辽阳市第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案

一、选择题

EF1． 在正方体ABCDA1BC11D1中，E,F 分别为BC,BB1的中点，则下列直线中与直线

相交

的是（ ）

A．直线AA1 B．直线A1B1 C. 直线A1D1 D．直线B1C1 2． 已知函数f（x）的图象如图，则它的一个可能的解析式为（ ）

A．y=2 B．y=log3（x+1） C．y=4﹣ D．y=

3． 在二项式（x3﹣）n（n∈N*）的展开式中，常数项为28，则n的值为（ ） A．12 B．8 C．6 D．4

4． 函数y=2sin2x+sin2x的最小正周期（ ） A．

5． △ABC的内角A，B，C所对的边分别为，，，已知a3，b B．

C．π

D．2π

6，A6，则

B（ ）111]

A．

32 B．或 C．或 D．

434433的左右焦点，若椭圆上存在点P使得

，

6． 已知点F1，F2为椭圆

则此椭圆的离心率的取值范围是（ ）

A．（0，） B．（0，] C．（，] D．[，1）

27． 已知抛物线C：y8x的焦点为F，P是抛物线C的准线上的一点，且P的纵坐标为正数，

Q是直线PF与抛物线C的一个交点，若PQ2QF，则直线PF的方程为（ ）

A．xy20 B．xy20 C．xy20 D．xy20

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8． 如图，M={x|x＞2}，N={0，1，2，3}，设全集U=R，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）

A．{3} B．{0，1} C．{0，1，2} D．{0，1，2，3}

9． 在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是，，，已知8b5c，C2B，则cosC（ ） A．

77724 B． C.  D．

25252525B．S19＝76 D．S21＝84

，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（ ）

C．（﹣，） D．

10．Sn是等差数列{an}的前n项和，若3a8－2a7＝4，则下列结论正确的是（ ） A．S18＝72 C．S20＝80

11．已知函数f（x）=31+|x|﹣A．

B．

12．已知双曲线C 的一个焦点与抛物线y2=8渐近线方程是（ ） A．y=±

x B．y=±

C．xy=±2

x

x的焦点相同，且双曲线C过点P（﹣2，0），则双曲线C的

D．y=±x

二、填空题

13．计算：

1

×5﹣= ．

x2y214．已知过双曲线221(a0,b0)的右焦点F2的直线交双曲线于A,B两点，连结AF1,BF1，若

ab|AB||BF1|，且ABF190，则双曲线的离心率为（ ）

A．522 B．522 C．632 D．632

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【命题意图】本题考查双曲线定义与几何性质，意要考查逻辑思维能力、运算求解能力，以及考查数形结合思想、方程思想、转化思想．

15．已知命题p：实数m满足m2+12a2＜7am（a＞0），命题q：实数m满足方程在y轴上的椭圆，且p是q的充分不必要条件，a的取值范围为 ． 个三棱锥，则此三棱锥的体积是 ．

+

=1表示的焦点

16．如图，E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD的中点，沿图中虚线将边长为2的正方形折起来，围成一

17．已知面积为的△ABC中，∠A=若点D为BC边上的一点，且满足=，则当AD取最小时，

BD的长为 ．

18．递增数列{an}满足2an=an﹣1+an+1，（n∈N*，n＞1），其前n项和为Sn，a2+a8=6，a4a6=8，则S10= ．

三、解答题

19．已知函数fxxbxalnx.

2（1）当函数fx在点1,f1处的切线方程为y5x50，求函数fx的解析式； （2）在（1）的条件下，若x0是函数fx的零点，且x0n,n1,nN，求的值；

*（3）当a1时，函数fx有两个零点x1,x2x1x2，且x0

20．已知椭圆

的离心率

，且点

x1x2，求证：fx00． 2在椭圆上．

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（Ⅰ）求椭圆的方程；

交于

、

两点，且线段

的垂直平分线经过点

．求

（

为坐标原点)

（Ⅱ）直线与椭圆面积的最大值．

21．已知函数

且f（1）=2．

（1）求实数k的值及函数的定义域；

（2）判断函数在（1，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．

22．如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，BD⊥平面ABC，AC=BC=BD=2AE=（1）求证：CM⊥EM；

（2）求MC与平面EAC所成的角．

，M是AB的中点．

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23．某校为选拔参加“央视猜灯谜大赛”的队员，在校内组织猜灯谜竞赛．规定：第一阶段知识测试成绩不小于160分的学生进入第二阶段比赛．现有200名学生参加知识测试，并将所有测试成绩绘制成如下所示的频率分布直方图．

