣1），∵F在圆上，
∴点C3是点A关于⊙O的倍特征点，∵C2（∴AC2＝，
），
∴，
∴点C2不是点A关于⊙O的倍特征点，故答案为：C3；
③如图，当点D在y轴正半轴上时，设直线AD交⊙O于B，连接OE，过点E作EF⊥x轴于点F，
∵点E点A关于⊙O的倍特征点，∴
，
∴E是AB的中点，∴OE⊥AB，∵∠EAO＝60°，∴∠EOA＝30°，∴AE＝OE＝∴EF＝∴E（
，
），
），
，EF＝＝
，
，
当点D在y轴负半轴上时，同理可得E（综上：E（
）或（
）；
（2）设直线y＝﹣x+1与x轴，y轴的交点分别为C，D，过点N作NP⊥CD交CD于P，交⊙O于B，过点O作直线EF⊥CD交⊙O于E，F，
∴MN≥NP，AM≤BP，
∵AM＝AN﹣MN＝（1﹣k）AN，∴
，
∵k越大，1﹣k的值越小，∴﹣1+∴当
的值越小，
的值越大，k的值越大，
∴AM＝BP，MN＝NP时，k的值最小，∴A与E重合，N与F重合时，k的值最小，∵C，D是直线y＝﹣x+1与x轴，y轴的交点，∴C（1，0），D（0，1），∵O到C和D的距离都是1，∴OC＝OD＝1，∴CD＝∵OG⊥CD，∴CG＝DG＝∴OG＝
，＝
，
＝
，
∴FG＝OF﹣OG＝1﹣，
∴k＝
∴k的最小值为
，
，
当点N在E点，A在F点时，k有最大值为．
13．（2022秋•西城区期末）给定图形W和点P，Q，若图形W上存在两个不重合的点M，N，使得点P关于点M的对称点与点Q关于点N的对称点重合，则称点P与点Q关于图形W双对合．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，﹣2），B（5，﹣2），C（﹣1，4）．
（1）在点D（﹣4，0），E（2，2），F（6，0）中，与点O关于线段AB双对合的点是 D，F ；（2）点K是x轴上一动点，⊙K的直径为1，
①若点A与点T（0，t）关于⊙K双对合，求t的取值范围；
②当点K运动时，若△ABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合，直接写出点K的横坐标k的取值范围．【答案】（1）D、F；（2）①﹣2﹣②
≤k≤或
≤t≤﹣2+
≤k≤
；
．
【解答】解：（1）当A点是D点的中点时，对应点为（2，﹣4）；当B点是D点的中点时，对应点为（14，﹣4）；
当A点是E点的中点时，对应点为（﹣4，﹣6）；当B点是E点的中点时，对应点为（8，﹣6）；
当A点是F点的中点时，对应点为（﹣8，﹣4）；当B点是F点的中点时，对应点为（4，﹣4）；
当A点是O点的中点时，对应点为（﹣2，﹣4）；当B点是O点的中点时，对应点为（10，﹣4）；
∴D、F与点O关于线段AB双对合，
故答案为：D、F；（2）①设K（k，0），∵A（﹣1，﹣2），T（0，t），
∴A点关于K点对称点G为（2k+1，2），T点关于K点对称点H为（2k，﹣t），∵点A与点T（0，t）关于⊙K双对合，∴A点关于点K的对称点在以G为圆心，∵⊙K的直径为1，
∴点A关于点K的对称点在以G点为圆心，2为半径的圆上，点T关于点K的对称点在以H为圆心，2为半径的圆上，如图所示，∵点A与点T（0，t）关于⊙K双对合，∴当圆G与圆H有交点，∵GH＝∴解得﹣2﹣
，≤4，≤t≤﹣2+
；
②∵A（﹣1，﹣2），B（5，﹣2），C（﹣1，4），K（k，0），
∴A点关于K点的对称点F（2k+1，2），B点关于K点的对称点E（2k﹣5，2），C点关于K点的对称点G（2k+1，﹣4），
∴△ABC上任意一点关于K点对称点在阴影区域，∵△ABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合，∴阴影区域与圆K有公共交点，
∵阴影部分是由△EGF边上任意一点为圆心，1为半径的圆构成的区域，如图1时，k﹣（2k+1）＝+1，解得k＝﹣；如图2时，2k+1﹣k＝+1，解得k＝；
∴﹣≤k≤时，△ABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合；
过点K作KN⊥EG交于N，直线EG交x轴于点M，设直线EG的解析式为y＝k'x+b，∴，
解得
，
