数学分析上

数学分析（上）

绪论 数学分析课程简介

第一章 实数集与函数

计划课时： 绪 论 2时 第一章 6时

教材：华东师范大学数学系编，数学分析，高等教育出版社；

绪论 数学分析课程简介 ( 2 时 )

一. 数学分析(mathematical analysis)简介:

1. 背景: 从切线、面积、计算sin32、实数定义等问题引入.

2. 极限 ( limit ) —— 变量数学的基本运算：

3. 数学分析的基本内容：数学分析以极限为基本思想和基本运算研究实变实值

函数. 主要研究微分(differential)和积分(integration)两种特殊的极限运算,利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数, 并依据这些运算引进并研究一些非初等函数. 数学分析基本上是连续函数的微积分理论.

微积运算是高等数学的基本运算.

数学分析与微积分(calculus)的区别. .

二． 数学分析的形成过程：

1． 孕育于古希腊时期： 在我国，很早就有极限思想. 纪元前三世纪, Archimedes

就有了积分思想.

2. 十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期,是微积分思想的发展、成果的积累时期: 3． 十七世纪下半叶到十九时纪上半叶 —— 微积分的创建时期: 参阅《数学分 析选讲》讲稿(1997.8.10.)第三讲P72.

4. 十九时纪上半叶到二十时纪上半叶 —— 分析学理论的完善和重建时期：参阅

《数学分析选讲》讲稿第三讲P72—75.

三. 数学分析课的特点:

逻辑性很强, 很细致, 很深刻; 先难后易, 是说开头四章有一定的难度, 倘能努力学懂前四章(或前四章的8000), 后面的学习就会容易一些; 只要在课堂上专心听讲, 一般是可以听得懂的, 但即便能听懂, 习题还是难以顺利完成. 这是因为数学分析技巧性很强, 只了解基本的理论和方法, 不辅以相应的技巧, 是很难顺利应用理论和方法的. 论证训练是数学分析课基本的,也是重要的内容之一, 也是最难的内容之一. 一般懂得了证明后, 能把证明准确、严密、简练地用数学的语言和符号书写出来，似乎是更难的一件事. 因此, 理解证明的思维方式, 学习基本的证明方法, 掌握叙述和书写证明的一般语言和格式, 是数学分析教学贯穿始终的一项任务.

有鉴于此, 建议的学习方法是: 预习, 课堂上认真听讲, 必须记笔记, 但要注意以听为主, 力争在课堂上能听懂七、八成. 课后不要急于完成作业, 先认真整理笔记, 补充课堂讲授中太简或跳过的推导, 阅读教科书, 学习证明或推导的叙述和书写. 基本掌握了课堂教学内容后, 再去做作业. 在学习中, 要养成多想问题的习惯.

四. 课堂讲授方法:

1. 关于教材: 没有严格意义上的教科书. 这是大学与中学教学不同的地方, 本课程主要从以下教科书中取材:

[1] 华东师范大学数学系编，数学分析，高等教育出版社，1996；

1

[2] 郑英元，毛羽辉，宋国东， 数学分析习题课教程，高等教育出版社，1991； [3] 马振民，数学分析的方法与技巧选讲， 兰州大学出版社，1999； [4] 马振民，吕克璞，微积分习题类型分析, 兰州大学出版社，1999； [5] W. Rudin, Principles of mathematical analysis, 1964.

本课程基本按[1]的逻辑顺序, 主要在[1]、[4]、[3]中取材. 在讲授中, 有时会指出所讲内容的出处. 本课程为适应课时少和学分制的要求，只介绍数学分析最基本的内容. 因此删去了[1]中第八、十五、十九和二十二等四章， 相应的内容作为选修课将在学完数学分析课之后开设.

2. 内容多, 课时紧: 大学课堂教学与中学不同的是, 这里每次课介绍的内容很多, 因此, 内容重复的次数少, 讲课只注重思想性与基本思路, 具体内容或推导, 特别是同类型或较简的推理论证及推导计算, 可能讲得很简, 留给课后的学习任务一般很重. 3. 讲解的重点: 概念的意义与理解, 几何直观, 理论的体系, 定理的意义、条件、结论. 定理证明的分析与思路, 具有代表性的证明方法, 解题的方法与技巧. 某些精细概念之间的本质差别. 在第一、二章教学中, 可能会写出某些定理证明, 以后一般不会做特别具体的证明叙述.