（Ⅰ）估算这200名学生测试成绩的中位数，并求进入第二阶段比赛的学生人数；

（Ⅱ）将进入第二阶段的学生分成若干队进行比赛．现甲、乙两队在比赛中均已获得120分，进入最后抢答阶段．抢答规则：抢到的队每次需猜3条谜语，猜对1条得20分，猜错1条扣20分．根据经验，甲队猜对每条谜语的概率均为，乙队猜对前两条的概率均为，猜对第3条的概率为．若这两队抢到答题的机会均等，您做为场外观众想支持这两队中的优胜队，会把支持票投给哪队？

24．（本小题12分）设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1b11，a3b521，

a5b313.111]

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（1）求{an}，{bn}的通项公式； （2）求数列{

an}的前项和Sn. bn第 6 页，共 19 页

辽阳市第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案（参考答案） 一、选择题

1． 【答案】D 【解析】

EF为异面直线，B1C1和EF在同一个平试题分析：根据已满治安的概念可得直线AA1,A1B1,A1D1都和直线

面内，且这两条直线不平行；所以直线B1C1和EF相交，故选D. 考点：异面直线的概念与判断. 2． 【答案】C

【解析】解：由图可得，y=4为函数图象的渐近线， 函数y=2函数y=4﹣

，y=log3（x+1），y=

的值域均含4，

即y=4不是它们的渐近线，

的值域为（﹣∞，4）∪（4，+∞），

故y=4为函数图象的渐近线， 故选：C

【点评】本题考查的知识点是函数的图象，函数的值域，难度中档．

3． 【答案】B

【解析】解：展开式通项公式为Tr+1=

3

n

*

•（﹣1）r•x3n﹣4r，

则∵二项式（x﹣）（n∈N）的展开式中，常数项为28，

∴，

∴n=8，r=6． 故选：B．

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．

4． 【答案】C

2

【解析】解：函数y=2sinx+sin2x=2×

+sin2x=sin（2x﹣）+1，

则函数的最小正周期为故选：C．

=π，

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【点评】本题主要考查三角恒等变换，函数y=Asin（ωx+φ）的周期性，利用了函数y=Asin（ωx+φ）的周期为

，属于基础题．

5． 【答案】B 【解析】

试题分析：由正弦定理可得:3sin6362,sinB,B0,,B 或，故选B.

4sinB24考点：1、正弦定理的应用；2、特殊角的三角函数. 6． 【答案】D 【解析】解：由题意设解得x=

，故|

|=

，|

|=

，

=2x，则2x+x=2a，

当P与两焦点F1，F2能构成三角形时，由余弦定理可得 4c2=

+

﹣2×

×

×cos∠F1PF2， ﹣

＜

＜1，即

2

2

由cos∠F1PF2∈（﹣1，1）可得4c=

cos∠F1PF2∈（＜e＜1，∴

=

；

＜e＜1；

，），

即2＜4c＜，∴

当P与两焦点F1，F2共线时，可得a+c=2（a﹣c），解得e=综上可得此椭圆的离心率的取值范围为[故选：D

，1）

【点评】本题考查椭圆的简单性质，涉及余弦定理和不等式的性质以及分类讨论的思想，属中档题．

7． 【答案】B 【

解

析

】

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考点：抛物线的定义及性质．

【易错点睛】抛物线问题的三个注意事项：（1）求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p的值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，若是标准方程，则要由焦点位置（或开口方向）判断是哪一种标准方程．（2）注意应用抛物线定义中的距离相等的转化来解决问题．（3）直线与抛物线有一个交点，并不表明直线与抛物线相切，因为当直线与对称轴平行（或重合）时，直线与抛物线也只有一个交点． 8． 【答案】C

【解析】解：由图可知图中阴影部分所表示的集合∁M∩N， ∵全集U=R，M={x|x＞2}，N={0，1，2，3}， ∴∁M={x|x≤2}， ∴∁M∩N={0，1，2}， 故选：C

【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据条件确定集合的基本关系是解决本题的关键．

9． 【答案】A 【解析】

考

点：正弦定理及二倍角公式.