∴y＝﹣x+2k﹣3，∴M（2k﹣3，0），
∵直线y＝﹣x与y＝﹣x+2k﹣3平行，∴∠KMN＝45°，
∴KM＝KN＝，
，解得k＝3﹣，解得k＝3+
，
，
如图3时，k﹣（2k﹣3）＝如图4时，2k﹣3﹣k＝∴
≤k≤
时，△ABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合；
≤k≤
时，△ABC上存在一点与⊙K上任意一
综上所述：≤k≤或
点关于⊙K双对合．
一十．作图—复杂作图（共2小题）
14．（2021秋•西城区期末）问题：如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O内，请仅用无刻度的直尺，作出△ABC中AB边上的高．
小芸解决这个问题时，结合圆以及三角形高线的相关知识，设计了如下作图过程．作法：如图，
①延长AC交⊙O于点D，延长BC交⊙O于点E；②分别连接AE，BD并延长相交于点F；③连接FC并延长交AB于点H．
所以线段CH即为△ABC中AB边上的高．（1）根据小芸的作法，补全图形；（2）完成下面的证明．
证明：∵AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，
∴∠ADB＝∠AEB＝ 90 °．（ 直径所对的圆周角是直角 ）（填推理的依据）∴AE⊥BE，BD⊥AD．
∴AE， BD 是△ABC的两条高线．∵AE，BD所在直线交于点F，∴直线FC也是△ABC的高所在直线．∴CH是△ABC中AB边上的高．
【答案】（1）作图见解析部分．
（2）90，直径所对的圆周角是直角，BD．【解答】解：（1）如图，线段CH即为所求．
（2）∵AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，
∴∠ADB＝∠AEB＝90°．（直径所对的圆周角是直角），∴AE⊥BE，BD⊥AD．
∴AE，BD是△ABC的两条高线．∵AE，BD所在直线交于点F，∴直线FC也是△ABC的高所在直线．∴CH是△ABC中AB边上的高．
故答案为：90，直径所对的圆周角是直角，BD．
15．（2022秋•西城区期末）已知：点A，B，C在⊙O上，且∠BAC＝45°．求作：直线l，使其过点C，并与⊙O相切．作法：①连接OC；
②分别以点B，点C为圆心，OC长为半径作弧，两弧交于⊙O外一点D；③作直线CD．
直线CD就是所求作直线l．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接OB，BD，∵OB＝OC＝BD＝CD，∴四边形OBDC是菱形．
∵点A，B，C在⊙O上，且∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝ 90 °（ 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 ）（填推理的依据）．
∴四边形OBDC是正方形．∴∠OCD＝90°，即OC⊥CD．∵OC为⊙O半径，
∴直线CD为⊙O的切线（ 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 ）（填推理的依据）．
【答案】（1）作图见解答过程；
（2）90，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
【解答】解：（1）补全图形，如图所示：
（2）证明：连接OB，BD，如图：
∵OB＝OC＝BD＝CD，∴四边形OBDC是菱形．
∵点A，B，C在⊙O上，且∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝90°（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）．∴四边形OBDC是正方形．∴∠OCD＝90°，即OC⊥CD．∵OC为⊙O半径，
∴直线CD为⊙O的切线（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）．故答案为：90，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．一十一．作图—应用与设计作图（共1小题）16．（2020秋•西城区期末）借助网格画图并说理：
