数学报告

-浅析无穷级数

一.引言

无穷级数理论是高等数学的一个重要组成部分，无穷级数是数或函数的无限和表现形式。它是进行数值计算的有效工具，计算函数值，造函数值表以及积分运算都可以借助它，利用无穷级数可以研究函数的性质，求解微分方程。因为无穷级数中包含许多非初等函数，固无穷级数理论在现代数学方法中占有重要地位，在自然科学和工程技术里，也常常用无穷级数来解决问题，如谐波分析等。总之，无穷级数是分析学的重要组成部分，在理论上，计算上和实际应用中都有重要意义。

二.正项级数相关性质解题思路及方法 1.（1）设k0，则n1An与kAn敛散性一致，且若n1n1An收敛，则kAnn1=kn1An。

 （2）若n1An，Bn均收敛，则(AnBn)也收敛。

n1n1 （3）级数增加或减少有限项不影响其收敛性。 （4）收敛的级数满足结合律。 （5）若n1AnAn0。 收敛，则limx2.定理1：正项级数n1An收敛其部分和有上界

定理2：设n1An，Bn为正项级数，从某项以后有An≤Bn

n1（1）若n1An收敛，则Bn收敛。

n1（2）若Bn发散，则Bn发散。

n1n1比较法作参照：等比级数（r，p-级数，np）。

nn1n1推论：若 n1An，Bn均为正项级数，且从某项后，

n1An1An≤

Bn1Bn，

则（1）. 若Bn收敛，则n1n1An收敛。

（2）.若n1An发散，则Bn发散。

n1定理3：设n1An，若Bn均为正项级数，

n1AnnBn=c>0，则n1An，Bnn1敛散性一致。 定理4：设n1An为正项级数，若limnAn1An=r≥0，

则（1）r<1时,则n1An收敛； 发散；

（2）r>1时，则n1An （3）r=1时，无法判断。 定理5：设n1An为正项级数，若limnnAn=r≥0

（1）r<1时，n1An收敛

（2）r>1时，n1An发散

（3）r=1时，无法判断 注：若limnAn1An=r1,limnnAn=r2,则r1=r2。

定理6：设f(x)为定义在[a,+)上的连续函数，f(x)且Bn=f(n),则Bn敛散性与an1f(x)dx敛散性一致。

小结：正项级数判别法

Sn存在或者根据Sn（2）对于计算时可以对Bn用比较法（如与r，nn1n11np比较）和比阶

n法，或者对An用比值法（根据limn=r）；

An1An=r)或用根值法（根据limnAn（3）对于最后一种积分法则运用较少。 三.交错级数 定理1：若(1)n1nAnAn=0,{ An}或(1)n1An为交错级数，且满足limnn1单调递减，则交错级数收敛。

定理2：若un绝对收敛，则un收敛。

n1n1性质：（1）绝对收敛级数满足交换律； （2）绝对收敛的柯西乘积仍收敛。 四.函数项级数与幂级数

一致收敛：设n1Anxn在D上有定义，若>0，N使得n>N时，对xD都有|Sn(x)S|<则称组数在D上一致收敛。

注：在一致收敛的条件下无穷多个函数的和函数连续，可导，可积。定理1：设n1Anxn满足lim|nAn1An|=mil>0，（nnAn=>0）则R=1为

级数的收敛半径。 幂级数的性质： （1）计算性质：设n1Anxn中收敛区间为（-A,A）, Bnxn收敛区间

n1为（-B,B），A,B>0,取C=min{A,B},在（-C,C）内有n1AnxnBn1nxn=

(Bn1nAn)xn。

n（2）分析性质：幂级数，n1Anx在收敛区间内满足一致收敛。

i.幂级数在收敛域内连续；

ii.幂级数在收敛域内可导，且逐项可导，其收敛半径不变； iii.幂级数在收敛域内可积，且逐项可积，其收敛半径不变。 五.小结

关于无穷级数的题目需要牢记基本的判定级数敛散性的方法以及关于绝对收敛，交错级数，条件收敛，一致收敛等相关概念性质，关于幂级数注意求收敛域的步骤以及幂级数在计算时的相关性质，而利用函数的展开和幂级数的合并有很多应用，并在解决许多实际问题中能发挥很好的作用。