【思路点晴】本题中用到了正弦定理实现三角形中边与角的互化，同角三角函数间的基本关系及二倍角公式，如sin2cos21,cos2cos2sin2,这要求学生对基本公式要熟练掌握解三角形时常借助于正弦定

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理

abc2R，余弦定理a2b2c22bccosA， 实现边与角的互相转化. sinAsinBsinC10．【答案】

【解析】选B.∵3a8－2a7＝4， ∴3（a1＋7d）－2（a1＋6d）＝4，

18×17d17

即a1＋9d＝4，S18＝18a1＋＝18（a1＋d）不恒为常数．

2219×18d

S19＝19a1＋＝19（a1＋9d）＝76，

2同理S20，S21均不恒为常数，故选B. 11．【答案】A

1+|x|

【解析】解：函数f（x）=3﹣

为偶函数，

当x≥0时，f（x）=3∵此时y=3

1+x

1+x

﹣

为减函数，

为增函数，y=

∴当x≥0时，f（x）为增函数， 则当x≤0时，f（x）为减函数， ∵f（x）＞f（2x﹣1）， ∴|x|＞|2x﹣1|， ∴x2＞（2x﹣1）2， 解得：x∈故选：A．

【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的奇偶性，函数的单调性，难度中档．

12．【答案】A

2

【解析】解：抛物线y=8

，

x的焦点（2，0），

，

．

2

双曲线C 的一个焦点与抛物线y=8

x的焦点相同，c=2

双曲线C过点P（﹣2，0），可得a=2，所以b=2双曲线C的渐近线方程是y=±故选：A．

x．

【点评】本题考查双曲线方程的应用，抛物线的简单性质的应用，基本知识的考查．

二、填空题

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13．【答案】 9 ．

【解析】解：

1×5﹣=

×=×=（﹣5）×（﹣9）×=9，

∴

故答案为：9．

14．【答案】B 【

1

×5﹣=9，

解析】

15．【答案】 [，] ．

22

【解析】解：由m﹣7am+12a＜0（a＞0），则3a＜m＜4a 即命题p：3a＜m＜4a， 实数m满足方程

+

=1表示的焦点在y轴上的椭圆，

则，

，解得1＜m＜2，

若p是q的充分不必要条件， 则解得

，

，

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故答案为[，]．

【点评】本题考查充分条件、必要条件，一元二次不等式的解法，根据不等式的性质和椭圆的性质求出p，q的等价条件是解决本题的关键．

16．【答案】

．

【解析】解：由题意图形折叠为三棱锥，底面为△EFC，高为AC， 所以三棱柱的体积：××1×1×2=， 故答案为：．

【点评】本题是基础题，考查几何体的体积的求法，注意折叠问题的处理方法，考查计算能力．

17．【答案】

．

【解析】解：AD取最小时即AD⊥BC时，根据题意建立如图的平面直角坐标系， 根据题意，设A（0，y），C（﹣2x，0），B（x，0）（其中x＞0）， 则

=（﹣2x，﹣y），

=（x，﹣y）， ，

⇒

=

cos

=9，

=18，

∵△ABC的面积为∴∵

22

∴﹣2x+y=9，

∵AD⊥BC， ∴S=•由故答案为：

•

=得：x=

． ⇒xy=3

， ，

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【点评】本题考查了三角形的面积公式、利用平面向量来解三角形的知识．

18．【答案】 35 ．

【解析】解：∵2an=an﹣1+an+1，（n∈N*，n＞1）， ∴数列{an}为等差数列，

又a2+a8=6，∴2a5=6，解得：a5=3， 又a4a6=（a5﹣d）（a5+d）=9﹣d2=8， ∴d2=1，解得：d=1或d=﹣1（舍去） ∴an=a5+（n﹣5）×1=3+（n﹣5）=n﹣2． ∴a1=﹣1， ∴S10=10a1+故答案为：35．

【点评】本题考查数列的求和，判断出数列{an}为等差数列，并求得an=2n﹣1是关键，考查理解与运算能力，属于中档题．

=35．

三、解答题

19．【答案】（1）fxxx6lnx；（2）n3；（3）证明见解析.