如图所示的网格是正方形网格，△ABC的三个顶点是网格线的交点，点A在BC边的上方，AD⊥BC于点D，BD＝4，CD＝2，AD＝3．以BC为直径作⊙O，射线DA交⊙O于点E，连接BE，CE．（1）补全图形；
（2）填空：∠BEC＝ 90 °，理由是 直径所对的圆周角是直角 ；（3）判断点A与⊙O的位置关系并说明理由；（4）∠BAC ＜ ∠BEC（填“＞”，“＝”或“＜”）．
【答案】（1）作图见解析部分．（2）90，直径所对的圆周角是直角．（3）点A在⊙O外．（4）＜．
【解答】解：（1）补全图形见图1．
（2）∵BC是直径，
∴∠BEC＝90°（直径所对的圆周角是直角）．故答案为：90，直径所对的圆周角是直角．
（3）点A在⊙O外．理由如下：连接OA．∵BD＝4，CD＝2，∴BC＝BD+CD＝6，r＝∵AD⊥BC，∴∠ODA＝90°，
在Rt△AOD中，AD＝3，OD＝BD﹣OB＝1，∴
．
＝3．
∵∴OA＞r，
，
∴点A在⊙O外．
（4）观察图象可知：∠BAC＜∠BEC．故答案为：＜．
一十二．旋转的性质（共2小题）
17．（2021秋•西城区期末）如图，在正方形ABCD中，射线AE与边CD交于点E，将射线AE绕点A顺时针旋转，与CB的延长线交于点F，BF＝DE，连接FE．（1）求证：AF＝AE；
（2）若∠DAE＝30°，DE＝2，直接写出△AEF的面积．
【答案】（1）见解析；（2）8．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABC＝∠D＝∠BAD＝90°，∴∠ABF＝90°，在△ABF与△ADE中，
，
∴△ABF≌△ADE（SAS），∴AF＝AE；
（2）解：由（1）知，△ABF≌△ADE，∴∠BAF＝∠DAE，
∴∠BAF+∠BAE＝∠DAE+∠BAE＝90°，∴∠FAE＝90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
在Rt△ADE中，∠D＝90°，∠DAE＝30°，DE＝2，∴AE＝2DE＝4，
∴△AEF的面积＝×4×4＝8．
18．（2022秋•西城区期末）如图，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，将点B绕点C逆时针旋转60°得到点E，连接AE，BE，CE．（1）求∠CBE的度数；
（2）若△ACD是等边三角形，且∠ABC＝30°，AB＝3，BD＝5，求BE的长．
【答案】（1）∠CBE的度数为60°；（2）BE的长为4．
【解答】解：（1）∵将点B绕点C逆时针旋转60°得到点E，∴CB＝CE，∠BCE＝60°，∴△BCE是等边三角形，∴∠CBE＝60°，∴∠CBE的度数为60°；（2）∵△ACD是等边三角形，∴AC＝DC，∠ACD＝60°，∵∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠ACD+∠ACB＝∠BCE+∠ACB，∴∠ACE＝∠DCB，∵CB＝CE，
∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE＝BD＝5，
∵∠CBE＝60°，∠ABC＝30°，∴∠ABE＝∠CBE+∠ABC＝90°，在Rt△ABE中，AB＝3，∴BE＝∴BE的长为4．
一十三．作图-旋转变换（共1小题）
19．（2020秋•西城区期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝
．将△
＝
＝4，
ABC绕点B顺时针旋转α（0°＜α≤120°）得到△A'BC'，点A，点C旋转后的对应点分别为点A'，点C'．
（1）如图1，当点C'恰好为线段AA'的中点时，α＝ 60 °，AA'＝ 2 ；（2）当线段AA'与线段CC'有交点时，记交点为点D．
①在图2中补全图形，猜想线段AD与A'D的数量关系并加以证明；②连接BD，请直接写出BD的长的取值范围．
【答案】（1）60，2．
（2）①作图见解析部分．结论AD＝A'D．证明见解析部分．②1≤BD≤