五. 要求、辅导及考试：

1. 学习方法: 尽快适应大学的学习方法, 尽快进入角色. 课堂上以听为主, 但要

做课堂笔记. 课后一定要认真复习消化, 补充笔记. 一般课堂教学与课外复习的时间比例应为1 : 3 ( 国外这个比例通常是 1 : 4 . 参《西北师大报》№191，2000.9.30.第二版: 本科节段如何培养高素质创新人材 —— 伯利克大学的启示. 注: 伯利克大学乃美国加州大学伯利克分校.)

对将来从事数学教学工作的师范大学本科生来说, 课堂听讲的内容应该更为丰富: 要认真评价教师的课堂教学, 把教师在课堂上的成功与失败变为自己的经验. 这对未来的教学工作是很有用的.

2. 作业: 作业以[1]的练习题中划线以上的部分习题和[4]中的计算题为主要内容. 大体上每两周收一次作业, 一次收清. 每次重点检查作业总数的三分之一. 作业的收交和完成情况有一个较详细的登记, 缺交作业将直接影响学期总评成绩.

作业要按数学排版格式书写恭整.

要求活页作业, 最好用西北师大稿纸. 要有作业封面, 尺寸为19.527.5cm. 作业布置方式: [1]P…, [4]P…

3. 辅导: 大体每周一次, 第一学期要求辅导时不缺席.

4. 考试: 按学分制的要求, 只以最基本的内容进行考试, 大体上考课堂教学和所布置作业的内容, 包括[1]和[4]中的典型例题.

考试题为标准化试题.

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第一章 实数集与函数

§ 1 实数集与确界

一． 实数集R：回顾中学中关于实数集的定义.

1. 四则运算封闭性: 2. 三歧性( 即有序性 ):

3. Rrchimedes性: a,bR, ba0, nN,  nab. 4. 稠密性: 有理数和无理数的稠密性, 给出稠密性的定义. 5. 实数集的几何表示 ─── 数轴:

6. 两实数相等的充要条件: ab,  0, ab  . 7. 区间和邻域:

二. 几个重要不等式:

1. 绝对值不等式: 定义 a maxa , a . [1]P2 的六个不等式. 2. 其他不等式:

⑴ a2b22ab, sinx  1. sinx  x . ⑵ 均值不等式: 对a1,a2,,anR, 记

M(aa1a2an1n i) n nai, (算术平均值)

i11n G(ani)na1a2anaii1, (几何平均值) H(ani)11111n1n. (调和平均值)

a1a2anni1an1ii1ai有平均值不等式:

H(ai)  G(ai)  M(ai), 等号当且仅当a1a2an时成立. ⑶ Bernoulli 不等式: (在中学已用数学归纳法证明过)

x1, 有不等式 (1x)n1nx, nN.

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当x1 且 x0, nN且n2时, 有严格不等式 (1x)n1nx. (现采用《数学教学研究》1991. № 1马德尧文 “均值不等式妙用两则”中的证明) 证 由 1x0且1x0,  (1x)nn1(1x)n111

n n n(1x)n (1x).  (1x)n1nx.

⑷ 利用二项展开式得到的不等式: 对h0, 由二项展开式 (1h)1nhnn(n1)2n(n1)(n2)3hhhn, 2!3! 有 (1h)n上式右端任何一项.

三. 有界数集与确界原理:

1. 有界数集: 定义(上、下有界, 有界)， 闭区间、(a,b) (a,b为有限数）、邻域

等都是有界数集，

集合 Ey ysinx, x (  ,  )也是有界数集.

无界数集: 定义, (  ,  ) , (  , 0 ) , ( 0 ,  )等都是无界数集, 集合 Ey y1, x( 0 , 1 )也是无界数集. x2. 确界: 给出直观和刻画两种定义.