2【解析】

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题解析： （1）f'(x)2xbaf'(1)2ba5bx，所以1f(1)1b0a6，∴函数f(x)的解析式为f(x)x2x6lnx(x0)；

f(x)x2x6lnxf'(x)2x162x2（2）x6xx，

因为函数f(x)的定义域为x0，

令f'(x)(2x3)(x2)x0x32或x2， 当x(0,2)时，f'(x)0，f(x)单调递减，

当x(2,)时，f'(x)0，函数f(x)单调递增， 且函数f(x)的定义域为x0，

（3）当a1时，函数f(x)x2bxlnx，

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试

2f(x1)x12bx1lnx10，f(x2)x2bx2lnx20，

lnx1lnx222两式相减可得x1(x1x2)． x2b(x1x2)lnx1lnx20，bx1x2xx11f'(x)2xb，f'(x0)2x0b，因为x012，

x2x0xx2lnx1lnx22所以f'(x0)21 (x1x2)2x1x2x1x2x221lnx2lnx12(x2x1)211x2x1 lnxlnxln12x2x2x1x1x2x2x1x1x2x2x1x11x12(t1)x设2t1，h(t)lnt，

t1x114(t1)24t(t1)2∴h'(t)0， 222t(t1)t(t1)t(t1)所以h(t)在(1,)上为增函数，且h(1)0，

1∴h(t)0，又0，所以f'(x0)0．

x2x1考点：1、导数几何意义及零点存在定理；2、构造函数证明不等式.

【方法点睛】本题主要考查导数几何意义及零点存在定理、构造函数证明不等式，属于难题.涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路. 20．【答案】

【解析】【知识点】圆锥曲线综合椭圆 【试题解析】（Ⅰ）由已知 点

在椭圆上，

，时，

的垂直平分线过点

,

的斜率存在．

，解得

，

．

所求椭圆方程为(Ⅱ)设当直线

，的斜率

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当且仅当当直线

的斜率

消去

由

．

时， 设得：

①

， ，

的中点为

时，

．

由直线的垂直关系有，化简得 ②

由①②得又

到直线

的距离为

，

时，

由即综上：21．【答案】

【解析】解：（1）f（1）=1+k=2； ∴k=1，

（2）为增函数； 证明：设x1＞x2＞1，则：

，定义域为{x∈R|x≠0}；

，时，

；

，解得

；

．

；

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==

∵x1＞x2＞1； ∴x1﹣x2＞0，∴f（x1）＞f（x2）；

∴f（x）在（1，+∞）上为增函数．

22．【答案】

【解析】（1）证明：∵AC=BC=∴△ABC为等腰直角三角形， ∵M为AB的中点， ∴AM=BM=CM，CM⊥AB， ∵EA⊥平面ABC， ∴EA⊥AC，

设AM=BM=CM=1，则有AC=

，AE=AC=

， ==

， ，

AB，

，

；

；

在Rt△AEC中，根据勾股定理得：EC=在Rt△AEM中，根据勾股定理得：EM=

222

∴EM+MC=EC，

∴CM⊥EM；

（2）解：过M作MN⊥AC，可得∠MCA为MC与平面EAC所成的角， 则MC与平面EAC所成的角为45°．

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23．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）设测试成绩的中位数为x，由频率分布直方图得， （0.0015+0.019）×20+（x﹣140）×0.025=0.5， 解得：x=143.6．

∴测试成绩中位数为143.6．

进入第二阶段的学生人数为200×（0.003+0.0015）×20=18人． （Ⅱ）设最后抢答阶段甲、乙两队猜对灯谜的条数分别为ξ、η， 则ξ～B（3，）， ∴E（ξ）=

．

]×20=30，

∴最后抢答阶段甲队得分的期望为[∵P（η=0）=P（η=1）=P（η=2）=P（η=3）=∴Eη=

∴最后抢答阶段乙队得分的期望为[∴120+30＞120+24， ∴支持票投给甲队．

，

． ，

， ，

]×20=24．

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【点评】本小题主要考查概率、概率与统计等基础知识，考查推理论证能力、数据处理能力、运算求解能力及应用意识，考查或然与必然的思想，属中档题．

24．【答案】（1）d2,q2；（2）Sn6【解析】

2n3. 2n1an2n1n1，………………6分 bn2352n32n1Sn112n2n1，①

222211352n32n1Sn123n1.②……………8分 222222n`22222n11222S123①-②得Sn112n2n1nn2222222222（2）分

所以Sn622n1，…………10n1n222n3.………………12分 2n1考点：等差数列的概念与通项公式，错位相减法求和，等比数列的概念与通项公式.

【方法点晴】本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式以及数列的求和，通过设{an}的公差为d，{bn}的公比为，根据等差数列和等比数列的通项公式，联立方程求得d和，进而可得{an}，{bn}的通项公式；（2）数列{

an}的通项公式由等差数列和等比数列对应项相乘构成，需用错位相减法求得前项和Sn. bn第 19 页，共 19 页