．
，∠ABC＝30°，
【解答】解：（1）∵∠C＝90°，BC＝∴AC＝BC•tan30°＝1，∴AB＝2AC＝2，
∵BA＝BA′，AC′＝A′C′，∴∠ABC′＝∠A′BC′＝30°，∴△ABA′是等边三角形，
∴α＝60°，AA′＝AB＝2．故答案为：60，2．
（2）①补全图形如图所示：结论：AD＝A'D．
理由：如图2，过点A作A'C'的平行线，交CC'于点E，记∠1＝β．∵将Rt△ABC绕点B顺时针旋转α得到Rt△A'BC'，∴∠A'C'B＝∠ACB＝90°，A'C'＝AC，BC'＝BC．∴∠2＝∠1＝β．
∴∠3＝∠ACB﹣∠1＝90°﹣β，∠A'C'D＝∠A'C'B+∠2＝90°+β．∵AE∥A'C'
∴∠AED＝∠A'C'D＝90°+β．
∴∠4＝180°﹣∠AED＝180°﹣（90°+β）＝90°﹣β．∴∠3＝∠4．∴AE＝AC．∴AE＝A'C'．
在△ADE和△A'DC'中，
，
∴△ADE≌△A'DC'（AAS），∴AD＝A'D．
②如图1中，当α＝60°时，BD的值最大，最大值为．
当α＝120°时，BD的值最小，最小值BD＝AB•sin30°＝2×＝1，∴1≤BD≤
．
一十四．列表法与树状图法（共1小题）
20．（2021秋•西城区期末）有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有两个相同的球，它们分别写有数﹣2，2；乙口袋中装有三个相同的球，它们分别写有数﹣5，m，5．小明和小刚进行摸球游戏，规则如下：先从甲口袋中随机取出一个球，其上的数记为a；再从乙口袋中随机取出一个球，其上的数记为b．若a＜b，小明胜；若a＝b，为平局；若a＞b，小刚胜．
（1）若m＝﹣2，用树状图或列表法分别求出小明、小刚获胜的概率；
（2）当m为何值时，小明和小刚获胜的概率相同？直接写出一个符合条件的整数m的值．
【答案】（1）小明获胜的概率为，小刚获胜的概率为；（2）0．
【解答】解：（1）画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中a＜b的结果有2种，a＞b的结果有3种，∴小明获胜的概率为＝，小刚获胜的概率为＝；（2）m为0时，小明和小刚获胜的概率相同，理由如下：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中a＜b的结果有3种，a＞b的结果有3种，∴小明获胜的概率＝小刚获胜的概率＝＝．一十五．利用频率估计概率（共1小题）
21．（2022秋•西城区期末）在学习《用频率估计概率》时，小明和他的伙伴们设计了一个
摸球试验：在一个不透明帆布袋中装有白球和红球共4个，这4个球除颜色外无其他差别．每次摸球前先将袋中的球搅匀，然后从袋中随机摸出1个球，观察该球的颜色并记录，再把它放回．在老师的帮助下，小明和他的伙伴们用计算机模拟这个摸球试验．如图显示的是这个试验中摸出一个球是红球的结果．
（1）根据所学的频率与概率关系的知识，估计从这个不透明的帆布袋中随机摸出一个球是红球的概率是 0.75 ，其中红球的个数是 3 ；
（2）如果从这个不透明的帆布袋中同时摸出两个球，用列举法求摸出的两个球刚好一个是红球和一个是白球的概率．
【答案】（1）0.75，3；（2）．
【解答】解：（1）从这个不透明的帆布袋中随机摸出一个球是红球的概率是0.75，4×0.75＝3（个），答：红球的个数是3个．故答案为：0.75，3；
（2）由（1）可知帆布袋中有3个红球和1个白球．列表如下：
白
白
红1白，红1
红2白，红2
红3白，红3
红1红2红3
红1，红2红1，红3红2，红3
可以看出，从帆布袋中同时摸出两个球，所有可能出现的结果共有6种，即（白，红1），（白，红2），（白，红3），（红1，红2），（红1，红3），（红2，红3），且这些结果出现的可能性相等，其中摸出的两个球刚好一个是红球和一个是白球（记为事件A）共有3种结果，即（白，红1），（白，红2），（白，红3），
所以摸出的两个球刚好一个是红球和一个是白球的概率是＝．
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