(1 )n infS_______. 例1 ⑴ S1, 则supS______,n ⑵ Ey ysinx, x(0,). 则

supE________, infE_________.

例2 非空有界数集的上（或下）确界是唯一的.

例3 设S和A是非空数集，且有SA. 则有 supSsupA, infSinfA.. 例4 设A和B是非空数集. 若对xA和yB,都有xy, 则有

supAinfB.

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证 yB, y是A的上界,  supAy.  supA是B的下界,

 supAinfB.

例5 A和B为非空数集, SAB. 试证明: infSmin infA , infB . 证 xS,有xA或xB, 由infA和infB分别是A和B的下界,有

xinfA或xinfB.  xmin infA , infB .即min infA , infB 是数集S的

下界,  infSmin infA , infB . 又SA,  S的下界就是A的下界,infS是S的下界,  infS是A的下界,  infSinfA; 同理有infSinfB. 于是有

infSmin infA , infB . 综上, 有 infSmin infA , infB .

3. 数集与确界的关系: 确界不一定属于原集合. 以例1⑵为例做解释.

4. 确界与最值的关系: 设 E为数集.

⑴ E的最值必属于E, 但确界未必, 确界是一种临界点.

⑵ 非空有界数集必有确界(见下面的确界原理), 但未必有最值. ⑶ 若maxE存在, 必有 maxEsupE. 对下确界有类似的结论.

四. 确界原理:

Th (确界原理).

Ex [1]P4 3，4，9，10； P9 2，4，7⑴⑶.

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§ 2 初等函数 ( 3时 )

一. 函数:

1. 函数: [1]P10—12的五点说明.

2. 定义域: 定义域和存在域.

3. 函数的表示法:

4. 反函数: 一 一 对应, 反函数存在定理.

5. 函数的代数运算:

1x, x1,2x, x1, x1, 和g(x)2 二. 分段函数: 以函数f(x)2, 为例

x, x1x2, x1介绍概念.

例1 f(x)32x1, 去掉绝对值符号.

例2 f(x)  1 ,x, x 求 f(0), f(1), f(2). x 1.1x, x10,x3, 求 f(5). (答案为8)

ff(x5), x10.例3 设 f(x)

三. 函数的复合:

例4 yf(u)u, u g(x)1x2. 求 fg(x)fg(x).并求

定义域.

例5 ⑴ f(1x)xx1, f(x)_______________. ⑵ fx2112 ) x2. 则f(x) ( xx2222 A. x, B. x1, C. x2, D. x2.

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[4]P407 E62.

四. 初等函数:

1. 基本初等函数:

2. 初等函数:

3. 初等函数的几个特例: 设函数f(x)和g(x)都是初等函数, 则 ⑴ f(x) 是初等函数, 因为 f(x) f(x)2.

⑵ (x)maxf(x) , g(x) 和 (x)minf(x) , g(x)都是初等函数,

1f(x)g(x)f(x)g(x) , 21 (x)minf(x) , g(x) f(x)g(x)f(x)g(x) .

2因为 (x)maxf(x) , g(x) ⑶ 幂指函数 f(x) f(x)g(x)g(x) f(x)0是初等函数,因为

elnf(x)g(x)eg(x)lnf(x).

五. 有界函数: 有界函数概念.

5x 例6 验证函数 f(x)2在R内有界.

2x3222解法一 由2x3(2x)(3)22x326x, 当x0时,有

f(x) 5x5x5x53. 222x32x326x26 f(0) 03,

 对 xR, 总有 f(x) 3, 即f(x)在R内有界.

5x,  关于x的二次方程 2yx25x3y0有实数根. 22x3254,  y 2.  5224y20,  y224解法二 令 y解法三 令 x

3tgt, t,对应x(  ,  ). 于是 2227

53f(x)5x2tgt2x23253tgt5sint1 32tgt32tg2t16costsec2t 32 526sin2t,  f(x) 526sin2t526.

关于奇偶函数、周期函数和单调函数，参阅[1]P22—25，[4]P19—24.

Ex [1]P19—20 1⑸，3，4，6； P25 1，2，5，8，12； [4]P34—36 54，55，56，67，68，71，81.

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